【高二】陕西西安市长安区2017-2018学年高二《数学》上学期期末考试试题文及答案

长安一中2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ,集合}{22M x x x =<->或,{}2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．}12|{<≤-x xB ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2.下面是关于复数iiz ---=131的四个命题：其中的真命题为（ ）①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限 ②复数z 的虚部是-2 ③复数z 是纯虚数 ④5=zA. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3．设0.213121log 3,,23⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c ,则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C. 12 D. 225.在ABC ∆中，角A 、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a 、b 、c，若a =，B A 2=，则B cos 等于（ ） A ．33 B ．43 Ｃ．53 Ｄ． 63 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A.18B.24C.30D.367. 若下框图所给的程序运行结果为=35S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )俯视图A.7k =B.6k ≤C.6k <D.6k > 8.若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的 体积等于( )A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm 9.下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点 ( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3 C.4 D ．512.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A.()0,+∞B.()(),03,-∞+∞ C.()(),00,-∞+∞ D.()3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是________14.已知0(sin cos )a t t dt π=+⎰，则61()ax x -的展开式中的常数项为 .15.函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则nm 11+得最小值为 .16．已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. （本小题共12分）设数列10,10,}{11+==+n n n n a a S n a 项和为的前 9，9991+++n S a n n （1）求证：{}1+n a 是等比数列； (2)若数列{}n b 满足()()()*+∈+⋅+=N n a a b n n n 1lg 1lg 11,求数列{}n b 的前n 项和n T ；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F=分别是1,CC BC 的中点.（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试成绩（被抽取学生的成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出n 、a 、b 、c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望.20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截抛物线45的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；FE C 1B 1A 1CBA（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线24y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.21. （本小题共12分）已知函数()1x f x e x =--（Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10xa e x -++<成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0x ≥时，2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)．曲线C 2: 2240x y y +-=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(4π)．(I)求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值. 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知()()2f x x m m R =+∈．(I)当m =0时，求不等式()25f x x +-<的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围．2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2⎤⎡⋃--⎦⎣， 14. 25- 15. 2 16.1,（0）e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992=a ，故101112=++a a ， 当n S a n n n 9921+=≥-时， ①又9991++=+n S a n n ②②－①整理得：1011n 1n =+++a a ，故{}1+n a 是等比数列，（2）由（1）知，且()n n n q a a 101111=+=+-，()n a n =+∴1lg ，()11lg 1+=++n a n()())1(11lg 1lg 11+=+⋅+=∴+n n a a b n n n ()11431321211+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n 11141313121211+-++-+-+-=n n ()*∈+=N n n n118. （本小题满分12分）（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. 设11AB AA ==，则1132B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥. 又AFEF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF .FE C 1B 1A 1CBA（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),((0,)2222F A B E -，1()2AE =-，1(AB =-.由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ， ∴可取平面AEF的法向量1(0,m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由110,0,0,222020,0x y z n AE z nAB z x z ⎧--+=⎪⎧=-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩++=⎪⎩∴可取(3,1n =-.设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|6||||m nmn m n θ⨯-+⨯=<>===. ∴所求锐二面角1B AE F -- 19. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得100050.05==n ，第2组的频率b =350.0507.0=⨯，第2组的频数为a =35507.0100=⨯⨯人,第3组的频率为c =300.300100=,频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生, 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人,… 6分CC第4组:206260⨯=人, …7分 第5组:106160⨯=人, …8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布，∴∴分布列是∴20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，∴ 122=-b a ①又椭圆截抛物线的准线1-=x∴ 得上交点为)22,1(-，∴ 121122=+ba ② 由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去）， 从而2122=+=b a∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121x y += （Ⅱ）∵ 倾斜角为45的直线l 过点F ，∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y ，即1-=x y ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ， 又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称.21. （本小题共12分）解：(Ⅰ) ()1xf x e '=- ()12f e =-()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--即()11y e x =--(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10xf x e '=-=0x =0x >时， ()0f x '>，0x <时， ()0f x '<()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+=444ln 1ln333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ， 故a 的取值范围是：a <1e .（Ⅲ）由已知得0,x ≥时210xe x tx ---≥恒成立，设()21.x g x e x tx =--- ()'12.xg x e tx ∴=--由(Ⅱ)知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 故()()'212,g x x tx t x ≥-=-从而当120,t -≥即12t ≤时，()()'00g x x ≥≥，()g x ∴为增函数，又()00,g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥ 即2(),f x tx ≥12t ∴≤时符合题意。

2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（文科）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）2(1)(1)z x x i =-+-x A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或12.已知集合，，则（ ）{lg(1)0}A x x =-≤{13}B x x =-≤≤A B = A ． B ． C ． D ．[1,3]-[1,2]-(1,3](1,2]3.在△中，“”是“”的（）ABC A B >sin sin A B > A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（）[]x x x A ． = |x| B ．≥ C ．> D ．> []x []x 2x []x -x []x 1x -5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ． C.．422+442+462+6. 某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的的值为（ ）3a =x A. 33 B ．31 C ．29 D ．277．命题：若，，则 ，命题：若，，p 1y x <<01a <<11x y a a <q 1y x <<0a <则．在命题①且②或③非④非中，真命题是（ ）．a a x y <p q p q p qA ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8.设函数，且，则k =（ ）()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-(0)6f '=A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．-69.若两个正实数满足，且不等式 有解，则实数的取值范围是（ y x ,141=+y x m m y x 342-<+m ）Ａ． Ｂ． Ｃ． D ．)1,4(-)4,1(-),4()1,(+∞⋃--∞),3()0,(+∞⋃-∞10．已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若,则实数a 的取值范围是（ ）0)(>-a af A .(1,0)(0,1)-⋃B .(,1)(1,)-∞-⋃+∞C .(1,0)(1,)-⋃+∞D .(,1)(0,1)-∞-⋃11.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时， R ()y f x =x ()()1f x f x +=-01x ≤< ，则函数的零点个数为( )()f x x =()()ln ||g x f x x =- A ．2 B ．3 C.4 D ．512．定义在R 上的函数，满足，，若， ()y f x =(3)()f x f x -=3()'()02x f x -<12x x < 且，则有( )123x x +>A .B .12()()f x f x <12()()f x f x >C .D .不确定12()()f x f x =二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数的定义域为，则函数的定义域是__y f x =()(]-∞，1y f x =-[log ()]222 14.数列的前项和，若，则_________.{}n a n n S 1(1)n a n n =+5S = 15.已知向量，.若，则 ．45(2sin ,cos )36a ππ= (),1b k = //a b k = 16.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，(,0)(0,)-∞+∞ ()f x {}n a 仍是等比数列，则称为“等比函数”.现有定义在上的如下{()}n f a ()f x (,0)(0,)-∞+∞ 函数：①；②；③；④，则其中是 “等()2x f x =2()log f x x =2()f x x =()ln 2xf x =比函数”的的序号为 ()f x 三、解答题 （共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（12分）已知函数.2()2cos sin 2f x x x =-（1）求函数的最小正周期和值域；()f x （2）已知的内角所对的边分别为，若，且， ABC ∆,,A B C ,,a b c 2,2a b ==()12A f = 求的面积ABC ∆18.（12分）如图，已知三棱锥中，，为中点，为A BPC -,AP PC AC BC ⊥⊥M AB D中点，且为正三角形.PB PMB ∆（1）求证：平面平面；ABC ⊥APC （2）若，求三棱锥的体积.4,20BC AB ==D BCM -19.(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.20.（12分）已知椭圆，椭圆短轴2222:1(0)x y C a b a b +=>>5(2,0)M 的端点是，且.12,B B 12MB MB ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在异于 M C ,A B x M 的定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.P PM APB ∠P 21.（12分）已知，函数，m R ∈1()ln m f x mx x x -=--1()ln g x x x=+（1）求的最小值；()g x （2）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；()()y f x g x =-[1,)+∞m （3）证明：（）2ln 2ln 3ln 4ln 2342(1)n n n n ++++<+ *n N ∈选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线，（为参数，且），其中，在以xOy 1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩t 0t ≠0απ≤<为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.O x 23:2sin ,:3C C ρθρθ==（1）求与交点的直角坐标；2C 3C （2）若与相交于点，与相交于点，求最大值.1C 2C A 1C 3C B AB 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数.()223,()12f x x a x g x x =-++=-+(Ⅰ)解不等式：；()5g x <(Ⅱ)若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.1x R ∈2x R ∈12()()f x g x =a2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（文科）答案一、选择题：ADCDC,BCB CA,,BB二、填空题13.14. 15. 2 16.（3）（4）(][)2,22,2--⋃56三．解答17.（1）2()2cos sin 2f x x x=-1cos 2sin 2x x=+-2)14x π=++所以函数的最小正周期，值域为()f x 22T ππ==[221]-+∵，由正弦定理得2,2a b ==∴，∴.22sin 4π=1sin 2B =∵，∴a b >A B>∴，∴6B π=712C A B ππ=--=∴1172613sin 2222212ABC S ab C π∆++==⨯==18.证明：（1）由已知得， 是的中位线，MD ABP ∆∴，∵面，面//MD AP MD ⊄APC AP ⊂APC∴面；//MD APC （2）∵为正三角形，为的中点，PMB ∆D PB ∴,∴，又∵，,MD PB ⊥AP PB ⊥AP PC ⊥PB PC P = ∴面，∵面，∴AP ⊥PBC BC ⊂PBC AP BC⊥又∵,，∴面，BC AC ⊥AC AP A = BC ⊥APC ∵面，∴平面平面，BC ⊂ABC ABC ⊥APC （3）由题意可知，三棱锥中，，为中点，为A BPC -,AP PC AC BC ⊥⊥M AB D 中点，且为正三角形.PB PMB ∆面，,MD ⊥PBC 4,20,10,53BC AB MB DM ====,10,1001621PB PC ==-=∴是三棱锥的高，MD D BCM -1142122122BCD S ∆=⨯⨯=∴1153221733M DBC V Sh -==⨯=19、（本小题满分12分）解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2………………………..2分其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为………………..6分310P =(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为………………………………………….. 12分815P =20.解：（1）由，得222222519a b a e a b -===-23b a =又，知是等腰直角三角形，从而，12MB MB ⊥12MB B ∆2,3b a ==所以椭圆的方程是.C 22194x y +=（2）设，，直线的方程为11(,)A x y 22(,)B x y AB 2x my =+由得,222194x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(49)16200m y my ++-=所以 ①，②1221649m y y m -+=+1222049y y m -=+若平分，则直线的倾斜角互补，PM APB ∠,PA PB 所以,0PA PB k k +=设，则有，(,0)P n 12120y y x n x n+=--将，代入上式，整理得，112x my =+222x my =+12122(2)()0my y n y y +-+=将①②代入得，由于上式对任意实数都成立，所以.(29)0n m -+=92n =综上，存在定点，使平分平分.9(,0)2P PM APB ∠21.（1）函数的定义域为，.()g x (0,)+∞'22111()x g x x x x -=-+=当，，当，，∴为极小值点，极小值.(0,1)x ∈'()0g x <(1,)x ∈+∞'()0g x >1x =(1)1g =（2）∵.112ln 2ln m m y mx x mx x x x x-=---=--∴在上恒成立，即在上恒成立.'220m y m x x =+-≥[1,)+∞221x m x ≥+[1,)x ∈+∞又，所以，所以，所求实数的取值范围为.222111x x x x=≤++1m ≥m [1,)+∞（3）由（2），取，设，1m =1()()()2ln (1)0h x f x g x x x h x =-=--≥=则，即，于是.12ln x x x ≤-2ln 11(12x x x ≤-2ln 11(1)2n n n≤-*()n N ∈∴2232ln1ln 2ln 3ln 1111111111[()][(12321232122334(1)n n n n n n n ++++≤-++++<-++++∙∙∙+ .211111111[(1(1)22231212(1)n n n n n n n =--+-++-=-+=+++ 所以.2ln 2ln 3ln 4ln 2342(1)n n n n ++++<+ *()x N ∈22. （1）曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程为2C 2220x y y +-=3C ，联立两方程解得，22230x y x +-=或与交点的直角坐标，.00x y =⎧⎨=⎩332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2C 3C (0,0)332（2）曲线极坐标方程为，其中，因此点的极坐标为1C θα=(,0)R ρρ∈≠0απ≤<A ，点的极坐标为，(2sin ,)ααB (23,)αα所以，当时取得最大值，最大值为2sin 34sin()3AB πααα=-=-56πα=AB 4.23．（本小题满分10分）解：(Ⅰ)由得125x -+<5125x -<-+< 得不等式的解为……………………5分713x ∴-<-<24x -<<(Ⅱ)因为任意，都有，使得成立，1x R ∈2x R ∈12()()f x g x =所以，{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=又，()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，所以，解得或，()|1|22g x x =-+≥|3|2a +≥1a ≥-5a ≤-所以实数的取值范围为或.……………………10分a 1a ≥-5a ≤-。

2017-2018学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设0＜a＜b＜1，c∈R，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．a b＞1D．b﹣c＞a﹣c 2．（5分）下列求导数运算正确的是（）A．B．C．（3x）'＝3x log3e D．（x2cos x）'＝﹣2x sin x3．（5分）命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＝2，a4＝16，则{a n}的前5项和S5等于（）A．30B．31C．62D．645．（5分）如果a∈R，且a2+a＜0，那么a，a2，﹣a的大小关系为（）A．a2＞a＞﹣a B．﹣a＞a2＞a C．﹣a＞a＞a2D．a2＞﹣a＞a 6．（5分）“a＜1”是“lna＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件7．（5分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＜﹣2C．a≤﹣2D．a＞﹣28．（5分）已知x＞3，则函数的最小值为（）A．1B．4C．7D．59．（5分）已知△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为（）A．15B．18C．21D．2410．（5分）方程x2﹣2ax+1＝0的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为（）A．1＜a＜B．a＜﹣1或a＞1C．﹣1＜a＜1D．﹣＜a＜﹣1 11．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）A．钱B．1钱C．钱D．钱12．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设函数y＝f（x）的x＝x0处可导，且，则f'（x0）等于．14．（5分）已知双曲线，点（4，2）在它的一条渐近线上，则其离心率等于．15．（5分）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是．16．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y＝﹣1的距离始终保持相等．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且|AB|＝8，求k的值．18．（12分）已知{a n}是等比数列，a1＝2，且a1，a3+1，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若，求△ABC的面积S．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．21．（12分）已知椭圆的一个焦点为F（﹣1，0），左、右顶点分别为A、B，经过点F且斜率为k的直线l与椭圆M交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点．（1）求椭圆M的方程；（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|关于k的表达式．22．（12分）已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2．（1）若函数g（x）的单调递减区间为，求函数y＝g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（2）若不等式2f（x）≤g'（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．【解答】解：0＜a＜b＜1，可得a2＜b2，故A错；由y＝在x＞0递减，可得＞，故B错；由y＝a x（0＜a＜1）在R上递减，可得a b＜a0＝1，故C错；由b＞a可得b﹣c＞a﹣c，故D对．故选：D．2．【解答】解：因为（x+）'＝x'+（）'＝1﹣，故A错误；（log2x）′＝，故B正确；（3x）′＝3x ln3，故C错误；（x2cos x）′＝（x2）′cos x+x2（cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x，故D错误．故选：B．3．【解答】解：若a＞2，则a＞1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题为：若a＞1，则a＞2，为假命题．，当a＝1.5时，满足a＞1，但a＞2不成立，则否命题为假命题，故真命题的个数为2个，故选：B．4．【解答】解：等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，设公比为q，＝q3＝8，解得q＝2，则此数列的前5项的和S5＝＝＝62．故选：C．5．【解答】解：因为a2+a＜0，即a（a+1）＜0，所以﹣1＜a＜0，因此﹣a＞a2＞0，有﹣a＞a2＞a．故选：B．6．【解答】解：a＜1推不出“lna＜0”，比如当a＝0时．若lna＜0，由对数函数得性质得0＜a＜1，满足a＜1．故选：B．7．【解答】解：由得，即，若不等式组有解，则﹣a＜2，即a＞﹣2，故选：D．8．【解答】解：x＞3，可得x﹣3＞0，则y＝（x﹣3）++3≥2+3＝7，当且仅当x＝5时，上式取得等号，则函数y的最小值为7．故选：C．9．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，∵A＝120°．∴cos A＝＝＝．∴c＝3，∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．故选：A．10．【解答】解：若关于x的方程x2﹣2ax+1＝0的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则函数f（x）＝x2﹣2ax+1在（0，1）与（1，2）内各有一个零点则f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0即1＞0，2﹣2a＜0，5﹣4a＞0解得1＜a＜故选：A．11．【解答】解：依题意设5人所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，则a﹣2d＝a﹣2×（﹣）＝a＝．故选：D．12．【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：根据题意，＝3×＝1，则有＝，则f'（x0）＝＝，故答案为：．14．【解答】解：渐近线方程为y＝x，（4，2）满足方程，可得：2＝×4，所以a＝2b，e＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0，是真命题，则△＝（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．16．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z＝x+2y为，y＝﹣+由图可知，当直线y＝﹣+过点A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．故答案为：6．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵圆心M到点（0，1）与到直线y＝﹣1的距离始终保持相等，∴圆心M的轨迹为抛物线，且，解得p＝2，∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y；（2）联立消去y并整理，得x2﹣4kx+8＝0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝8，，解得，结合已知得．18．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q≠0，∵a1，a3+1，a4成等差数列．∴2（a3+1）＝a1+a4．∴2（2q2+1）＝2+2q3，整理为q2（q﹣2）＝0，q≠0．解得q＝2．∴a n＝2n．（Ⅱ）∵b n＝log2a n＝＝n，∴S n＝1+2+…+n＝．19．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：，又∵sin B＝sin（A+C），∴，即，又∵sin C≠0，∴，又∵A为内角，∴A＝60°；（Ⅱ）∵由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，又∵，∴（b+c）2﹣4（b+c）＝12，∴b+c＝6，∴可得：bc＝8，∴．20．【解答】解：（1），令＝0，解得x＝2，x＝﹣2，x，f′（x），f（x）的变化如下表：∴f（x）极大值为f（﹣2）＝16，f（x）极小值为f（2）＝﹣16；（2）由（1）知，f（﹣2）＝16，f（2）＝﹣16，又f（﹣3）＝9，f（3）＝﹣9∴f（x）最大值为f（﹣2）＝16，f（x）最小值为f（2）＝﹣16．21．【解答】解：（1）∵F（﹣1，0）为椭圆M的焦点，∴c＝1，又，∴a＝2，∴椭圆M的方程为；（2）依题意，知k≠0，设直线方程为y＝k（x+1），和椭圆方程联立消掉y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，计算知△＞0，∴方程有两实根，且，此时．22．【解答】解：（1）g'（x）＝3x2+2ax﹣1，由题意，知3x2+2ax﹣1＜0的解集是，即方程3x2+2ax﹣1＝0的两根分别是．将x＝1或代入方程3x2+2ax﹣1＝0，得a＝﹣1，∴g（x）＝x3﹣x2﹣x+2，g'（x）＝3x2﹣2x﹣1，∴g'（﹣1）＝4，∴g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线斜率k＝g'（﹣1）＝4，∴函数y＝g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1＝4（x+1），即4x﹣y+5＝0；（2）∵2f（x）≤g'（x）+2恒成立，即2xlnx≤3x2+2ax+1对一切x∈（0，+∞）恒成立，整理可得对一切x∈（0，+∞）恒成立，设，则＝，令h'（x）＝0，得（舍），∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝﹣2，∴a≥﹣2．故实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．。

长安一中2016级（高二阶段）第一学期第二次月考数学试题一.选择题：(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案填涂在答题卡的相应位置.)1.设f(x)＝xln x ，若f′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A. e 2B. eC.ln 22D. ln 2 【答案】B 【解析】试题分析：()()000ln 1ln 12f x x f x x x e =+\=+=\¢=¢考点：函数求导数2.抛物线22y x =-的焦点坐标为( ) A. (12-,0) B. (0,12-) C. (18-,0) D. (0,18-) 【答案】D 【解析】根据抛物线标准方程2x 2py =-的焦点坐标为p0-2（，）知，21x 2y =-的焦点坐标为10-8（，）.故选D. 3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分而必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由ln(1)0x +<可得-1<x<0，由小范围推大范围知"x<0"不能推"-1<x<0"，而“-1<x<0”能推“x<0”，故“x<0”是“-1<x<0”的必要不充分条件，即“x<0”是“ln(1)0x +<”的必要不充分条件. 故选A. 4.下列命题中正确的个数是( ) ①命题“任意(0,),21xx ??”的否定是“任意(0,),21x x ?ィ；②命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题；③若命题p 为真，命题q Ø为真，则命题p 且q 为真；④命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ¹，则2230x x --?”. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】(1)命题“任意()0,,21xx ??,”的否定是“存在()0,,21x x ?ィ;故(1)错误,(2) 命题“若cos cos x y =，则x y =”为假命题,则逆否命题也是假命题;故(2)错误, (3)若命题p 为真,命题￢q 为真,则命题q 为假命题,则命题p 且q 为假命题;故(3)错误,(4)命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ¹，则2230x x --?”.故(4)正确,故命题中正确的个数为1个,故选B.5.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则C 的实轴长为（ ）A.B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】设C ：22x a－22y a ＝1．∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立22x a－22y a ＝1和x ＝－4得A(－4216a -，B(－4，∴|AB|＝3， ∴a ＝2，∴2a ＝4． ∴C 的实轴长为4．视频6.若函数f(x)=e x sin x,则此函数图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为 ( ) A.2pB. 0C. 钝角D. 锐角 【答案】C 【解析】根据题意得,'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+,\ 在点(()3,3f )处的切线的斜率是3(sin 3cos3)k e =+,sin 323+04p+<（）,3(sin 3cos3)0k e \=+<,则对应切线的倾斜角是钝角,故选D.7.函数f(x)＝13x 3－4x ＋4的极大值为( ) A. 283 B. 6 C. 263D. 7【答案】A 【解析】y′=x 2-4=0，得x=±2. 当x ＜-2时，y′＞0； 当-2＜x ＜2时，y′＜0； 当x ＞2时，y′＞0. ∴当x=-2时，y 极大值=283，故选A. 8.用数学归纳法证明(1)(2)()213.(21)(*)n n n n n n n N +++=鬃??时，从“到”左边需增乘的代数式为( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 由题设条件得，当时，有()()()()12213.21kk k k k k +++=鬃?；当n=k+1时，等式左边为(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++.所以左边要增乘的代数式为(21)(22)2(21)1k k k k ++=++.故选D.9.如图所示为函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的导函数的图像，那么y ＝f(x)，y ＝g(x)的图像可能是( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y =f (x )的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y =g (x )。