有限元方法高精度后处理技术

及其理论基 础。 切地说 ， 限元法就是为了对 一些工程 问 确 有
题求得近似解 的一种数值方法 。 有限元超收敛的研究 自 ２ ０世纪 ７ ０年代起至今 方兴未 艾 ，现 有的研究工作基本遵 循两种途径 ：
一
被用于 实际计 算中去 。事实上 ，早期 （ ０ 纪 ７ 年代末 ） ２世 ０
出 了开 创 性 工 作 。
作者简介：彭青松 （９ ］ ，男 ，湖 南吉首人 ，讲师 ， １７ 一）
从事数学教学研究工作 。
ｌ ０
１８ ９ ３年 ， 林群一 吕涛一 沈树民 运用 “ 离敞 Ｇ ｅｎ函数一 ｒｅ
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一
两个 基 本 估 计 ”框 架 思 想 ， 出 了 “ 散 Ｇ ｅｎ甬数 — — 提 离 ｒｅ
术作一总结 ，特别对 Ｓ Ｒ技 术作 出比较详 细的讨论 。 Ｐ 关键词：有 限元 ；超收敛；后处理 中图分类号：Ｏ ７ ＿ ＇ ２ ２ 文献标识码：Ａ 文章编 号：１７ — ２ ９（０ ７ ２ ０ １－ ４ ６ ３ ２ １ ２ ０ ）１－ ０ ００
有限元方法是求解偏微 分方程 ： 一种行之 有效 的数值计 算方法 ， 广泛应用于 科学与工程 计算各领 域， 已经取得 了 它
后进行某种加工 （ 这种 加工工作量极小 ） 来提高有限元 解及
严宁宁和周爱辉又提 出 “ 最优插值” ，并把它 用于各类偏微 分方程 ３１ 获得 了一系列好 的结果 。 方面 的详细结论可 １９ ３ ， 这
以参见林群一 起定 的专著” 朱 。 但 是在插值 后处理 中整 体超收敛 估计常常依赖于 规则 的部 分和足够光滑的解 ，而这常常很难达到 。
的超收敛结果大多是在平均意义下得到的 ， 虽然这种方法是
如此原始 、 直观 ， 但是它 的成功与超收敛点 的存在却是密切
相关的 。
是 找 出有 限 元 插值 逼 近 的超 逼 近 点 ， 后 利 用 插 值 弱 然
估计导 出有限元解及其 导数 本身所具有的超收敛性质 ， 也就 是所谓 “ 天然超收敛性” 这一方面工作已经做得 比较精致 ， ， 国际公认的有限元超收敛三大学派 （ 国的 Ｉ ａａＴ ｘ ｓ 美 ｔ ｃ， ｅ ａ 及 ｈ
Ｖｏ１２ ．８ ＮＯ．２ １
Ｄｅ ２ ７ ｃ．００
有 限 元方 法 高精 度 后 处理 技 术
彭青松
（ 湖南省医药学校，湖南 长沙 ４００ ） １０ ０
摘 要 ：有限元法是解偏微分 方程 的有效方法之一，但是有 限元解 的导数在单元边界不连续且整体精度 不高，因而如何
提 高有 限元解的精度 引 了 多计 算数 学家的兴趣 ， 中着重分析讨论有限元超收敛后 处理 技术 ， 起 许 文 对有 限元的各种后 处理技
收敛 单元片应力恢复技术 等。
应用更为广泛的偏微 分方程 ，１７ ９ ９年 Ｍａｃ ｕ —Ｓ ａ ｕｏ ｒｈ ｋ ｈ ｉ ｒｖ ｄ 出版了专著 差分法及其 外推》 ；而关于有限元的外推 ，其
主要贡献则属于 中国学者 ，林群 、 吕涛、沈树民１ １ ７ 等人作 － ９
收 稿 日期 ：２ ０ 一 ｌ —０ ０７ ０ ｌ
巨大 的成功 。冯康先生在 １６ 二著名论文 “ ９ ５年 基于变分原 理 的差分格式” 中第一次独立地 阐明了有限元法的数学实质
下面对各种有限元超收敛后处理技术作一简要介绍。
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插值 后处理 与 整体超 收 敛性
自２ 世 纪 ６ 年代有限元方法被用于工程与科 学计算 中 ０ ０ 伊始 ， 为获得更理想的结果 ， 节点 导数 的平均就 自然而然地
不连 续且整体精度不高 ， 网格加密和有 限元 次数增加能适当 改善它 的精度 。然而随着 网格 的加密和多项式次数 的提 高， 有限元方法产生 的线性代 数方程组 的阶将按几何级数 急剧 增加 。 但是计算机技术发展的速度 总是赶不上有限元方法对 它 的这种需求 ， 因而怎样对 有限元 方法所得到的数值结果事
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第 ２ 卷 第 ｌ 期 ８ ２ ２０ 年 １ 月 ０７ ２
湖 南 科技 学 院 学 报
Ｊ ｒ ｌ ｕ ａｎＵｎｉ ｅ ｓｔ ｉｎｃ ｎｄＥｎｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｏｕ ｎａ Ｈ ｎ ｏｆ ｖ ｒ ｉ ｏｆＳｃｅ ｅａ ｙ ｉ ｅ ｒｎ
有限元超 收敛理论 发展 和有 限元实 际应 用都需要进一 步研究整 块、分片的超收敛 结果 ， 获得整 体超 收敛 的主 要手 段是插值 后处理。 这方面的工作 国内外有很多 。 国内，９ ２ 在 １８ 年，陈传淼教授在专著［】 ３中提出利用相邻 ３个应力佳点上 的应力佳值进行线性内插或外推 ， 所得应力值仍具有二阶精 度 Ｏ （ ，１８ ｈ ） ９ ５年，文【１进一步提 出利用三角形单元边 １】 的中点或顶点 的相 应共轭 单元 上梯度 的平均 值作分片线性 插值 以得到整体应力超 收敛性 。９ ９ １９ 年 ， １８ 年一９ １ 林群等¨ 指 出用低次元 的节 点作为插值 节点对 低 次有 限元 解作高次 插值往往可能得 到整体 应力超 收敛性 。１９ 年以来，林群 、 ９１
其导数的精度是有限元研究 的一项重要内容。通常情况下 ， 我们将 由各种 后处理技术得 到的高精度结果 也称为有 限元 的一种超 收敛 。 为获得更高精度的解 ，目前流行的后处理技
术有 ： 平均和局部插值技术、整体投影技术 、外推技术、超
二
外推技 术
外推法是一种古老而 行之 有效 的方法。对于难度更大、
中国）都作出了很大贡 献，其结果 已经写入多本专著中 。
二是利用各种 后处理技术来 导出经过后 处理 的有限元
解的超收敛性质 。 值得 一提 的是， ２ 在 ０世纪 ８ 年代 ，中国 ０ ＿
人在校正 、外推及插值处理 等方面做 出了很多 出色的工作。 众 所周知 ， 直接从有限元解计算所得 的导数在单元边界