2017-2018学年高中数学(人教B版)必修1课件：2.4 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教案教学目标：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．3．能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．重点，难点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学过程环教学内容设计师生双边互动节创设情境材料一：二分查找(binary-sea rch)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（）个单元。

Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy=的零点（即0)(=xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．组织二分法及步骤：对于在区间a[，]b上连续不断，且满足)(af·)(bf0<的函数)(xfy=，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分探究点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：1．确定区间a[，]b，验证)(af·)(bf0<，给定精度ε；2．求区间a(，)b的中点1x；3．计算)(1xf：法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．分析条件“)(af·)(bf<”、“精度ε”、“区间中点”及“ε<-||ba”的意义．环节呈现教学材料师生互动设计组织探究○1若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；○2若)(af·)(1xf<0，则令b=1x（此时零点),(1xax∈）；○3若)(1xf·)(bf<0，则令a=1x（此时零点),(1bxx∈）；4．判断是否达到精度ε；即若ε<-||ba，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．师：引导学生分析理解求区间a(，)b的中点的方法21bax+=．例题解析：例1．求函数22)(3--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）．分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．解：（略）． 注意：○1 第一步确定零点所在的大致区间a (，)b ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；○2 建议列表样式如下： 零点所在区间 中点函数值区间长度[1，2] )5.1(f >0 1[1，1.5] )25.1(f <0 0.5 [1.25，1.5])375.1(f <00.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2．借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确到1.0）．解：（略）．思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．生：认真思考，运用所学知识寻所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？结论：图象在闭区间a[，]b上连续的单调函数)(xf，在a(，)b上至多有一个零点．求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．环节呈现教学材料师生互动设计探究与发现1）函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在xx=处与x轴相切，则零点x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在xx=处与x轴相交，则零点x通常称为变号零点．2）用二分法求函数的变号零点二分法的条件)(af·)(bf0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．尝试练习1）教材P74练习1、2题；2）教材P75习题2.4（A组）第2、4题；3）求方程3log3=+xx的解的个数及其大致所在区间；4）探究函数xy3.0=与函数xy3.0log=的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过1.0的点．课后作业1）教材P75习题2.4（A组）第5题、（B组）第1题；2）提高作业：○1已知函数124)1(2)(2-+++=mmxxmxf．（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．收获与体会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？。

人教版高中必修1(B版)2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法–二
分法教学设计
一、教学目标
1.了解什么是函数的零点，掌握求函数零点的基本思路和方
法；
2.掌握求函数零点的二分法，并能够在不同的函数上熟练应
用。

二、教学重点
1.二分法的基本思路；
2.二分法在求函数零点问题中的应用。

三、教学难点
1.二分法在应用题中的使用；
2.对于不同的函数，如何选择合适的区间来使用二分法。

四、教学过程设计
1. 导入
在导入环节，首先通过实例激发学生的学习兴趣和求知欲，引导学生了解什么是函数的零点，以及为什么需要求函数零点。

例如：导入前，我们可以提出一个生活中常见但又和数学有关的问题：“在我们日常生活中，可能会遇到一些需要求解某个未知数的问
1。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法同步练习1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )． A ．f (0)＞0，f (2)＜0 B ．f (0)·f (2)＜0C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)＜0D ．以上说法都不正确2．函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )的变号零点个数为( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．函数y ＝x 与1y x =+图象交点的横坐标的大致区间是( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)4．如图所示，下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )．5．设函数[)()221,0,()4,,0x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩又g (x )＝f (x )－1，则函数g (x )的零点是________． 6．某方程有一个无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.7．证明：函数 225()1x f x x -=+在区间(2,3)上至少有一个零点． 8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．9.如图所示，有一块边长为15 c m的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x c m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 c m3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1 c m)?参考答案1. 答案：D解析：当f (x )＝|x －1|时，对于x ∈(0,2)恒有f (x )≥0，故A 、B 、C 排除． 2. 答案：D 3. 答案：C解析：依题意，令()f x x =，问题转化为求该函数零点的大致区间：由于(1)10f =，(2)20f =>，∴f (1)f (2)＜0，且函数y ＝f (x )的图象在[－1，＋∞)上是连续的，所以函数y ＝x 与y =图象交点的横坐标的大致区间是(1,2)，故选C.4. 答案：B解析：只有变号零点才适合用二分法来求．5. 答案：1，解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )－1＝2x －2，令g (x )＝0得x ＝1；当x ＜0时，g (x )＝x 2－4－1＝x 2－5，令g (x )＝0得x =∴g (x )的零点是1，6. 答案：5 解析：∵310.12n -≤，得2n ≥20，n ＞4， ∴至少等分5次． 7. 解：∵函数225()1x f x x -=+的定义域为R ， ∴函数f (x )的图象在区间(2,3)上是连续的． 又∵22251(2)0215f ⨯-==-<+，22351(3)03110f ⨯-==>+， ∴f (2)·f (3)＜0.∴函数f (x )在区间(2,3)上至少有一个零点．8. 解：(1)当m ＋6＝0时，函数为y ＝－14x －5显然有零点．当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝－36m －20≥0，得59m ≤-. ∴当59m ≤-且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，59m ≤-. (2)设x 1、x 2是函数的两个零点，则有()12216m x x m -+=-+，1216m x x m +=+.∵12114x x +=-，∴12124x x x x +=-，即()2141m m --=-+，解得m ＝－3. 当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0. ∴m ＝－3.9. 解析：(1)∵底面积为(15－2x )2，高为x ， 又15－2x ＞0且x ＞0，∴0＜x ＜7.5. ∴y ＝(15－2x )2x ，x ∈(0,7.5)． (2)∵容积为150c m 3， ∴(15－2x )2·x ＝150.下面用二分法来求方程(15－2x )2x ＝150在(0,7.5)内的近似解． 设f (x )＝(15－2x )2x －150， ∵f (0)·f (1)＜0，f (4)·f (5)＜0，∴函数f (x )在[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内各有一个解． 下面用二分法求出方程在(0,1)内的解，如下表：端点或中点横坐标 计算端点或中点函数值定区间 x 1＝0.5 f (x 1)＝－52 [0,1] x 2＝0.75 f (x 2)＝－13.312 5 [0.5,1] x 3＝0.875 f (x 3)＝3.617 2 [0.75,1] x 4＝0.812 5 f (x 4)＝－4.651 4 [0.75,0.875] x 5＝0.843 75f (x 5)＝－0.468 4[0.812 5,0.875]∵0.062 5∴可在区间[0.812 5，0.875]内取0.843 75作为函数零点的近似值．同理可得，在区间[4,5]内的近似值为4.7.即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内解的近似值分别为0.8和4.7.答：如果做成一个容积为150 c m 3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8 c m 或4.7 c m.。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4解析:由题图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.2.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选C.3.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定属于( D )(A)[-2,1] (B)[2.5,4](C)[1,1.75] (D)[1.75,2.5]解析:因为f(-2)=-28<0,f(4)=38>0,f(1)=-4<0,f(2.5)=4.625>0, f(1.75)=-1.515625<0. 所以f(x)在[-2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D.4.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( D )(A)(1.4,2) (B)(1.1,4)(C)(1,) (D)(,2)解析:设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-2<0,f(2)=23-2×2-1>0,F()=()3-2×-1=-<0,所以f()·f(2)<0,所以该根应在区间(,2)内.故选D.5.(2018·河南中原名校联考)函数y=x3与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是( A )(A)[1,2] (B)[0,1](C)[-1,0] (D)[2,3]解析:设f(x)=x3-x-3,当x=1时,y=-3,当x=2时,y=3,f(1)f(2)<0,所以函数的零点必在区间[1,2],故选A.2(A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1)(C)(-1,1)和(1,2) (D)(-∞,-3)和(4,+∞)解析:因为f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0.故选A.7.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一实根0,则f(-1)·f(1)的值( D )(A)大于0 (B)小于0(C)等于0 (D)无法判断解析:如图,根据连续函数零点的性质,若f(-1)·f(1)<0,则f(x)在(-1,1)内必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)内有实根;反之,若方程f(x)=0在(-2,2)内有实根,不一定有f(-1)·f(1)<0,也可能有f(-1)·f(1)>0.故选D.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个(B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数对应的函数值的符号不同,即f(1.25)·f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.解析:令F(x)=f(x)-g(x),因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)<0,F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451<0,F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890>0,于是F(0)·F(1)<0,故使f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),又因为F(2)>0,F(3)>0,故只有区间(0,1).答案:(0,1)10.(2018·广西四校期中联考)已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.(2)解:取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)=-<0,下一个有解区间为(1,2),再x2=(1+2)=,得f()=-<0,由f(1)·f()=-<0,则下一个有解区间为(1,),综合上述所求实数解x0在较小区间(1,)内.11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;(2)设x1,x2∈R,x1<x2,且f(x1)≠f(x2),若方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,试证明必有一个实根属于区间(x1,x2).证明:(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0.又因为a>b>c,所以a>0,c<0,即ac<0.所以Δ=b2-4ac≥-4ac>0.所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,所以f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)].g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)].因为g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2,且f(x1)≠f(x2),所以g(x1)g(x2)<0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.所以方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于区间(x1,x2).。