换元法在数学竞赛中的若干运用摘要：在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。
本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.关键词：换元法、数学竞赛Abstract前言从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。
在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数列等题型中经常能过发挥重要的作用。
通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。
这里我仅结合数学竞赛中常出现的一些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用.1.换元法的定义及其相关概念1.1换元法的定义所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简、化难为易，容易得出最后的正确结果。
这就是换元法之所在.1.2换元法的基本思想化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉.1.3换元法的一般步骤①构造新元②解答③求出原解转化代价代换2.换元法的分类及典例分析2.1从结构上划分2.1．1自身换元法在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。
2004年中国数学奥林匹克冬令营试题解答
陶平生
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2004(000)003
【总页数】3页(P48-50)
【作者】陶平生
【作者单位】江西科技学院
【正文语种】中文
【中图分类】O1
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首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。
2004年小学数学奥林匹克预赛试卷2004年3月21日上午8：30-9：301. 计算：13 +34 +25 +57 +78 +920 +1021 +1124 +1935 =____________。
2. 计算：2002÷200220022003 +12004=____________。
3. 已知右面的除法算式，那么被除数应是____________。
4. 甲车以每小时60千米的速度前进，乙车以每小时100千米的速度追赶，则在乙车追上甲车的前9秒钟，两车相距____________米。
5. B 是自然数，A 是一个数字，如果B 444 =0.3A7,那么B=____________。
6. 在等式A ×（B+C ）=110+C 中，A 、B 、C 是互不相等的质数，那么A+B+C=____________。
7. 小明在计算34 ，45 ，79 ，911 这四个分数的平均数时，不小心把其中一个分数的分子、分母颠倒了，这样他算出的平均值与正确的平均值的差最小是____________。
8. 如图，阴影部分的面积（π取3）为____________。
9. 120名少先队员选举大队长，有甲、乙、丙三个候选人，每个少先队员只能选他们之中一个人，不能弃权，若前100票中，甲得了45票，乙得了35票，甲要当选至少还需要____________张选票。
10. 小华每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个，肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟还有二十分之一没有破，经过两分半钟肥皂泡全破了。
小华在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有____________个。
11. 甲乙两种商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，两种商品都按定价的90%出售，结果获得利润27.7元，那么甲种商品的成本是____________元。
12. 甲、乙、丙、丁四个人共同生产一批零件，甲生产的占其他三人生产总数的213 ，乙生产的占其他三人生产总数的14 ，丙生产的占其他三人生产总数的411 ，已知丁生产了60个，那么甲、乙、丙三人共生产零件____________个。
