专题等腰三角形(含答案)

等腰三角形单元测试题(含答案)一、选择题1.下列说法正确的是（）A. 有两边相等的三角形是等腰三角形B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形C. 有一个角是60°的三角形是等腰三角形D. 有一个角是直角的三角形是等腰三角形答案：A，B（等腰三角形的定义是两边相等或两角相等）2.若等腰三角形的两边长分别为3和7，则此三角形的周长为（）A. 13B. 17C. 13或17D. 不能确定答案：B（根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，所以3，3，7不能构成三角形，只能是7，7，3构成三角形，周长为17）3.下列命题中，真命题是（）A. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等B. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合C. 等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍D. 等腰三角形的一个外角等于它的一个内角答案：B（等腰三角形的性质：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；底边上的中点到两腰的距离相等是等腰三角形三线合一的推论；等腰三角形的一边可以是另一边的两倍，如腰是底的两倍；等腰三角形的一个外角不等于它的一个内角，但等于不相邻的两个内角之和）二、填空题4.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为_______°．答案：50°（等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，所以底角为(180°-80°)/2=50°）5.已知等腰三角形的周长为21cm，若有一边长为9cm，则该等腰三角形的其他两边长为 _______．答案：6cm，6cm或9cm，3cm（当9cm为腰时，其他两边为(21-9)/2=6cm；当9cm 为底时，腰为(21-9)/2=6cm，但6+6>9，6-6<9，满足三角形的三边关系，或腰为(21-9)/2=3cm的舍去，因为3+3<9，不满足三角形的三边关系）三、解答题6.在△ABC中，AB = AC，∠A = 120°，BC = 6cm，求AB的长．答案：解：AB = AC，∠A = 120°，∠B = ∠C = (180° - 120°)/2 = 30°，在直角三角形ABC中，利用30°-60°-90°直角三角形的性质，有AB = 2 × (BC/2) = 2 × 3 = 6 × (√3/3) = 2√3cm．7.已知等腰三角形的两边长分别为5和12，求这个等腰三角形的周长．答案：解：分两种情况：当腰为5时，三角形的三边分别为5、5、12，5 + 5 < 12，不能组成三角形，应舍去；当腰为12时，三角形的三边分别为12、12、5，12 + 12 > 5，能组成三角形，周长为：12 + 12 + 5 = 29．这个等腰三角形的周长是29cm．。

等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。

2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。

3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。

4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。

5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。

6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。

证明：DE=DF。

第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。

2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。

4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。

5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。

证明：AB=AC。

6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。

证明：△EFG是等腰三角形。

等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。

2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。

能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。

3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。

专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略【基础知识点】性质：等腰三角形两个底角相等（简称：等边等角）；推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形类型一、与等腰三角形有关最值问题例．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中△BAC＝△DAE＝90°，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最小值为__________．【答案】4【详解】解：连接AM，如下图所示：点M为边DE的中点，且Rt△ADE为等腰三角形，AM DE ∴⊥，12AM DE DM==，在Rt△ADE中，2AD=，由勾股定理可知：222AD AM DM=+，故有AM DM==当A、B、M三点不共线时，由三角形的三边关系可知：此时一定有BM AB AM>-，当三点共线且M点位于A、B之间时，此时有BM AB AM=-，∴4BM AB AM≥-=-4【变式训练1】如图，AD为等腰△ABC的高，其中△ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE=CF，当BF＋CE取最小值时，△AFB的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C【详解】如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小， △AC=BC ，△CH=AC ，△△HCB=90°，AD△BC ，△AD//CH ，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC ，△FH=CE ，△FH+BF=CE+BF 最小， 此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【变式训练2】如图，C 是线段AB 上一动点，ACD △，CBE △都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若6AB =，则线段MN 的最小值为______．【解析】连接CN ，△ACD △和BCE 为等边三角形，△AC CD =，BC CE =，60ACD BCE B ∠=∠=∠=︒ △18060DCE ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒， △N 是BE 的中点，△CN BE ⊥，302BCEECN BCN ∠∠=∠==∠︒，△90DCN DCE ECN ∠=∠+∠=∠︒， 设AC a =，△12CM a =△6AB =，△6BC a =- ，△cos )CN BCN BC a =∠⨯=-△MN==△当92a=时，MN的值最小为【变式训练3】在ABC中，90ACB∠=︒，60B∠=︒，4AB=，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD 的长度为__________．【答案】3【详解】解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，△90ACB∠=︒，60B∠=︒，△30BAC∠=︒，△4AB=，△122BC AB==，△2223AC AB BC，△ACF是等边三角形，△CF AC AF===60FAC∠=︒，△ADE是等边三角形，△AD AE=，60DAE∠=︒，△FAC DAC DAE DAC∠-∠=∠-∠，△CAE FAD∠=∠，在ACE和AFD中，AC AFCAE FADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ACE AFD SAS≅，△CE DF=，当DF BC⊥时，DF的长是最小的，即CE的长最小，△906030FCD'∠=︒-︒=︒，Rt CFD'，△12D F CF'==3CD'=，△当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3．故答案是：3．【变式训练4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝BD、CE为△ABC的两条中线，且BD△CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接DE ．△AB ＝AC ，△△ABC ＝△ACB ，△BE ＝12AB ，DC ＝12AC ，△BE ＝CD ，△BC ＝CB ，△△EBC △△DCB （SAS ），△△ECB ＝△DBC ，EC ＝BD ，△BN ＝CN ，△EN ＝DN ， △BD △EC ，△△EDM ，△BCN 都是等腰直角三角形， △AE ＝EB ，AD ＝DC ，△DE //BC ，DE ＝12BC ，△EN NC＝DE BC ＝12，△CN ＝2EN ，△BN ＝2EN ，△AE ＝BE ＝△EN ＝3，BN ＝6，△BN ＝CN ＝6，△BC ＝作点A 关于直线BD 的对称点H ，连接EH 交BD 于M ，连接AM ，此时AM +EM 的值最小，最小值＝线段EH 的长，过点H 作HT △AB 于T ，延长BD 交AH 于J ． △AJ//EN ，AE ＝EB ，△BN ＝NJ ＝6，△AJ ＝JH ＝2EN ＝6，△S △ABH ＝12•AB •HT ＝12•AH •BJ ，△HT △AT=△ET ＝AE ﹣AT ＝，△EH△AM +EM +BC 的最小值为．故答案为 类型二、等腰三形存在性问题例1．（几何图形种）如图，在矩形ABCD 中，=8AB ，=5AD ，点E 是线段CD 上的一点（不与点D ，C 重合），将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，当△'C CD 为等腰三角形时，CE 的长为___________．【答案】52或203【详解】解：△四边形ABCD 是矩形 △90C ∠=︒，8,5CD AB BC AD ====△将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，△BCE BC E '≌,90C E CE BC E BCE ''∴=∠=∠=︒，BC BC '=， 设CE x =，则8DE CD x x =-=- ①当C D C C ''=时，如图过点C '作,C F CD C G BC ''⊥⊥，则四边形C GCF '为矩形C D C C ''=，142C G DF FC CD '∴====，4EF x =-在Rt BC G '中，3BG =，532C F CG '∴==-= 在Rt C FE '中222C E C F EF ''=+，即()22224x x =+-，解得52x =，52CE ∴= ②当CC CD '=时，如图，设,CC BE '交于点O ，设OE y =,BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC '，11422OC OC CC CD ''∴====3OB =在Rt OCE 中222OE OC CE +=，即2224y x += 在Rt BCE 中，222BE BC CE =+，即()2223+5y x =+ 联立()22222243+5y x y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，解得203163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203EC ∴= ③当DC DC '=时，如图，又BC BC '=，DB ∴垂直平分CC ',BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC ' 此时,D E 重合，不符合题意 综上所述，203=EC 或52，故答案为：52或203例2．（坐标系中）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(78，0)外，还可以是_____．【答案】（1-，0）、（4-，0）、（9，0）【详解】设P （a ，0），△A （0，3），B （4，0），△PB =|a -4|，PA 2=a 2+9，AB =5，△△ABP 是等腰三角形，△①当PB =AB 时，△|a -4|=5，△a =-1或9，△P （-1，0）或（9，0）， ②当PA =PB 时，△（a -4）2=a 2+9，△a =78，P （78，0），③当PA =AB 时，△a 2+9=25，△a =4（舍）或a =-4，△P （-4，0）． 即：满足条件的点P 的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．【变式训练1】如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG △ADG ；（2）求PAG ∠的度数；并判断线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当12∠=∠时，求直线PE 的解析式（可能用到的数据：在Rt 中，30°内角对应的直角边等于斜边一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45PAG ∠=︒，PG OG BP =+；（3）3y -；（4）(0,3)-或3)【详解】（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO ADAG AG=⎧⎨=⎩，△AOG △ADG （HL ）．（2）在Rt △ADP 和Rt △ABP 中，AD ABAP AP =⎧⎨=⎩ΔΔADP ABP ∴≅（HL ），则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠； 又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒， PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+． （3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠， 又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；△在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+△222(2)3OG OG =+，解得OG =G ∴点坐标为0)，3CG = 在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+△222(2)CG CG PC =+，△3PC ==，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．②如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，G M ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．【变式训练2】如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，将△AOB沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度；（3）在x 轴上有一点P ，且△PAB 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(4,0)，(0,3)；（2）78；（3）(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【详解】解：（1）对应一次函数334y x =-+， 当0y =时，3304x -+=，解得4x =，即(4,0)A ，当0x =时，3y =，即(0,3)B ， 故答案为：(4,0)，(0,3)； （2）(4,0),(0,3)A B ，4,3OA OB ∴==，由折叠的性质得：AC BC =，设OC a =，则4BC AC OA OC a ==-=-，在Rt BOC 中，222OB OC BC +=，即2223(4)a a +=-，解得78a ，即OC 的长度为78；（3）设点P 的坐标为(,0)P m ，则4PA m =-，PB 5AB ，根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：①当PB AB =时，PAB △5=，解得4m =±， 此时点P 的坐标为(4,0)P -或(4,0)P （与点A 重合，不符题意，舍去）； ②当PA AB =时，PAB △是等腰三角形，则45m -=，解得9m =或1m =-， 此时点P 的坐标为(1,0)P -或(9,0)P ；③当PA PB =时，PAB △是等腰三角形，则4m -=解得78m =，此时点P 的坐标为7(,0)8P ；综上，点P 的坐标为(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【变式训练3】如图，在直角坐标系中，直线l ：y ＝43x +8与x 轴、y 轴分别交于点B ，点A ，直线x ＝﹣2交AB 于点C ，D 是直线x ＝﹣2上一动点，且在点C 的上方，设D （﹣2，m ） （1）求点O 到直线AB 的距离；（2）当四边形AOBD 的面积为38时，求点D 的坐标，此时在x 轴上有一点E （8，0），在y 轴上找一点M ，使|ME ﹣MD |最大，请求出|ME ﹣MD |的最大值以及M 点的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线l ：y ＝43x +8左右平移，平移的距离为t （t ＞0时，往右平移；t ＜0时，往左平移）平移后直线上点A ，点B 的对应点分别为点A ′、点B ′，当△A ′B ′D 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）4.8；（2）当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值（3）t的值为﹣2﹣、4、﹣或9．【详解】（1）当x ＝0时，y ＝43x +8＝8，△A （0，8），△OA ＝8；当y ＝43x +8＝0时，y ＝﹣6，△B （﹣6，0），△OB ＝6．△AB10，△点O 到直线AB 的距离＝OA OBOA⋅＝4.8． （2）当x ＝﹣2时，y ＝43x +8＝163，△C （﹣2，163），△S 四边形AOBD ＝S △ABD +S △AOB ＝12CD •（x A ﹣x B ）+12OA •OB ＝3m +8＝38，解得：m ＝10， △当四边形AOBD 的面积为38时，点D 的坐标为（﹣2，10）．在x 轴负半轴上找出点E 关于y 轴对称的点E ′（﹣8，0），连接E ′D 并延长交y 轴于点M ，连接DM ，此时|ME ﹣MD |最大，最大值为线段DE ′的长度，如图1所示．DE ′= 设直线DE ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将D （﹣2，10）、E ′（﹣8，0）代入y ＝kx +b ，21080k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：53403k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△直线DE ′的解析式为y ＝53x +403，△点M 的坐标为（0，403）．故当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值 （3）△A （0，8），B （﹣6，0），△点A ′的坐标为（t ，8），点B ′的坐标为（t ﹣6，0）， △点D （﹣2，10），△B ′D8116t -+，A ′B ′10，A ′D△A ′B ′D 为等腰三角形分三种情况：①当B ′D ＝A ′D8116t -+t ＝9； ②当B ′D ＝A ′B ′8116t -+＝10， 解得：t ＝4；③当A ′B ′＝A ′D 时，有10解得：t 1＝﹣2﹣，t 2＝﹣．综上所述：当△A ′B′D 为等腰三角形时，t 的值为﹣2﹣4、﹣或9．类型三、等腰三角形中的动点问题例1.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P 沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接PQ，PC，设点P的运动时间为t(s)．（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_______（cm），BP的长为_______（cm）（用含t的式子表示）；（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；（3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）t；(6−t)；（2）当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）当t=3或t=9时，∆CPQ为等腰三角形．【详解】解：（1）点Q从点B出发，速度为1cm/s，点P从点A出发，速度为1cm/s，△BQ=tcm，AP=tcm，△BP=(6−t)cm，故答案为：t；(6−t)；（2）根据题意分三种情况讨论：①如图所示：当PQ⊥CB时，∠PQB=90°，△三角形ABC为等边三角形，△∠A=∠ACB=∠ABC=60°，△∠QPB=30°，△QB=12PB，由（1）可得：t=12(6−t)，解得：t=2；②如图所示：当PQ⊥AB时，∠QPB=90°，△∠ABC=60°，△∠BQP=30°，△QB=2PB，由（1）可得：t=2(6−t)，解得：t=4；③如图所示：当PQ⊥AC时，∠AQP=90°，△∠A=60°，△∠APQ=30°，△AP=2QA，由（1）可得：t=2(12−t)，解得：t=8；综上可得：当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）根据题意，分情况讨论：①当点Q在BC边上时，CQ=PQ时，如图所示：过点Q作QE⊥AB，△∠ABC=60°，△∠BQE=30°，△BE=12BQ=12t，△QE=√32t，CQ=6−t，PE=6−t−1 2t=6−32t，△PQ=√PE2+QE2=√(6−32t)2+(√32t)2△CQ=PQ，△(6−t)2=(6−32t)2+(√32t)2，解得：t=3或t=0（舍去）；②当点Q在BC边上时，CP=CQ时，如图所示：过点P作PF⊥AC，△∠CAB=60°，△∠APF=30°，△AF=12AP=12t，△PF=√32t，CQ=6−t，CF=6−12t，△CP=√PF2+CF2=12(√3 2△CP=CQ，△(6−t)2=(6−12t)2+(√32t)2，解得：t=0（舍去）；③当点Q在BC边上时，CP=PQ时，如图所示：由图可得：∠CQP>60°，∠QCP<60°，∠CQP≠∠QCP，△这种情况不成立；④当点Q在AC边上时，只讨论CP=PQ情况，如图所示：过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，△∠CAB=60°，∆ABC为等边三角形，△∠AQE =30°，AF =BF =3，△CF =3√3，AQ =12−t ， △AE =6−12t ，△QE =√32(12−t)，△EP =t −(6−12t)=32t −6，△PQ =√QE 2+EP 2=√34(12−t)2+(32t −6)2，△CF =3√3，PF =t −3，△PC =√CF 2+FP 2=√(3√3)2+(t −3)2，△PC =PQ ，△34(12−t)2+(32t −6)2=(3√3)2+(t −3)2，解得：t 1=9或t 2=6（舍去）， 综上可得：当t =3或t =9时，∆CPQ 为等腰三角形．【变式训练1】如图1，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且::2:3:4BD AD CD =； （1）试说明ABC ∆是等腰三角形；（2）已知Δ40ABC S =cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)． ①若DMN ∆的边与BC 平行，求t 的值；②在点N 运动的过程中，ADN ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【详解】解：（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt △ACD 中，AC 5x ，△AB ＝AC ，△△ABC 是等腰三角形； （2）①S △ABC ＝12×5x ×4x ＝40cm 2，而x ＞0，△x ＝2cm ， 则BD ＝4cm ，AD ＝6cm ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ．当MN △BC 时，AM ＝AN ，即10−t ＝t ，此时t ＝5，当DN △BC 时，AD ＝AN ，此时t ＝6， 综上所述，若△DMN 的边与BC 平行时，t 值为5或6； ②ΔADN 能成为等腰三角形，分三种情况： （△）若AD =AN =6，如图：则t =61=6s ；（△）若DA =DN ，如图：过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ， 由1122ACDSAD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯，解得245DH =，在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==，3615AN t s ∴==； （△）若ND =NA ，如图：过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142NQ CD ==，5AN ∴==，51ANt s ∴==； 综上，点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （c ，0），a ≠0且a ，b ，c 满足条件()20a b +=．（1）直接写出△ABC 的形状 ；（2）点D 为射线BC 上一动点，E 为射线CO 上一点，且△ACB =120°，△ADE =60° ① 如图1，当点E 与点C 重合时，求AD 的长；② 如图2，当点D 运动到线段BC 上且CD =2BD ，求点E 的坐标；【答案】（1）等腰三角形，证明见解析；（2）①6；②0,7.E【详解】解：（1） ()20a b +=，030a b c 解得：3a bc∴ A （b -，0），B （b ，0），C （3，0），,OA OB ∴= 而,OC AB ⊥ ,AC BC ∴=ABC ∴是等腰三角形.（2）① △ACB =120°，△ADE =60°，,ACBD DAC 60,DACACD ∴是等边三角形，,AD CD AC,AC BC =30,ABCCAB 90,DAB ∴∠=︒2BD BC CD AD,AD DC BC ∴==3,,CO COAB 6,BC6.AD②在CE 上取点F ，使CF =CD ，连接DF ，记,AD CE 的交点为K ，如图所示：△AC =BC ，△ACB =120°， △△ACO =△BCO =60°， △△CDF 是等边三角形， △△CFD =60°，CD =FD ， △△EFD =120°， △△ACO =△ADE =60°，,AKCFKD △△CAD =△CED ，又△△ACD =△EFD =120°， △△ACD △△EFD （AAS ）， △AC =EF ， 由（1）得：c =3， △OC =3， △△AOC =90°，△ACO =60°， △△OAC =30°， △BC =AC =2OC =6，EF =AC =6，△CD =2BD ， △BD =2，CF =CD =4， △CE =EF +CF =6+4=10， △OE =CE -OC =1037-=， △0,7.E 【变式训练3】如图，在等边△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝6cm ，现有两点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s ，点N 的速度为2cm/s ．当点N 第一次回到点B 时，点M 、N 同时停止运动，设运动时间为ts ． （1）当t 为何值时，M 、N 两点重合；（2）当点M 、N 分别在AC 、BA 边上运动，△AMN 的形状会不断发生变化． ①当t 为何值时，△AMN 是等边三角形； ②当t 为何值时，△AMN 是直角三角形；（3）若点M 、N 都在BC 边上运动，当存在以MN 为底边的等腰△AMN 时，求t 的值．【答案】（1）当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①2t =，△AMN 是等边三角形；②当32t =或125时，△AMN 是直角三角形；（3）8t =【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，x ×1+6＝2x ，解得：x ＝6， 即当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，△AB＝AC＝BC＝6cm，△△A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，△t＝6﹣2t，解得t＝2，△点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若△AMN＝90°，△BN＝2t，AM＝t，△AN＝6﹣2t，△△A＝60°，△2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得32t=；如图3，若△ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得125t=．综上所述，当t为32或125s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，△AN＝AM，△△AMN＝△ANM，△△AMC＝△ANB，△AB＝BC＝AC，△△ACB是等边三角形，△△C＝△B，在△ACM和△ABN中，△△AMC＝△ANB，△C＝△B，AC＝AB，△△ACM△△ABN（AAS），△CM＝BN，△t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．。