2020 数学 高考冲刺二轮 --考前冲刺三 回扣溯源,查缺补漏——考前提醒

第1讲 等差数列、等比数列【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．考点一 与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值； (2)若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn ，求b n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )，∴d ＝－223a 1.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－223a 1＝－123a 1n 2＋2423a 1n＝－123a 1(n －12)2＋14423a 1.∵a 1>0，∴当n ＝12时，S n 取得最大值． (2)由(1)及a 1＝－46，得d ＝－223×(－46)＝4，∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－48n .∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n＝2n ＋50n－52≥22n ×50n－52＝－32，当且仅当2n ＝50n ，即n ＝5时，等号成立．故b n 的最小值为－32.(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m ，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝f (n )是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即S n ＝An 2＋Bn (A 2＋B 2≠0)．(1)(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 (1)C (2)C解析 (1)利用函数思想，通过讨论S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 的单调性判断． 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确． (2)a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5， 故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.考点二 与等比数列有关的问题例2 (1)(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________. 答案 (1)D (2)32解析 (1)利用等比数列的性质求解．由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解． S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2， 将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0， 解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．(1)证明数列是等比数列的两个方法：①利用定义：a n ＋1a n(n ∈N *)是常数，②利用等比中项a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(2)等比数列中的五个量：a 1，a n ，q ，n ，S n 可以“知三求二”． (3){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (4)等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.(1)(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. (2)(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 ①设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. ②由①有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0.上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 考点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ， 则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λ>6.等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝3－n a n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值．(1)证明 由b n ＝3－n a n 得a n ＝3n b n ， 则a n ＋1＝3n ＋1b n ＋1.代入a n ＋1－3a n ＝3n 中，得3n ＋1b n ＋1－3n ＋1b n ＝3n ， 即得b n ＋1－b n ＝13.所以数列{b n }是等差数列．(2)解 因为数列{b n }是首项为b 1＝3－1a 1＝1， 公差为13的等差数列，则b n ＝1＋13(n －1)＝n ＋23，则a n ＝3n b n ＝(n ＋2)×3n －1， 从而有a n n ＋2＝3n －1， 故S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a nn ＋2＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝1－3n 1－3＝3n －12，则S n S 2n ＝3n －132n －1＝13n ＋1， 由1128<S n S 2n <14，得1128<13n ＋1<14， 即3<3n <127，得1<n ≤4.故满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值为2,3,4.1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2． 等差数列和等比数列性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(2)a n＝a m＋(n－m)d(3)S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍成等差数列(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q(2)a n＝a m q n－m(3)等比数列依次每n项和(S n≠0)仍成等比数列前n项和S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2 d(1)q≠1，S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q(2)q＝1，S n＝na11．在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，a n，S n五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3．等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d>0⇔{a n}为递增数列，S n有最小值．d<0⇔{a n}为递减数列，S n有最大值．d＝0⇔{a n}为常数列．(2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧a1>0，q>1或⎩⎪⎨⎪⎧a1<0，0<q<1时，{a n}为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧a1>0，0<q<1或⎩⎪⎨⎪⎧a1<0，q>1时，{a n}为递减数列．4．常用结论(1)若{a n}，{b n}均是等差数列，S n是{a n}的前n项和，则{ma n＋kb n}，{S nn}仍为等差数列，其中m，k为常数．(2)若{a n}，{b n}均是等比数列，则{ca n}(c≠0)，{|a n|}，{a n·b n}，{ma n b n}(m为常数)，{a2n}，{1a n}等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比数列，且公比为a3－a2a2－a1＝(a2－a1)qa2－a1＝q.(4)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等比数列，其公差为q k .等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d . 5． 易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac .1． 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0， 由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q . 因为a 1≠0，所以有q 2－2q －1＝0， 由此解得q ＝1±2， 又q >0，所以q ＝1＋ 2.所以a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2(a 6＋a 7)a 6＋a 7＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.2． 已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为 ( )A.32B.53C.94D ．不存在答案 A解析 因为a 7＝a 6＋2a 5，所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．又a m a n ＝a 21qm＋n －2＝4a 1，所以m ＋n ＝6.则1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝16⎝⎛⎭⎫1＋n m ＋4m n ＋4≥32. 当且仅当n m ＝4mn ，即n ＝2m 时，等号成立．此时m ＝2，n ＝4.3． 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q . (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)， 从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n3＝3n －λ·2n .由题意，得c n ＋1>c n 对任意的n ∈N *恒成立， 即3n ＋1－λ·2n ＋1>3n －λ·2n 恒成立，亦即λ·2n <2·3n 恒成立，即λ<2·⎝⎛⎭⎫32n 恒成立． 由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫32n 是增函数，所以⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫32n min ＝2×32＝3， 故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1． (2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x ＝－3或x ＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.2． (2013·课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13B ．－13C.19D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.3． (2013·课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则 ( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－q ·a n1－q＝1－23an 13＝3－2a n .故选D.4． 在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0 答案 C解析 由题意可知a 6＋a 5>0，故 S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(a 5＋a 6)×102>0，而S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.5． 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．1答案 A解析 由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0，由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011，所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝3 979a 2 011＝0，从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011a n ＝2 011.6． 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0B ．3C ．8D ．11答案 B解析 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6， 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.二、填空题7． (2013·广东)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，∴3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.8． 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝________.答案 5－12 解析 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值)．a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12. 9． 在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于________．答案 9解析 由a 1＋a 2＋…＋a 10＝30得a 5＋a 6＝305＝6， 又a n >0，∴a 5·a 6≤⎝⎛⎭⎫a 5＋a 622＝⎝⎛⎭⎫622＝9.10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.答案 2×⎝⎛⎭⎫32n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2).解析 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即 S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×⎝⎛⎭⎫32n －1，由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2). 三、解答题11．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．(1)解 由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52. (2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列． 若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n . 因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k .所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．12．已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝12，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式．(1)解 由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)．所以数列{a n }是首项为a 1＝14， 公差为d ＝a 2－a 1＝12的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14(n ∈N *)， 即a n ＝12n －14(n ∈N *)． (2)证明 由3b n －b n －1＝n ，得b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2，n ∈N *)． 所以b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13⎝⎛⎭⎫b n －1－12n ＋34 ＝13⎣⎡⎦⎤b n －1－12(n －1)＋14 ＝13(b n －1－a n －1)， 又b 1－a 1＝14≠0，所以b n －a n ≠0(n ∈N *)， 得b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)， 即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝14，公比为13的等比数列． 于是，b n －a n ＝14·⎝⎛⎭⎫13n －1， 即b n ＝2n －14＋14·⎝⎛⎭⎫13n －1 ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋2n －1(n ∈N *)． 13．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝⎛⎭⎫13n －1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋). 故∑n ＝1m 1a n <1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m 1a n <1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1成立．。

必备二 审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审 审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1 (2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sin x-x+1-4x 2,则关于x 的不等式f(1-x 2)+f(5x-7)<0的解集为 .▲审题指导 sin(-x)=-sin x, 2-x =12xf '(x)<0f(1-x 2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x 2>7-5x答案 (2,3)解析 ∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f '(x)=cos x-1-ln22x -2x ln 2,∴f '(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x 2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x 2)<f(7-5x),即1-x 2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.(2018苏北四市开学考试,14)已知a,b,c,d ∈R 且满足a+3lna b=d -32c=1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为 . 二审 审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2 已知函数f(x)=e x ,x ∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导 证明两曲线有 唯一公共点函数φ(x)=e x -12x 2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x -x-1结论证明 曲线y=e x 与曲线y=12x 2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x -12x 2-x-1零点的个数. ∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0. 又φ'(x)=e x -x-1,令h(x)=φ'(x)=e x -x-1, 则h'(x)=e x -1. 当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减; 当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0, 即φ'(x)在R 上的最小值为φ'(0)=0. ∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立), ∴φ(x)在R 上是单调递增的, ∴φ(x)在R 上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2019泰州期末,19)设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数,过点A,B分别作函数y=f(x)图象的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交点为函数f(x)的“优点”.(1)若函数f(x)={lnx,0<x<1,ax2,x>1不存在“优点”,求实数a的值;(2)求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围;(3)求证:函数f(x)=ln x的“优点”一定落在第一象限.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列{1a n }的前n项和为T n,求使得|T n-1|<11 000成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n =2n →1a n=12n →T n =1-12n →解不等式|T n -1|<11 000n 取10解析 (1)由已知S n =2a n -a 1, 得S n-1=2a n-1-a 1(n ≥2),所以a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2), 即a n =2a n-1(n ≥2). 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1. 又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列, 即a 1+a 3=2(a 2+1),所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n . (2)由(1)得1a n=12,所以T n =12+122+…+12n =12[1-(12)n ]1-12=1-12n .由|T n -1|<11 000,得|1-12n -1|<11 000,即2n >1 000. 因为29=512<1 000<1 024=210,所以n ≥10. 所以使|T n -1|<11 000成立的n 的最小值为10. 跟踪集训3.(2019江苏七大市三模,19)已知数列{a n }满足(na n-1-2)a n =(2a n -1)a n-1(n ≥2),b n =1a n-n(n ∈N *).(1)若a 1=3,证明:{b n }是等比数列; (2)若存在k ∈N *,使得1a k,1ak+1,1ak+2成等差数列.①求数列{a n }的通项公式; ②证明:ln n+12a n >ln(n+1)-12a n+1.四审 审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键.典型例题例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f (x -π12)-f (x +π12)的单调递增区间.▲审题指导 第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A 和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x 的单调区间,通过解不等式求得结果.解析 (1)由题图知,周期T=2(11π12-5π12)=π, 所以ω=2πT =2, 因为点(5π12,0)在函数图象上,所以Asin (2×5π12+φ)=0,即sin (5π6+φ)=0. 又因为0<φ<π2,所以5π6<5π6+φ<4π3, 从而5π6+φ=π,即φ=π6.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin π6=1,解得A=2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).(2)g(x)=2sin [2(x -π12)+π6]-2sin 2(x +π12)+π6 =2sin 2x-2sin (2x +π3) =2sin 2x-2(12sin2x +√32cos2x) =sin 2x-√3cos 2x =2sin (2x -π3).由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k ∈Z,得kπ-π12≤x ≤kπ+5π12,k ∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12],k ∈Z. 跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .五审 审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij (i,j ∈N *)是这个三角形数表中从上往下数第i 行,从左往右数第j 个数,如a 42=8,若a ij =2 015,则i+j= .12,4 3,5,7 6,8,10,12 9,11,13,15,17 14,16,18,20,22,24…▲审题指导 i 是奇数2 015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案 110解析 由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2 015=2×1 008-1,所以2 015为第1 008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+31×302×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+32×312×2=1 024,故2 015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1 921,所以第63行的第一个数为1 923,所以2 015=1 923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列{a n },a n =2·(13)n,把数列{a n }的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m 行,第n 列的项,则A(10,8)= .a 1a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10…6.下表给出一个“三角形数阵”.141 21 43 438316…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值ln a+a-1<0g(a)=ln a+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(0,1a )时,f'(x)>0;当x∈(1a,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1a)上单调递增,在(1a,+∞)上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f(1 a )=ln1a+a(1-1a)=-ln a+a-1.因此f(1a)>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,a>0,g'(a)=1a+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.(2019苏锡常镇四市教学情况调查(二),19)已知函数f(x)=x2+(2-a)x-aln x,其中a∈R.(1)如果曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值;(2)若函数f(x)的极小值不超过a2,求实数a的最小值;(3)对任意x1∈[1,2],总存在x2∈[4,8],使得f(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围.七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题例7已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为√63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形S ▱OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=12|OF||y1-y2|→y1与y2的关系→联立直线PQ的方程与椭圆的方程解析(1)由已知可得ca =√63,c=2,所以a=√6.由a2=b2+c2,得b=√2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF=m-0-3-(-2)=-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=1m,则直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也满足方程x=my-2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得{x=my-2,x26+y22=1,消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,∴Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,y 1+y 2=4mm 2+3,y 1y 2=-2m 2+3,则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-12m +3.因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =QT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以{x 1+x 2=-12m 2+3=-3,y 1+y 2=4mm 2+3=m,解得m=±1. 所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ =2×12·|OF|·|y 1-y 2|=2√(4mm 2+3)2-4·-2m 2+3=2√3.跟踪集训8.(2019南京、盐城二模,18)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆C 短轴的一个端点到一个焦点的距离等于√2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设经过点P(2,0)的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点Q(m,0). ①若对任意直线l 总存在点Q,使得QA=QB,求实数m 的取值范围; ②设点F 为椭圆C 的左焦点,若点Q 是△FAB 的外心,求实数m 的值.答案精解精析一审 审条件挖隐含跟踪集训 1.答案95(2-ln 3)2 解析 由a+3lna b=1可知点(a,b)在曲线y=x+3ln x 上,由d -32c=1可知点(c,d)在直线y=2x+3上,作曲线y=x+3ln x 与直线y=2x+3平行的切线, 设切点为P(x 0,x 0+3ln x 0),y'=1+3x ,则y'|x=x 0=1+3x 0=2,所以x 0=3,故切点为P(3,3+3ln 3).√(a -c )2+(b -d )2的最小值为P 到直线y=2x+3的距离, 即√5=√5,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为9(2-ln3)25.二审 审结论会转换跟踪集训2.解析 (1)由题意可知, f '(x)=f '(1x )对任意x ∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立,不妨取x ∈(0,1),则f '(x)=1x =2ax =f '(1x )恒成立, 即a=12.经验证,a=12符合题意.(2)设A(t,t 2),B (1t ,1t 2)(t ≠0且t ≠±1),因为f '(x)=2x,所以A,B 两点处的切线方程分别为y=2tx-t 2,y=2t x-1t 2,令2tx-t 2=2tx-1t,解得x=12(t +1t ),x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),所以“优点”的横坐标的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞). (3)证明:设A(t,ln t),B (1t ,-lnt),t ∈(0,1), 因为f '(x)=1x ,所以A,B 两点处的切线方程分别为y=1t x+ln t-1,y=tx-ln t-1,令1t x+ln t-1=tx-ln t-1, 解得x=2lnt t -1t,则x>0,所以y=1t ·2lnt t -1t+ln t-1=t 2+1t 2-1(lnt -t 2-1t 2+1),设h(m)=ln m-m 2-1m +1,m ∈(0,1), 则h'(m)=(m 2-1)2m (m 2+1)2,则h'(m)>0,所以h(m)在(0,1)上单调递增, 所以h(m)<h(1)=0,即ln t-t 2-1t 2+1<0. 因为t 2+1t 2-1<0,所以y=1t ·2lnt t -1t+ln t-1>0,所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数,即“优点”在第一象限.三审 审结构定方案跟踪集训3.解析 (1)证明:由(na n-1-2)a n =(2a n -1)a n-1,得1a n=2an -1+2-n,得1a n-n=2[1an -1-(n -1)],即b n =2b n-1,因为a 1=3,所以b 1=1a 1-1=-23≠0, 因为b n b n -1=2(n ≥2),所以{b n }是以b 1=-23为首项,2为公比的等比数列. (2)①设b 1=1a 1-1=λ,由(1)知,b n =2b n-1(n ≥2),所以b n =2b n-1=22b n-2=…=2n-1b 1, 即1a n-n=λ·2n-1,所以1a k=λ·2k-1+k.因为1a k,1ak+1,1ak+2成等差数列,所以(λ·2k-1+k)+(λ·2k+1+k+2)=2(λ·2k +k+1), 所以λ·2k-1=0,所以λ=0, 所以1a n=n,即a n =1n .②证明:要证ln n+12a n >ln(n+1)-12a n+1, 即证12(a n +a n+1)>ln n+1n,即证1n +1n+1>2lnn+1n.设t=n+1n,则1n +1n+1=t-1+t -1t =t-1t ,且1<t ≤2,从而只需证,当t>1时,t-1t >2ln t. 设f(x)=x-1x -2ln x(1<x ≤2), 则f '(x)=1+1x 2-2x =(1x -1)2, 则f '(x)>0,所以f(x)在(1,2]上单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即x-1x>2ln x,即t-1t>2ln t,所以原不等式得证.四审 审图形抓特点跟踪集训 4.答案 -√22解析 由三角函数的图象可得34T=3-1=2,所以最小正周期T=83=2πω,解得ω=3π4.又f(1)=sin (3π4+φ)=1,解得φ=-π4+2k π,k ∈Z,所以f(x)=sin (3π4x -π4+2k π),k ∈Z, 则f(2)=sin (3π2-π4)=sin 5π4=-√22.五审 审图表找规律跟踪集训 5.答案 2×(13)53解析 由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n 行共n 项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S 9=9×(1+9)2=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a 53=2×(13)53,故答案为2×(1353).6.解析 (1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a 11=14,a 21=12,所以公差d=14,a 81=14+(8-1)×14=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a 31=34,a 32=38,所以,每行的公比q=12,故a 83=2×(12)2=12.(2)由(1)知a i1=14+(i-1)14=i4,所以a ij =a i1·(12)j -1=i4·(12)j -1=i ·(12)j+1.(3)A n =a n1[1+12+(12)2+…+(12)n -1]=n4[2-(12)n -1]=n2-n (12)n+1.B m =12(1+2+…+m)-12(12+24+38+ …+m2).设T m =12+24+38+…+m2,① 则12T m =14+28+316+…+m2m+1,②由①-②,得12T m =12+14+18+…+12m -m2m+1=1-12m -m2m+1=1-m+22m+1, 所以B m =12·m (1+m )2-(1-m+22m+1)=m (1+m )4+m+22m+1-1.六审 审范围防易错跟踪集训7.解析 因为f(x)=x 2+(2-a)x-aln x, 所以f '(x)=(x+1)(2x -a )x,x ∈(0,+∞).(1)因为曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1, 所以f '(1)=2(2-a)=1,解得a=32.(2)①当a ≤0时, f '(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 故函数f(x)不存在极值. ②当a>0时,令f '(x)=0,得x=a 2. 列表:x (0,a ) a (a,+∞) f '(x)-0 +f(x) ↘ 极小值↗则f(x)min =f (a2)=a-a 24-aln a2≤a 2,因为a>0,所以12-a 4-ln a2≤0. 令g(a)=12-a4-ln a2=12+ln 2-a4-ln a, 则g'(a)=-14-1a ,当a>0时,g'(a)<0, 则g(a)在(0,+∞)上单调递减,又g(2)=0,所以需满足g(a)≤g(2)=0,则a ≥2, 则实数a 的最小值为2.(3)记f(x)在[1,2]上的值域为A,在[4,8]上的值域为B.“对任意x 1∈[1,2],总存在x 2∈[4,8],使得f(x 1)=f(x 2)成立”等价于“A ⊆B ”. ①当a 2≤1或a2≥8,即a ≤2或a ≥16时,由(2)知f(x)在[1,8]上为单调函数,不合题意;②当1<a 2≤2,即2<a ≤4时,由(2)知 f(x)在(0,a 2)上单调递减,在(a 2,+∞)上单调递增,故f (a 2)∈A,但f (a2)∉B,不合题意;③当2<a2≤4,即4<a ≤8时,A=[f(2), f(1)],B=[f(4), f(8)], 由A ⊆B 得{f (2)≥f (4),f (1)≤f (8),即{8-2a -aln2≥24-4a -2aln2,3-a ≤80-8a -3aln2, 解得{a ≥162+ln2,a ≤777+3ln2,因为0<ln 2<1,所以2<2+ln 2<3, 所以4<163<162+ln2<8. 又因为e>2.7,计算得e 3>24, 则e 72>e 3>24,即72>ln 24=4ln 2,即7>8ln 2, 亦即21>24ln 2, 则777+3ln2-8=21-24ln27+3ln2>0,即777+3ln2>8. 此时162+ln2≤a ≤8.④当4<a 2<8,即8<a<16时,由A ⊆B,得f(8)≥f(1),得 a ≤777+3ln2<777=11<16, 则8<a ≤777+3ln2. 综上,162+ln2≤a ≤777+3ln2.七审 审方法寻捷径跟踪集训8.解析 (1)由题意得{ca =√22,a =√2,解得{c =1,a =√2,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. (2)设直线l 的方程为y=k(x-2),代入椭圆C 的方程,消去y,得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0, 由Δ=64k 4-4(1+2k 2)(8k 2-2)>0得-√22<k<√22. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1+x 2=8k 21+2k ,x 1x 2=8k 2-21+2k . ①设AB 的中点为M(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 21+2k 2,y 0=k(x 0-2)=-2k1+2k 2.当k ≠0时,因为QA=QB,所以QM ⊥l, 即k QM ·k=-2k1+2k 2-04k 21+2k 2-m ·k=-1.解得m=2k 21+2k 2.当k=0时,可得m=0,符合m=2k 21+2k 2. 由0≤k 2=m2(1-m )<12,得0≤m<12.②因为点Q 为△FAB 的外心,且F(-1,0),所以QA=QB=QF. 由{(m +1)2=(x -m )2+y 2,x 22+y 2=1, 消去y,得x 2-4mx-4m=0,易知x 1,x 2也是此方程的两个根, 所以x 1+x 2=4m,x 1x 2=-4m.又因为x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2-21+2k 2,所以8k 21+2k 2=-8k 2-21+2k 2, 解得k 2=18.所以m=2k 21+2k 2=15.。

考前回扣回扣1集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.2.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真.(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.(3)命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0).(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x).5.充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.2.易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况.5.区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”.6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.1.已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3答案B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1，3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A.{x|－3<x<5}B.{x|－5<x<5}C.{x|x<－5或x>－3}D.{x|x<－3或x>5}答案C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.4.满足条件{a }⊆A ⊆{a ，b ，c }的所有集合A 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个.5.已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁U B )等于( ) A.[－1，0] B.[1，2] C.[0，1] D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析 B ＝{x |x 2－2x <0}＝(0，2)，A ∪(∁UB )＝[－1，1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D. 6.下列命题正确的是( )(1)命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x ≤0”；(2)l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α； (3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题； (4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件.A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4) 答案 C解析 命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x ≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”；则p 且q 是真命题，綈p 且綈q 是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C.7.设命题p ：∃x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋a ＝0(a ∈R )，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a >－2B.a <2C.a ≤1D.a <0 答案 D解析 设f (x )＝x 2＋2x ＋a ，则p 为真命题⇔f (x )在R 内有零点⇔Δ≥0⇔a ≤1.8.已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的必要不充分条件.在命题p ∧q ，p ∨ q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A解析 由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p 真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题，故选A.9.已知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为( )A.∀m ∈[0，1]，x ＋1x <2mB.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x≥20mC.∃m 0∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x ≥20mD.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x <20m答案 D解析 根据全称命题与特称命题的关系，可知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为“∃m 0∈[0，1]，x ＋1x <20m”，故选D.10.下列结论正确的是________.(1)f (x )＝a x －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1，3)； (2)已知x ＝log 23，4y ＝83，则x ＋2y 的值为3；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18； (4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数；(5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1. 答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1，3)，故(1)正确； (2)已知x ＝log 23，4y ＝83，则22y ＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x 2(1－2x )，则f (－x )＝－x ·1＋2－x 2(1－2－x )＝－x ·2x ＋12(2x －1)＝x ·1＋2x2(1－2x )＝f (x )， 即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数，故(4)正确； (5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4).11.已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________.答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.12.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________. 答案 2 012 1 006解析 因为a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006.13.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件， ∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4].14.已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0) ⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0 ⇔1－m <x <1＋m ， ∴q ：1－m <x <1＋m .∵p 是q 的充分不必要条件， ∴[－1，3]是(1－m ，1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3， 解得m >2.回扣2 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( )A.M >NB.M <NC.M ＝ND.不能确定 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A.3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 答案 C解析 由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1). 9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________.答案 8解析 由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8. 当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b的最小值为________.答案 4＋423解析 因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1解析 由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1. 13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案 －2解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 答案 [－1，92]解析 作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.回扣3 三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba ).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.5.三种三角函数的性质ππ6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换：y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 7.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 8.余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 9.面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解. (4)已知三边，利用余弦定理求解. 11.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 12.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 13.利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 14.利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件； a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.1 答案 C解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32.故选C. 2.要得到函数y ＝sin 2x 的图象，可由函数y ＝cos(2x －π3)( )A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π12个单位长度得到D.向右平移π12个单位长度得到答案 D解析 由于函数y ＝sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π12)－π3]，所以可由函数y ＝cos(2x －π3)向右平移π12个单位长度得到函数y ＝sin 2x 的图象，故选D.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A.3B.932C.332 D.33答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.4.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B.1＋ 2 C.2 D.2(tan 18°＋tan 27°) 答案 C解析 由题意得，tan(18°＋27°)＝tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°，即tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°＝1， 所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故选C.5.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定 答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，三角形为直角三角形.6.已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A.锐角B.钝角C.直角D.不确定 答案 A解析 ∵A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，∴A ＋B >π2，即A >π2－B >0，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，∴p·q ＝sin A －cos B >0.再根据p ，q 的坐标可得p ，q 不共线，故p 与q 的夹角为锐角.7. f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案 C解析 f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)＝sin(2x －π3＋π3)＝sin 2x ，是最小正周期为π的奇函数，故选C.8.已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1，2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A.0 B.π4 C.2π3 D.π答案 D解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0⇒2a 2－2b 2＋3b·a ＝0⇒b·a ＝－52，从而cos 〈b ，a 〉＝b·a|b|·|a |＝－1，〈b ，a 〉＝π，故选D. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 有下列命题： ①若A >B >C ，则sin A >sin B >sin C ；②若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 为等边三角形；③若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形； ④若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则△ABC 为钝角三角形； ⑤存在A ，B ，C 使得tan A tan B tan C <tan A ＋tan B ＋tan C 成立. 其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号). 答案 ①②④解析 若A >B >C ，则a >b >c ⇒sin A >sin B >sin C ；若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则cos A sin A ＝cos B sin B ⇒sin(A －B )＝0⇒A ＝B ⇒a ＝b ，同理可得a ＝c ，所以△ABC 为等边三角形；若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，因此△ABC 为等腰或直角三角形；若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，因此tan(A ＋B )＝1⇒C ＝3π4，△ABC 为钝角三角形；在△ABC 中，tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C 恒成立，因此正确的命题为①②④.10.若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________.答案817解析 由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋(1－sin A 4)2＝1，sin A ＝817(0舍去).11.若tan θ＝3，则cos 2θ＋sin θcos θ＝________. 答案 25解析 ∵tan θ＝3， ∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝1＋332＋1＝25.12.已知单位向量a ，b ，c ，且a ⊥b ，若c ＝t a ＋(1－t )b ，则实数t 的值为________. 答案 1或0解析 c ＝t a ＋(1－t )b ⇒c 2＝t 2＋(1－t )2＝|c |2＝1⇒t ＝0或t ＝1.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(A ＋C ). (1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －B )(x ∈R )的最大值. 解 (1)由已知，b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )， 即sin B cos A ＝－(2sin C ＋sin A )cos B ， 即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ， 则sin C ＝－2sin C cos B ， ∴cos B ＝－12，即B ＝2π3.(2)f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x cos2π3－cos 2x sin 2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin(2x －π6)， 即x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值 3.14.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且锐角A 满足f (A )＝1，b ＝2，c ＝3，求a 的值.解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以f (x )的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z ).(2)由题意知f (A )＝2sin(2A －π4)＝1，sin(2A －π4)＝22，又∵A 是锐角， ∴2A －π4＝π4，∴A ＝π4，由余弦定理得a 2＝2＋9－2×2×3×cos π4＝5，∴a ＝ 5.。

解析：由正弦定理得sinc C＝sinb B，所以 sin C＝csibn B.
因为 B＝π6，c＝2 3，b＝2，

所以 sin C＝12·2 3·sin π6＝ 23. 又 b＜c，所以 C＝π3或 C＝23π. 答案：π3或23π

6．在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解． [回扣问题 6] 已知 cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，0<α<π2， 0<β<π2，则 cos β＝________． 解析：因为 0<α<π2且 cos α＝17<cosπ3＝12， 所以π3<α<π2.又 0<β<π2，所以π3<α＋β<π. 又 sin(α＋β)＝5143< 23，所以23π<α＋β<π.
令yx＝＝2＋3sin3θc，os θ， 则P→A＝(－1－ 3cos θ， 3－ 3sin θ)，

P→B＝(－2－ 3cos θ，－ 3sin θ)，P→C＝(－ 3cos θ，
－ 3sin θ)，
则
→ PC
→ ·( PA
＋
→ PB
)
＝
6
3 2 cos
θ－12sin
θ
ABC 的内心．
(4)在△ABC 中，|P→A|＝|P→B|＝|P→C|⇔P 为△ABC 的外心．

1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大
小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角 α 的终边位
置决定．
[回扣问题 1] 已知角 α 的终边为射线 y＝2x(x≥
0)．则 cos 2α＋cos α＝________．

(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy221＋·yx1y22＋2 y22.