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2011-2012山东省化楼中学初三上学期数学期末试题及答案

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2012-2013山东省化楼中学初三上学期数学期末试题及答案2013.01一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）1、 下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．632÷=B ．223355+=C ．632a a a ÷=D ．325()a a = 3.如图．在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A'B'C 的位置，且A 、C 、B'三点在同一条直线上，则点A 所经过的最短路线的长为（ ）A 、43cm 错误！未找到引用源。

B 、8cm 8cmC 、163cm π错误！未找到引用源。

D 、83cm π错误！未找到引用源。

4．如图，在△ABC 中, 075=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （ ）A. 30 B. 35 C. 40 D. 505.如图，已知等腰三角形ABC ，AB = AC ，底边BC 的长为2，DE 是它的中位线，则下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）△ADE 的面积与△ABC的面积之比为1︰4. 其中正确有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6． 已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是（ ）y x1 1 Oy x1-1 O yx-1 -1O1-1 xy O 第6题图7． 已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1<x 1<2，3<x 2<4时，y 1 与y2的大小关系正确的是 A.y1>y 2 B.y1<y2C.y1≥y 2 D.y1≤y 28．二次函数y =k x 2-6x +3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）· A ．k <3 B ．k <3且k ≠0 C ．k ≤3 D ．k ≤3且k ≠09． 三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（ ）(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5 10． 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为1a ，2a ，3a ，4a ，则下列关系中正确的是（）A 4a >2a >1a （B ）4a >3a >2a （C ）1a >2a >3a （D ）2a >3a >4a 二．填空题：本大题共8小题，共32分11． 点P （1,2）关于原点的对称点P ′的坐标为___________．12． 母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________． 13． 当2x =时，2211x x x---=_____________．14． 若1x ，2x 是方程210x x +-=的两个根，则2212x x +=__________．15． 在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_____________． 16． 如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ， B 时又测得该树的影长为8m ， 若两次日照的光线互相垂直，第16题图A 时B 时则树的高度为_____m.17.从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数， 作为关于x 的一元二次方程x 2﹣x +k=0中的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是18如图，是二次函数 ()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分，给出下列命题：①0a b c ++=；②2b >a ；③20ax bx c ++=的两根分别为－3和1；④20a bx c >-+．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号） 三．解答题：认真细致，你—定能做对! 19． (本题满分8分) 先化简，再求值：1112221222-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x ．20、 (8分) 小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差(大数减小数)大于或等于2，小明得1分，否则小亮得1分．你认为游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平．21．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC 错误！未找到引用源。

2∠ACD ；（2）AC 2错误！未找到引用源。

AB·AD ．22．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．成为为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计．2008年底全市汽车拥有量为l5万辆，而截止到20l0年底，全市的汽车拥有量已达21．6万辆 (1) 求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2) 为保护城市环境．缓解汽车拥堵状况．从2011年初起．该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％。

假定在这种情况下每年新增汽车数量相同．请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．23．●观察计算当5a =，3b =时， 2a b +与a b 的大小关系是_________________． 当4a =，4b =时，2a b +与a b 的大小关系是_________________．●探究证明如图所示，ABC ∆为圆O 的内接三角形，A B 为直径，过C 作CD AB ⊥于D ，设AD a =，BD =b ．（1）分别用,a b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +与a b 的大小关系是：_________________________． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．24.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式；(2)写出销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？参考答案一答案1、D2、 A 3、D4、A 5、D6、D7、B 【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】∵当1<x 1<2，3<x 2<4时，0<y1<1，1<y2<4，∴y 1 <y2。

故选B 。

8、D 9、C10、【答案】B 。

【考点】正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质。

【分析】求出各图形的周率，比较即可得到答案：①设等边三角形的边长是b ，则等边三角形的周率a 1=3=3b b ；②设正方形的边长是b ，由勾股定理得：对角线是错误！未找到引用源。

，则正方形的周率是a 2=错误！未找到引用源。

；③设正六边形的边长是b ，过B 作BO ∥AF 交BE 于O ，得到菱形ABOF 和等边三角形BCO ，直径FC=b +b =2b ，∴正六边形的周率是a 3=6=32b b；④圆的周率是a4= 3.14π≈。

∴a 4＞a3=a 1＞a 2。

故选B 。

二．填空题 11、 12、2π；13．22；14．3； 15．12;16. 14．4 ；17、35；【分析】方程中有两个不相等的实数根，根的判别式△=1﹣4k 的值大于0，将各个值代入，求出值后，再计算出概率即可：k=﹣2，△=9＞0；k=﹣1，△=5＞0；k=0，△=1＞0；k=1，△=﹣3＜0；k=2，△=﹣7＜0。

故所得的方程中有两个不相等的实数根的情况有3种，概率是35。

18、①③；【答案】①③。

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点。

【分析】①由图象可知二次函数的图象过（1，0），根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，把（1，0）代入2y ax bx c =++，即得0a b c++=。

故命题正确。

②由图象可知二次函数图象的对称轴为x ＝－1，因此由根据12b a-=-，推出2b a =。

故命题2b >a错误。

③根据图象关于对称轴x ＝－1对称和过（1，0），得出与x 轴的另一个交点是（﹣3，0）故命题20ax bx c ++=的两根分别为－3和1正确。

④由图象可知二次函数图象开口向上，故0a >，∴20b a >=，∴233a b c a b c b b -+=++-=-＜0。

故命题20a bx c >-+错误。

三、解答题19．(本小题满分7分) 解：原式=11)1()1(2)1)(1(22-+++÷-+-x x x x x x …………………2分=11)1(2)1()1)(1(22-+++⋅-+-x x x x x x=11)1(22-+--x x x …………………4分=)1(2-x x ． ……………………………5分当12+=x 时，原式=422+．…………………7分20、【答案】解：画树状图：∴P （差大于或等于2）＝63168=， P （差小于2）＝105168=。

∴小明得分：331=88⨯，小亮得分：551=88⨯。

∵3588≠，∴游戏对双方不公平。

游戏规则改为两次数字之差(大数减小数)大于或等于2，小明得5分，否则小亮得3分。

21、【答案】证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD 错误！未找到引用源。

90°。

即∠ACD ＋∠ACO 错误！未找到引用源。

90°。

∵OC 错误！未找到引用源。

OA ，∴∠ACO 错误！未找到引用源。

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北师大九上2011-2012第一学期期末九年级

北师大九上2011-2012第一学期期末九年级

第6题图EDAB C第7题图九年级数学试题（时间：120分钟 满分120分）一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．请将所选答案的字母标号填在第8小题后面的表格内． 1．在△ABC 中，若∠C=90°，cosA=12，则∠A 等于（ ）. A ．30° B ．45° C ．90° D ．60°2．右图是由两个几何体摆放在一起组成的图形， 则它的左视图正确的是（ ）．3．已知点P （2m －1，1）在反比例函数1y x=的图象上，则m 等于（ ）．A ．23B ．1C ．32D ．24．一元二次方程x 2＋4x = 2的实数根是（ ）.A ．2．﹣2C ．2．﹣25．为了估计一个池塘里有多少条鱼，有如下方案：从池塘里捕捞200条鱼做上标记，然后放回，经过一段时间再捕捞上300条，若其中带有标记的鱼有15条，那么估计这个池塘里大约有（ ）条鱼．A ．4000B ．4500C ．5000D ．55006．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（） A 3m B．4m C ．332+）m D ．（32）m7．如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论：①DE ＝3cm ；②BE ＝1cm ；③菱形的面积为15cm2；④BD ＝．正确的有（ ）．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个第2题图A B CD8．下表是用表格表示的某二次函数：A ．x ＜1B ．﹣3＜x ＜1C ．﹣13＜x ＜13D ．x ＞1 请将1—8各小题所选答案的标号填写在下表中相应的位置上：二、填空题：（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将 9—14各小题的答案填写在第14小题后面的表格内．9．已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，－3），则a ＋b ＋c ＝_________． 10、高为6米的旗杆在水平地面上的影子长为4米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_________米．11．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计共握了36次手，则这次到会的人数是多少人？若设这次参加会议有x 人，则x 满足的方程是___________． 12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2cm ，AB的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则CE 的长等于__________cm ．13．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系内的图象如图所示，则图象与x 轴的另一个交点坐标为14．将矩形纸片ABCD 如图那样折叠，使顶点A 与顶点C 重合，折痕为EF ．若3=AB ，3=AD ，则△EFC 的周长为_________．第13题图三、作图题：（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15、如图，A ，B 表示两个仓库，要在AB 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？请在下图中作出码头的位置点P ．结论：四、解答题（共9个题,74分） 16．（本题满分8分,每小题4分）（1）解方程：(x ＋3)2＝2x (3＋x )解：（2）列方程解应用题：为响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2010年某省退耕还林64万亩，计划2012年退耕还林100万亩，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少？ 解：A B ² ²17．（本题满分6分）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角∠BAD ＝60°，坡长AB ＝加强水坝强度，将坝底从A 处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡的坡角∠F ＝45°，试求AF 的长度（结果精确到1米，参考数据 1.414≈ 1.732≈）．解：18．（本题满分6分）下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配成紫色）游戏.你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗?请用树状图或表格说明理由. 解：19．（本题满分6分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，• 求证：•BC=3AD.证明：20、（本题满分8分）小明家利用贷款购买了一套价值58万元的住房，在交了首期付款后，每年需向银行付款y万元，预计x年后还清贷款，y与x的函数关系如图所示．试根据图象所提供的信息回答下列问题：（1）求y与x之间的函数关系式；并说明小明家交了多少万元首付款；（2）若小明家计划用12年时间还清贷款，每年需向银行付款多少万元？（3）若小明家打算每年向银行付款不超过2万元，小明家至少用多少年才能还清贷款？解：（1）（2）（3）D CA21．（本题满分8分）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC ＝∠CAB ，∠DEC ＝90°. （1）求证：AC ∥DE ；（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连结EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由. 证明：（1） （2）22、（本题满分10分）蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x （月份）与市场售价p （元/千克）的关系满足：3122p x =-+；这种蔬菜每千克的种植成本y （元/千克）与上市时间x （月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）若图中抛物线过A B C ，，点，求出抛物线对应的函数关系式；（2）由以上信息计算分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）ABCDEF在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，而解决问题的方法就是类比法.类比法是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法.我们在学习分式一章时，用与分数类比的方法导出分式概念、分式基本性质、分式的四则运算法则；在学习相似三角形判定方法我们类比全等三角形的判定定理得到.问题提出：相传古时候，某个王国的国王要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止．”国王立即答应了．问国王将会给发明者多少粒麦粒？解决这个问题，就是求：633222221+++++ =？类比探究：为了解决上面的问题，我们类比学过的多项式乘法公式来探究： （1）已知当x≠1时，可以计算得到()()()()()()43232111,111,1112x x xx x x xx x x x x -=+++--=++--=+-，…观察上式，并猜想()()=++++-n x x x x 211 ；（2）根据你的猜想，计算①()()=+++++-543222222121 ；②=+++++5432222221 ；问题解决：633222221+++++ = . 拓展应用：①2(1+100323333++++ )= ；②()()=+++++-11979899x x x xx .类比推广：①()()=+-b a b a ； ②()()=++-22bab a b a ；③()()=+++-3223bab b a a b a ；④()()=++++++-----n n n n n nb ab b a b a b aa b a 122221已知：矩形ABCD ， BC =4， AB =3，点P 由点C 出发，沿CA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ，过点P 作PQ ∥AD ，与边CD 交于点Q ，若设运动的时间为t (s)（0＜t ＜5），解答下列问题：（1）t 为何值时∠ABP =∠APB ？（2）设四边形BPQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得折线BP —PQ 恰好把矩形ABCD 的周长和面积分成的上下两部分之比同时为3∶2？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．解（1）（2）（3）九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）15、 解：作图正确得3分，结论得1分. 四、解答题（本题满分74分） 16、（本题满分6分）(1) 解：(x ＋3)2＝2x (3＋x )0)3(2)3(2=+-+x x x …………1分D Q0)23)(3(=-++x x x …………2分 0)3)(3(=+-+x x …………3分∴.3,321=-=x x . ………4分(2)解： 设年平均增长率为x. …………1分根据题意列方程，得 64（1+x ）2=100 …………2分 解得 x 1=0.25=25％，x 2=﹣2.25（舍去） …………3分 答：这两年平均每年退耕还林的平均增长率为25％ . ………4分 17. （本题满分6分） 解：过B 作BE ⊥AD 于E在Rt △ABE 中,∠BAE ＝60°，∴∠ABE ＝30°∴AE ＝12AB 12=⨯=∴BE30===∴在Rt △BEF 中, ∠F ＝45°， ∴EF ＝BE ＝30∴AF ＝E F －AE ＝30－1.732≈∴AF ≈12.68≈13 …………6分 18、（本题满分6分） 解：列表格，因为所以P （配成紫色）=5/9，P （配不成紫色）=4/9因为P （配成紫色）=5/9，所以P （配不成紫色）=4/9，因此游戏不公平。

2010—2011学年度初三上期末数学综合测试试卷3苏科版

2010—2011学年度初三上期末数学综合测试试卷3苏科版

24．已知：如图，AB是⊙O直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD＝PC，连结CD并延长交⊙O于点E．
(1)求证：∠ABE＝∠BCE；
(2)当点P在AB的延长线上运动时，判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化而变化，提出你的猜想并加以证明．
25．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
（3）劣弧比优弧短（4）菱形的四个顶点在同一个圆上
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，RtΔABC中，∠C＝900，AC＝6，BC＝8，CD为直径的⊙O与AB相切于E，则⊙O的
半径是……………………………………………………………………………………()
A．2B．2.5C．3D．4
9．已知点(－1,y1)、(－3,y2)、(,y3)在函数y＝3x2＋6x＋12的图象上，那么y1、y2、y3的大小
A．ODB．OAC．CDD．AB
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：
11．抛物线y＝x2－2x+3的顶点坐标是．
12．若2是关于x的一元二次方程x2＋3kx－10＝0的一个根，则k＝．
13．若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了_m．
14．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，且它们相切，则圆心距O1O2等于cm．
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x的之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）
2011～2012年八年级上期末数学试卷含答案

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2011—2012学年第一学期期末考试试卷初二数学下列各小题均有4个选项，其中只有一个．．选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下表中相应题号的下面 1．若分式21x -的值为0，则x 的值为 A ．1B ．1-C ．1±D ．22x 的取值范围是A ．1x >B ．1x ≥C ．1x <D ．1x ≤ 3．已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm4．如图，AC ∥BD ，AD 与BC 相交于O ，4530A B ∠=∠=，，那么AOB ∠等于 A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°5．下列判断中，你认为正确的是 AB ．π是有理数 第4题C xD 26．在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是A ．冠军属于中国选手B ．冠军属于外国选手C ．冠军属于中国选手甲D ．冠军属于中国选手乙7．下列运算中正确的是A ．623x x x = B ．1x y x y -+=-+C ．22222a ab b a b a b a b +++=--D ．11x xy y+=+8．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90︒，AB=4，BC =2, D 为AB 的中点，则△ACD 的面积是 AB．C ．2D ．49．2011年雨季，一场大雨导致一条全长为550米的污水排放管道被冲毁．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务，问原计划每天铺设多少米管道？设原计划每天铺设x 米管道，所列方程正确的是A ．5505505(110%)x x -=+B ．5505505(110%)x x -=+ C ．5505505(110%)x x-=-D ．5505505(110%)x x-=-10.如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是 第10题A ．60°B ．70°C ．80°D ．不确定 二、填空题（本题共15分，每小题3分） 11．如图，在ABC △中，∠C 是直角，AD 平分∠BAC 交BC 于点D .如果AB =8，CD =2那么△ABD 的面积 等于 ．12．计算：222233yx y x-÷= ． 第11题 13．如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．若4BC =， 则BE CF +=_____________． 14.如果11m m-=-，那么2m m += . 15．一般的，形如1x a x+=（a 是已知数）的分式方程有两个解，通常用1x ，2x 表示. 请你观察下列方程及其解的特征：（1）12x x +=的解为121x x ==；（2）152x x +=的解为12122x x ==，； （3）1103x x +=的解为12133x x ==，；…… ……解答下列问题：（1）猜想：方程1265x x +=的解为1x = ，2x = ； （2）猜想：关于x 的方程1x x += 的解为121(0)x a x a a==≠，.CBAF E B C D A第13题三、计算题（本题共15分，每小题5分）16．. 解：17．22⎤-⎦.解：18.2222+224a a a a a a +⎛⎫∙ ⎪+-+⎝⎭． 解：四、解答题（本题共10分，每小题5分）19. 已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ．求证：AB =AC .小红和小聪在解答此题时，他们对各自所作的辅助线叙述如下： 小红：“过点A 作AD ⊥BC 于点D ”；小聪：“作BC 的垂直平分线AD ，垂足为D ”.(1) 请你判断小红和小聪的辅助线作法是否正确； (2) 根据正确的辅助线作法，写出证明过程． 解：（1）判断： ； （2）证明：20．如图，在ABC △中，AB=AC ，D 是AB 的中点，点P 是线段CD 上不与端点重合的 任意一点，连接AP 交BC 于点E ，连接BP 交AC 于点F ．求证：（1）CAE CBF =∠∠； （2）AE BF =. 证明（1）（2）五、解答题（本题共15分，每小题5分） 21．已知20x y -=， 求22y 1x y x y÷-- 的值． 解：22. 解分式方程： 223124x x x --=+-． 解：23.列方程或方程组解应用题：随着人们环保意识的增强，环保产品进入千家万户.今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米? 解：六、解答题（本题共9分，其中24小题4分，25小题小题5分）24. 如图，ABC △中，90ACB ∠=°，将ABC △沿着一条直线折叠后，使点A 与点C 重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l ．设直线l 与AB AC ，分别相交于点D E ，，连结CD ．（画图工具不限，不要求写画法） （2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（用字母表示，不要求证明） 解：（2）25. 已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD ⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，BAD FCD ∠=∠． 求证：（1）△ABD ≌△CFD ；（2）BE ⊥AC ． 证明：(1)（2）①A B ②B 折叠后七、解答题（本题6分）26．已知ABC △，以AC 为边在ABC △外作等腰ACD △， 其中AC =AD .（1）如图1，若2DAC ABC ∠=∠，△ACB ≌△DAC ， 则ABC ∠= °；（2）如图2，若30ABC ∠=︒，ACD △是等边三角形， AB =3，BC =4. 求BD 的长. 解：（2）答案及评分参考一 、选择题（本题共30分，每小题3分）11. 8, 12.392x -, 13. 2, 14. 1 ,15.1215,5x x ==（2分）；21a a +（1分）三、计算下列各题（本题共20分，每小题5分） 16．解： 1=3452⨯⨯⨯==分分.................................................................5分222(13)(62)..........................................288⎤-⎦=+--=++=分分....................................4=分分2222222+224(2)2(2)(2)=.......................3(2)(2)(2)(2)422+4(2)................................................4(2)(2)4 (2)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫∙ ⎪+-+⎝⎭⎡⎤-+++∙⎢⎥+-+-+⎣⎦-++=∙+-+=-分分....................................................................5分四、解答题（本大题共2个小题，每小题5分，共10分） 19. 解：（1）判断：小红的辅助线作法正确 ；………….1分 （2）证明：∵AD ⊥BC ，∴ ∠ADB=∠ADC =90°.…………………………2分 ∵ ∠B=∠C ，AD =AD . ………………………………………3分 ∴ △ABD ≌△ACD .………………………………4分 ∴ AB =AC . ……………………………………..5分 20．证明（1） ∵ AB=AC ，D 是AB 的中点，∴ CD 平分∠ACB ………………………………………1分 ∴ ACP BCP ∠=∠ ∵ CP CP =，∴ △ACP ≌△BCP ………………………………2分 ∴ CAE CBF ∠=∠…………………………………3分 （2） ∵BCF ACE ∠=∠， CBF CAE ∠=∠，BC AC =，∴ △ACE ≌△BCF …………………………………………………………………4分 ∴ BF AE =. ………………………………………………………………………5分 五、解答题（本大题共15分，每小题5分） 21．解：原式=()()）（y x y x y x y-⋅-+………………………………………………………2分 =yx y+………………………………………………………………………3分 ∵ 20x y -=， ∴ x =2y∴y x y +=312=+y y y ………………………………………………………………5分 22. 解分式方程：223124x x x --=+-． 解：22(2)(4)3x x ---=．.................................................................................................2分45x -=-．………………………………………………………………3分54x =．………………………………………………………………..4分经检验，54x =是原方程的解．……………………………………………………….5分23.解：解：设小明家2月份用气x 立方米，则去年12月份用气(x +10) 立方米．-------1分 根据题意，得%251096109690⨯+=+-x x x ．………………………………………….2分 解这个方程，得x ＝30 ．…………………………………………………………………..3分 经检验，x ＝30是所列方程的根．………….……………………………………………….4分 答：小明家2月份用气30立方米． …………………………………………………….5分 六、解答题（本大题共9分，其中24小题4分，25小题小题5分） 24. 解：（1）如图所示： 2分 （2）ADC △，BDC △为等腰三角形． 4分25，∴ ∠ADC=∠FDB=90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒……………………..1分∴ AD=CD. ………………………………………2分 ∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD ≌△CFD ………………………………3分(2) ∴ BD=FD. ………………………………………………………………………4分 ∵ ∠FDB=90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒. ∵ 45ACB ∠=︒， ∴ 90BEC ∠=︒.∴ BE ⊥AC ．……………………………………………………………………………5分 七、解答题（本题6分）26. 解：（1）45；…….………………………………………………………………………..2分 （2）如图2，以A 为顶点AB 为边在ABC △外作BAE ∠=60°， 并在AE 上取AE =AB ，连结BE 和CE .∵ ACD △是等边三角形, ∴AD =AC ，DAC ∠=60°. ∵ BAE ∠=60°,∴ DAC ∠+BAC ∠=BAE ∠+BAC ∠.即EAC ∠=BAD ∠. ∴EAC △≌BAD △. …….…………………………….3分∴ EC =BD.∵ BAE ∠=60°，AE =AB=3, ∴ AEB △是等边三角形，∴ =60EBA ∠︒，EB =3.………………………………………………………………….4分∵ 30ABC ∠=︒, ∴ 90EBC ∠=︒.∵ 90EBC ∠=︒，EB =3，BC =4,∴ EC =5…………………………………………………………………………………5分 ∴ BD =5. ……………………………………………………………………………….6分A AEBCD2图。

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25．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

1. 本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。

考试时间 120 分钟。

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和准考证号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

考生须知初三第一学期期末学业水平调研数学2018．1 学校姓名准考证号一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 抛物线 y =(x -1)2+ 2 的对称轴是A. x = -1B. x = 1C. x = -2D. x = 22. 在△ABC 中，∠C = 90°．若 AB = 3，BC = 1，则sin A 的值为A.1 3B. 2 C ． 3D ． 33. 如图，线段 BD ，CE 相交于点 A ，DE ∥BC ．若 AB = 4，AD = 2，DE = 1.5，则 BC 的长为 A ．1 B ．2 C ．3D ．44. 如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE ．若点 D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小为 A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5. 如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC = 3:2，∠A = α，∠C = β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 S 1 和 S 2 ，△OAB与△OCD 的周长分别是C 1 和C 2 ，则下列等式一定成立的是A. OB =3CD23B.= 2C ． S 1 =3 D ． C 1 = 3S 2 2C 2 22 2AEBCDBAECDC DOAB6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不经过 A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q7. 如图，反比例函数 y =值 k 的图象经过点 A （4，1），当 y < 1 时，x 的取x范围是A. x < 0 或 x > 4 B ． 0 < x < 4 C ． x < 4 D ． x > 48. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC = DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说法正确的是A图 1图 2A. 小红的运动路程比小兰的长B. 两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇C. 当小红运动到点 D 的时候，小兰已经经过了点 DD. 在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径CODByO 1.09 7.49 9.68 17.12 xyM5 4 3 2 1A–6 –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3Q4 5 6 xPN –1 –2 –3–4–5 y1 OA4xA CO D B3 3 PxDAO C B已知：平面内一点 A ． 求作：∠A ，使得∠A = 30°． 作法：如图，（1） 作射线 AB ；（2） 在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C ；（3） 以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点 D ，作射线 AD ．∠DAB 即为所求的角．二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9. 方程 x 2 - 2x = 0 的根为 ．10. 已知∠A 为锐角，且tan A =，那么∠A 的大小是°．11. 若一个反比例函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）12. 如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴为 x = 1 ，点 P ，点 Q 是抛物线与 x轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为．y x =113. 若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为．BC14. 如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点 A ，点 C ，若∠P = 60°，OPA = ，则 AB 的长为 ．AP15. 在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行 驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ．交 交交交 交交16. 下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题交交 3.2m交0.8m20m10mx mO8 2 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： 2 sin 30 ° -2 cos 45 ° + ．18. 已知 x = 1 是关于 x 的方程 x 2 - mx - 2m 2 = 0 的一个根，求 m (2m +1) 的值． 19. 如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB = 3，AC = 5，sin C = 3，求 BC 的长． 5AB C20. 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为 v （单位：吨/天），卸货天数为 t ．（1） 直接写出 v 关于 t 的函数表达式：v =；（不需写自变量的取值范围）（2） 如果船上的货物 5 天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 4，BC = 2，以 AC 为边作△ACE ，∠ACE = 90°，AC =CE ，延长 BC 至点 D ，使 CD = 5，连接 DE ．求证：△ABC ∽△CED ．ABCD22. 古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图 1 中∠BAC 为锐角，图 2 中∠BAC 为直角，图 3 中∠BAC 为钝角）．AAAB B' C' C图 1 图 2 图 3在△ABC 的边 BC 上取 B ' ， C ' 两点，使∠AB 'B = ∠AC 'C = ∠BAC ，则△ABC ∽△B 'BA ∽△C 'AC ，AB ( ) AC =， = ( ) ，进而可得 AB 2 + AC 2 =；（用 BB '，，C ' BC 表示） B 'B AB C 'C AC若 AB =4，AC =3，BC =6，则 B 'C ' =．23. 如图，函数 y =k （ x < 0 ）与 y = ax + b 的图象交于点 A （-1，n ）和点 B （-2，1）．xE（1） 求 k ，a ，b 的值； （2） 直线 x = m 与 y =k （x < 0 ）的图象交于点 P ，与 y = -x +1的图象交于点 Q ，当∠PAQ > 90︒ 时， x直接写出 m 的取值范围．24. 如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC ，过点 D 作 DE ∥AB 交弦 BC 于点 E ，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF = DE ． （1） 求证：DF 是⊙O 的切线； （2） 连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD = 4，DE = 5，求 DM 的长．A25. 如图，在△ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， ∠C = 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转50°至 AD ' ，连接 BD ' ．已知 AB = 2cm ，设 BD 为 x cm ，B D ' 为 y cm ．AD'BDC小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程， 请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1） 通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：DOB EC FyABOx（2） 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3） 结合画出的函数图象，解决问题：线段 BD ' 的长度的最小值约为 cm ；若 BD ' ≥ BD ，则 BD 的长度 x 的取值范围是．26. 已知二次函数 y = ax 2 - 4ax + 3a ．（1） 该二次函数图象的对称轴是 x =；（2） 若该二次函数的图象开口向下，当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最大值是 2，求当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点 P (x 1，y 1 ) 结合图象，直接写出t 的最大值．， Q (x 2，y 2 ) ，当t ≤ x 1 ≤ t +1， x 2 ≥ 5 时，均满足 y 1 ≥ y 2 ，请27. 对于⊙C 与⊙C 上的一点 A ，若平面内的点 P 满足：射线 AP 与⊙C 交于点 Q （点 Q 可以与点 P 重合），且–3 –2 A–1 O–1–2–3–4–5–61 2 3 4 5 x–3 –2A–1 O–1–2–3–4–5–61 2 3 4 5 x1 ≤PA≤ 2 ，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．QA已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足tan ∠BAO =1，求点B 的纵坐标t 的取值范围；2（3）直线y=3x+b与x 轴交于点M，与y 轴交于点N，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．y y5 54 43 32 21 128.在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD，CE 交于点Q，请判断“QB =2QA ”是否正确：（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB =①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠PAB 的大小；PA．②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β 之间的数量关系，并证明你的结论．A A AB C B C B C图1 图2 图3 PE Q DP22 22 初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准2018．1一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1 2 3 4 5 6 7 8 BACBDCAD二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9． 0 或 2 10．60 11． y = 1（答案不唯一）12．（ -2 ，0）x13．614．215．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°， 直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角， sin A =1， ∠A 为锐角， ∠A = 30︒ . 2三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题7 分）17．解：原式 = 2 ⨯ 1 - 2 ⨯2 + 2 ....................................................................................3 分 22= 1- + 2 = 1+ ........................................................................................................... 5 分18. 解：∵ x = 1 是关于 x 的方程 x 2 - mx - 2m 2 = 0 的一个根，∴ 1- m - 2m 2 = 0 .∴ 2m 2 + m = 1 ....................................................................................................... 3 分 ∴ m (2m +1) = 2m 2 + m = 1 ................................................................................. 5 分19.解：作 AD ⊥BC 于点 D ，∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5， sin C = 3，52ABDCAC2 -AD 2 2AB2 -AD2AB2 +BC 2 5 5 3∴AD =AC ⋅sin C = 3 .............................. 2 分∴在Rt△ACD 中，CD == 4 ........................................................ 3分∵AB = 3 ，∴在Rt△ABD 中，BD == 3 ....................................................... 4 分∴ BC =BD +CD = 7 ..................................................................................... 5分20.解：（1）240 .............................................................................................................................分t（2）由题意，当t = 5 时，v =240= 48 ........................................................................ 5 分t答：平均每天要卸载48 吨. 21．证明：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2，∴AC == 2 .∵CE=AC，∴ CE = 2 .∵CD=5，∴AB=AC ...................................................................................................... 3 分CE CD∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.∴ △ABC∽△CED ....................................................................................................... 5分22.BC，BC，BC (BB'+CC')116………………3 分………………5 分23.解：（1）∵函数y =k（x<0）的图象经过点B（-2，1），x∴ k=1，得k =-2 ..................................................................................... 1分-2∵ 函数y =k（x<0）的图象还经过点A（-1，n），x∴n =-2= 2 ，点A 的坐标为（-1，2）................................................................ 2 分-1EAB C D⎨ ⎨ ∵ 函数 y = ax + b 的图象经过点 A 和点 B ， ∴ ⎧-a +b = 2, -2a + b = 1. 解得⎧a = 1,= 3. .............................................................................. 4 分 ⎩ ⎩b（2） -2 < m < 0 且m ≠ -1 ...................................................................................... 6 分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE ................................................................................................ 1 分 ∵ ED =EF ， ∴ ∠EDF =∠EFD .∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF ...................................................................................................... 2 分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线 ........................................................................................ 3 分（2）解： 连接 DC ，∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴ CE = 3 ，EF =DE =5.∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ BF = BE + EF = 10 ， BC = BE + EC = 8 .∴ AB =8. ........................................................................................................... 5 分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF.yNMAOH C xM'N'∴ AB = BF . ME EF∴ ME =4.∴ DM = DE - EM = 1 ............................................................................. 6 分25．（1）0.9. ................................................ 1 分（2）如右图所示 .................................. 3 分 （3）0.7， ............................................. 4 分0 ≤ x ≤ 0.9 ................................ 6 分26. 解：（1）2． .................................................................................................................................. 1 分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线 x = 2 ，∴ 当 x = 2 时，y 取到在1 ≤ x ≤ 4 上的最大值为 2. ∴ 4a - 8a + 3a = 2 .∴ a = -2 ， y = -2x 2 + 8x - 6 ............................................................................ 3 分 ∵ 当1 ≤ x ≤ 2 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x = 1 时，y 取到在1 ≤ x ≤ 2 上的最小值0 . ∵ 当2 ≤ x ≤ 4 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x = 4 时，y 取到在2 ≤ x ≤ 4 上的最小值-6 .∴ 当1 ≤ x ≤ 4 时，y 的最小值为-6 ................................................................. 4 分 （3）4. .................................................................................................................................... 6 分27. 解：（1）（2，0）(答案不唯一). .................................................................................................. 1 分 （2）如图，在 x 轴上方作射线 AM ，与⊙O 交于 M ，且使得tan ∠OAM =1 ，并在 AM 上取点 N ，使2AM =MN ，并由对称性，将 MN 关于 x 轴对称，得 M 'N '，则由题意，线段 MN 和 M 'N '上的点是满足条件的点 B .作 MH ⊥x 轴于 H ，连接 MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°.y21O 1 23 x3 2 3 34 ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ tan ∠HMC = tan ∠OAM = 1 .2∴ MH =HC = 1 . HA MH 2设 MH = y ，则 AH = 2 y ， CH = 1y ，2∴ AC = AH + CH = 5 y = 2 ，解得 y = 4 ，即点 M 的纵坐标为 4.2 5 5又由 AN = 2 A M ，A 为（-1，0），可得点 N 的纵坐标为 8，5故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足： 4 ≤ t ≤ 8 ..................................................分5 5由对称性，在线段 M 'N ' 上，点 B 的纵坐标 t 满足： - 8 ≤ t ≤ - 4 ...........................分5 5∴ 点 B 的纵坐标 t 的取值范围是- 8 ≤ t ≤ - 4 或 4 ≤ t ≤ 8.5 5 5 5（3） -4 - ≤ b ≤ -1或1 ≤ b ≤ 4 - ............................................................................ 7 分28. 解：（1） 否 ................................................................................................................................... 1 分 （2） ① 作 PD ⊥AB 于 D ，则∠PDB =∠PDA =90°，∵ ∠ABP =30°，∴ PD = 1BP ................................................ 2 分2∵ PB =∴ PD =2PA ，2 PA .2∴ sin ∠PAB = PD= .PA 2由∠PAB 是锐角，得∠PAB =45°. ........................................................................... 3 分另证：作点 P 关于直线 AB 的对称点 P ' ，连接 BP ', P ' A , PP '，则∠P ' BA = ∠PBA , ∠P ' AB = ∠PAB , BP ' = BP , AP ' = AP .∵∠ABP =30°，∴ ∠P ' BP = 60︒ .DPA BCP'APBC∴△ P ' BP 是等边三角形.∴ P ' P = BP .∵ PB = ∴ P ' P = 2PA ，2PA .............................................................................................. 2 分∴ P ' P 2 = PA 2 + P ' A 2 .∴ ∠PAP ' = 90︒ .∴ ∠PAB = 45︒ .............................................................................................. 3 分② += 45︒ ，证明如下： ....................................................................................... 4 分作 AD ⊥AP ，并取 AD =AP ，连接 DC ，DP .∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD ................................................................................................ 5 分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴ PD = ∵ PB = 2PA ，∠ADP =∠APD =45°. 2PA ，∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC .∵ ∠APC = α，∠BPC = β， ∴ ∠DPC =+ 45︒ ， ∠1 = ∠2 =- .∴ ∠3 = 180︒ - 2∠DPC = 90︒ - 2.∴ ∠ADP = ∠1+ ∠3 = 90︒ -- = 45︒ .∴ += 45︒ .................................................................................................. 7 分D1 3A2 PEBC“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。