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最新专升本极限专题

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专升本极限专题极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则定理1已知 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限（1） «Skip Record If...»（2） «Skip Record If...»； «Skip Record If...»说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

例如：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；等等。

4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当«Skip Record If...»时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：«Skip Record If...»～«Skip Record If...»～«Skip Record If...»～«Skip Record If...»～«Skip Record If...»～«Skip Record If...»～«Skip Record If...»。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成«Skip Record If...»时（«Skip Record If...»），仍有上面的等价关系成立，例如：当«Skip Record If...»时， «Skip Record If...»～ «Skip Record If...»；«Skip Record If...»～ «Skip Record If...»。

定理4如果函数«Skip Record If...»都是«Skip Record If...»时的无穷小，且«Skip Record If...»～«Skip Record If...»，«Skip Record If...»～«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»存在时，«Skip Record If...»也存在且等于«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。

5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»满足：（1）«Skip Record If...»和«Skip RecordIf...»的极限都是0或都是无穷大；（2）«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都可导，且«Skip Record If...»的导数不为0；（3）«Skip Record If...»存在（或是无穷大）；则极限«Skip Record If...»也一定存在，且等于«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。

特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“«Skip Record If...»”型或“«Skip RecordIf...»”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。

另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»的定义去间内的一点，则有«Skip RecordIf...»。

7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知«Skip Record If...»为三个数列，且满足：（1） «Skip Record If...»（2） «Skip Record If...»，«Skip Record If...»则极限«Skip Record If...»一定存在，且极限值也是a，即«Skip Record If...»。

二、求极限方法举例1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»。

例3 «Skip Record If...»解：原式«Skip Record If...»。

2．利用函数的连续性（定理6）求极限例4 «Skip Record If...»解：因为«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»的一个连续点，所以原式=«Skip Record If...»。

3．利用两个重要极限求极限例5 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»。

例7 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»。

4．利用定理2求极限例8 «Skip Record If...»解：原式=0 （定理2的结果）。

5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 «Skip Record If...»解：«Skip Record If...»～«Skip Record If...»，«Skip Record If...»～«Skip Record If...»，«Skip Record If...»原式=«Skip Record If...»。

例10 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»。

注：下面的解法是错误的：原式=«Skip Record If...»。

正如下面例题解法错误一样：«Skip Record If...»。

例11 «Skip Record If...»解：«Skip Record If...»，所以，原式=«Skip Record If...»。

（最后一步用到定理2）6．利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。

同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 «Skip Record If...»（例4）解：原式=«Skip Record If...»。

（最后一步用到了重要极限）例13 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»。

例14 «Skip Record If...»解：原式=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。

（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 «Skip Record If...»解：«Skip Record If...»例18 «Skip Record If...»解：错误解法：原式=«Skip Record If...»。

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高数专升本极限练习题

高数专升本极限练习题

高数专升本极限练习题### 高数专升本极限练习题#### 一、概念理解题1. 极限的定义：请解释函数极限的概念，并举例说明。

2. 无穷小与无穷大：描述无穷小与无穷大在极限中的意义。

#### 二、基础计算题1. 极限的计算：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

2. 无穷小的比较：比较 \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\) 和\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3}\) 的大小。

#### 三、复合函数极限1. 复合函数极限：计算极限 \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)。

2. 极限的连续性：讨论函数 \(f(x) = \sqrt{x}\) 在 \(x = 0\) 处的连续性。

#### 四、极限的应用题1. 函数的渐近行为：分析函数 \(f(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1}\) 当 \(x\) 趋向无穷大时的渐近行为。

2. 极限在实际问题中的应用：如果一个物体以初速度 \(v_0\) 和加速度 \(a\) 运动，求物体在时间趋于无穷大时的速度极限。

#### 五、极限的运算法则1. 极限的加法法则：计算极限 \(\lim_{x \to 2} (3x + 2)\)。

2. 极限的乘法法则：计算极限 \(\lim_{x \to 0} (x^2 \cdot \sin x)\)。

#### 六、极限的夹逼定理1. 夹逼定理的应用：利用夹逼定理计算极限 \(\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}\)。

#### 七、极限的洛必达法则1. 洛必达法则：计算极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6}\)。

#### 八、极限的综合应用1. 极限与导数的关系：讨论函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) 在\(x = 2\) 处的导数，通过极限定义求得。

极限总结知识点专升本

极限总结知识点专升本

极限总结知识点专升本一、极限的概念1. 一、数列极限1. 数列的概念数列是由一系列有序的实数按照一定的规律排列而成的序列，可以用通项公式$a_n$表示。

数列中的每个元素 $a_n$称为数列的项，顺序排列的数列称为有限数列，不按照顺序排列的数列称为无限数列，按顺序排列的数列元素个数没有限制。

2. 极限的概念对于数列${a_n}$来说，当$n$趋于无穷大的时候，如果$a_n$的值趋于一个确定的数$L$，那么称$L$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim_{n \to \infty} a_n = L$。

其中，$L$为数列${a_n}$当$n$趋于无穷大时的极限。

3. 数列极限的性质(1) 数列极限的唯一性：若数列${a_n}$的极限存在，则极限唯一。

(2) 有界数列收敛性：有界数列必收敛。

2、函数极限1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素上。

2. 极限的概念对于函数$f(x)$来说，当$x$趋于$a$的时候，如果$f(x)$的值趋于一个确定的数$L$，那么称$L$为函数$f(x)$在$x \to a$时的极限，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。

其中，$L$为函数$f(x)$在$x \to a$时的极限。

3. 函数极限的性质(1) 函数极限的唯一性：若函数$f(x)$的极限存在，则极限唯一。

(2) 函数极限的局部性：函数$f(x)$的极限存在与否与$x$的取值点的邻域有关。

3、无穷小与无穷大1. 无穷小的概念当自变量趋于某一点时，如果函数值趋于0，那么称该函数是无穷小。

无穷小也可以表示为$x$趋于0时，函数值趋于0。

2. 无穷大的概念当自变量趋于某一点时，如果函数值趋于无穷大，那么称该函数是无穷大。

无穷大也可以表示为$x$趋于某一点时，函数值趋于无穷大。

4、极限的计算方法1. 无穷小的性质(1) 若$\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B$，则$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) =A \pm B$。

专升本高数第一章极限与连续

专升本高数第一章极限与连续


金融领域
连续复利在金融领域中有着广泛 的应用，如债券、股票、基金等 投资产品的价值计算。
100%
保险领域
在保险领域中，连续复利可以用 于计算保险产品的未来价值，帮 助客户了解保险合同未来的收益 情况。
80%
养老金领域
在养老金领域中，连续复利可以 用于计算个人养老金账户的未来 价值，帮助个人了解自己退休后 的养老金收益情况。
极值的计算
对于可导的函数，其一阶导数为0的点可能是极值点。然后通过判断二阶导数的正负来判断是极大值还是极小值。 如果二阶导数大于0，则为极小值；如果二阶导数小于0，则为极大值。
极值的应用
最大最小值问题
在生产、生活中经常遇到求最大最小值的问题，极值的概念可以用来解决这类问题。例如，在经济学中求成本最低、 利润最大的方案等。
02
(1) lim(x->0) (sin x / x)
03
(2) lim(x->0) ((1 + x)^(1/x))
04
(3) lim(x->∞) ((1 + 1/x)^x)
连续复利部分的习题
(2) A = P(1 + r/n)^nt / (1 + r/n)^n
(1) A = P(1 + r/n)^nt
单调性
如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该区间 内导数大于等于0或小于等于0。
极值点
如果函数在某一点的导数为0，且该点两侧的 导数符号相反，则该点为极值点。
04
函数的单调性与极值
单调性的判断方法
01
02
03
定义法
导数法
图像法
通过比较函数在某区间内任意两点x1和 x2的函数值f(x1)和f(x2)，判断单调性。 如果f(x1)<f(x2)，则函数在此区间内单 调递增；反之，则单调递减。
(建议下载)专升本高等数学(二)

(建议下载)专升本高等数学(二)

成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。

会求分段函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。

会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。

会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。