高中数学人教A版选修4-5学案：第2讲1比较法

1 一 比较法 1．理解比较法证明不等式的依据． 2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点) 3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)

[基础·初探] 教材整理1 作差比较法 阅读教材P21～P22例2，完成下列问题． 1．理论依据：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0. 2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法． 3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．

若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则( ) A．ω＞u B．ω＜u C．ω≥u D.无法确定

【解析】 ∵ω－u＝x2－xy＋y2＝x－y22＋3y24≥0，∴ω≥u. 【答案】 C 教材整理2 作商比较法 阅读教材P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．

1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔ab＞1；②a＜b⇔ab＜1；③a＝b⇔ab＝1. 2

2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明ab＞1，这种方法称为作商比较法． 3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

下列命题： ①当b＞0时，a＞b⇔ab＞1；

②当b＞0时，a＜b⇔ab＜1； ③当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b； ④当ab＞0时，ab＞1⇔a＞b. 其中真命题是( ) A．①②③ B．①②④ C．④ D.①②③④

【解析】 由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，ab＞1与a＞b不等价，④错． 【答案】 A [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型] 作商比较法证明不等 3

式 已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab)a＋b2.

【精彩点拨】 判断aabb与aba＋b2的正负→作商变形→与1比较大小→下结论

【自主解答】 ∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)a－b2＞0， 作商aabbaba＋b2＝aa－a＋b2·bb－a＋b2＝aba－b2. ∵a≠b，∴当a＞b＞0时， ab＞1且a－b2＞0，∴aba－b2＞1，

而(ab)a＋b2＞0，∴aabb＞(ab)a＋b2. 当b＞a＞0时，0＜ab＜1且a－b2＜0，∴aba－b2＞1， 而(ab)a＋b2＞0，∴aabb＞(ab)a＋b2. 综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab)a＋b2.

1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式． 2．运用a＞b⇔ab＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．

[再练一题] 1．已知m，n∈R＋，求证：m＋n2≥m＋nmn·nm. 4

【证明】 因为m，n∈R＋， 所以m＋n2≥mn＝m＋nmnm＋n2， 令ω＝mnm＋n2mn·nm＝mm－n2·nn－m2＝mnm－n2， 则：①当m>n>0时，mn>1，m－n>0，则ω>1. ②当m＝n时，ω＝1. ③当n>m>0时，01. 故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.

即m＋nmnm＋n2≥m＋nmn·nm， 所以m＋n2≥m＋nmn·nm. 比较法的实际应用 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 【精彩点拨】 设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了． 【自主解答】 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段

路程所用的时间分别为t1, t2，依题意有：t12m＋t12n＝s，s2m＋s2n＝t2.

∴t1＝2sm＋n，t2＝sm＋n2mn， ∴t1－t2＝2sm＋n－sm＋n2mn＝s[4mn－m＋n2]2mnm＋n 5

＝－sm－n22mnm＋n. 其中s，m，n都是正数，且m≠n， ∴t1－t2＜0，即t1＜t2， 从而知甲比乙先到达指定地点．

1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键． 2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．

[再练一题] 2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？ 【导学号：32750029】

【解】 设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·

l

2π

2，截面是正方形的水管的截面面积为l42.

∵π·l2π2－l42＝l241π－14＝4－πl216π. 由于l＞0,0＜π＜4，∴4－πl216π＞0， ∴π·l2π2＞l42. 因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大． [探究共研型] 作差比较法 探究 作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？ 【提示】 “作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为 6

“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式． 已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 【精彩点拨】 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号． 【自主解答】 法一 ∵a2＋b2－ab－a－b＋1

＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 法二 a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1， 对于a的二次三项式， Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.

∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0， 故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少． 2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．

[再练一题] 3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 【证明】 ∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2) ＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a) ＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)． 7

∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0， ∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0， 即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. [构建·体系]

比较法— —作差法—作商法—实际应用

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( ) A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s 【解析】 s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0， ∴s≥t. 【答案】 D 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( ) 【导学号：32750030】 A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不确定

【解析】 P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaa3＋1a2＋1.

当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜a3＋1a2＋1＜1， ∴logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，a3＋1a2＋1＞1， ∴logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 8

综上总有P＞Q，故选A. 【答案】 A

3．设a，b，m均为正数，且ba＜b＋ma＋m，则a与b的大小关系是________．

【解析】 b＋ma＋m－ba＝ma－baa＋m＞0. 又a，b，m为正数，

∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0. 即a＞b. 【答案】 a＞b 4．设a＞b＞0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y.

【解析】 ∵xy＝a＋b－aa－a－b＝a＋a－ba＋a＋b＜a＋a＋ba＋a＋b＝1，且x＞0，y＞0， ∴x＜y. 【答案】 ＜ 5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 【证明】 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b.

我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)