对数函数知识点总结

对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，

记作：Nxalog（a— 底数，N— 真数，Nalog— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0a，且1a； ○2 xNNaaxlog； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○1 常用对数：以10为底的对数Nlg；

○2 自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．

（二）对数的运算性质 如果0a，且1a，0M，0N，那么： ○1 Ma(log·)NMalog＋Nalog；

○2 NMalogMalog－Nalog；

○3 naMlognMalog )(Rn．

注意：换底公式

abbccalogloglog （0a，且1a；0c，且1c；0b）．

利用换底公式推导下面的结论 （1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．

2、对数函数的性质： a>1 0

011 011

定义域x＞0 定义域x＞0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0） 对数函数·例题解析 例1．求下列函数的定义域：

（1）2logxya； （2）)4(logxya； （3）)9(log2xya．

解：（1）由2x>0得0x，∴函数2logxya的定义域是0xx； （2）由04x得4x，∴函数)4(logxya的定义域是4xx； （3）由9-02x得-33x，∴函数)9(log2xya的定义域是33xx．例2．求函数251xy和函数22112xy)0(x的反函数。

解：（1）125xy ∴115()log(2)fxx (-2)x； （2） 211-22xy ∴-112()log(-2)fxx 5(2)2x． 例4．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log3.4，2log8.5； （2）0.3log1.8，0.3log2.7； （3）log5.1a，log5.9a.

解：（1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log3.42log8.5； （2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7； （3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log5.1alog5.9a， 当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log5.1alog5.9a． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （1）6log7，7log6； （2）3log，2log0.8；

（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8； （4）5log3，6log3，7log3． 解：（1）∵66log7log61， 77log6log71，∴6log77log6； （2）∵33loglog10， 22log0.8log10，∴3log2log0.8． (3）∵0.901.11.11， 1.11.1log0.9log10， 0.70.70.70log1log0.8log0.71，

∴0.91.10.7log0.81.1log0.9． （4）∵3330log5log6log7， ∴5log36log37log3． 例7．求下列函数的值域： （1）2log(3)yx； （2）22log(3)yx； （3）2log(47)ayxx（0a且1a）．

解：（1）令3tx，则2logyt， ∵0t， ∴yR，即函数值域为R． （2）令23tx，则03t， ∴2log3y， 即函数值域为2(,log3]． （3）令2247(2)33txxx， 当1a时，log3ay， 即值域为[log3,)a，

当01a时，log3ay， 即值域为(,log3]a． 例8．判断函数22()log(1)fxxx的奇偶性。

解：∵21xx恒成立，故()fx的定义域为(,)， 22()log(1)fxxx 22

1log1xx



2

2222

1log(1)xxxx

2

2log1()xxfx，所以，()fx

为奇函数。 例9．求函数2132log(32)yxx的单调区间。

解：令223132()24uxxx在3[,)2上递增，在3(,]2上递减， 又∵2320xx， ∴2x或1x， 故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵132logyu为减函数，

所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。 例10．若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。

解：令2()ugxxaxa， ∵函数2logyu为减函数， ∴2()ugxxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，∴132(13)0ag





，解得2232a，

所以，a的取值范围为[223,2]． 【例1】 (1)y=log(2)y=11log(a0a1)(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]12a13求函数的定义域．求函数＞，且≠的定义域．已知函数的定义域是，，求函数－的定义

3221xxxa

()

解(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log()()1232210322102103221132210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx 121122312231＜≤＜或＞≠＜≤x

xxxx

∴所求定义域为＜≤ {x|23x1} 解 (2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1． 当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)． 当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)． 解 (3)f(x)[01]y=f[log(3x)]13∵的定义域为，，∴函数－有意义，

必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤．故函数－的定义域为，．0log(3x)1loglog(3x)log13133x12xy=f[log(3x)][2]1313131

3

13

18383

【例2】 y=10x已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110x域和值域． 解 y=10y1y=10(1y)10=y10=y1y00y1xxxx已知函数的定义域为，∵∴≠，由得－，∴＞＜＜，即为函数的值域．R110110

xx

由得，即反函数．10=y1yx=lgy1yf(x)=lgx1xx1

反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R． 【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间． (1)y=lg(－x) (2)y=log2|x＋1| (3)y=|log(x1)|(4)ylog(1x)122－，＝－．

解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．

解 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得

y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示． 单调递减区间是(－∞，－1)． 单调递增区间是(－1，＋∞)． 解 (3)y=logx1y=log(x1)1212把的图像向右平移个单位得到－的图像，保留其在x

轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为 对称轴翻折到轴上方，就得到－的图像．如图．－xy=|log(x1)|2851

2

所示

单调减区间是(－1，2]． 单调增区间是[2，＋∞)． 解 (4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故

可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到