Φ-∇=E ，所以，若已知Φ则可求E
。该结论是否正确？若已知
V 100)0,0,0(=Φ，能否求出)0,0,0(E
？
解：该结论是错误的 ，因为电场E
反映了电位函数在空间的变化情况，故只有知道电位在空间的变化函数)(r
Φ时，才可求出电场E 。而只知道某点处的电位值，是无
法求出电位在空间的变化情况的。正如我们在数学中学到的，如果求函数在某点的导数值，应先对该函数求导，后将坐标值代入。即：
)]([][)0,0,0()0,0,0()
0,0,0(Φ-∇≠Φ-∇=E
由Φ-∇=E
，能否根据E
分布求出Φ分布？为什么？
解：根据E
分布，求Φ分布时，还应注意电位参考点的问题。由于静电场是保守场，所以，由Φ-∇=E ，可求出某两点21P P 间的电位差为：
⎰
⋅-Φ=Φ2
1
22P P P P S d E
若选择1P 点为零电位参考点，即：01=ΦP ，则空间任一点相对于1P 点的电位分布为 ⎰
⋅-
=Φ2
2
2P P P S d E
21
)(s
r r =Φ ，求)(r E
解：
)/(ˆ2)1(ˆˆ)()(33M V i r r Z i r i r r E s s
s r s
s r s r =⋅--=∂Φ∂-=Φ∇-
XOY 面上有三个点电荷，,
1)0,(,2),0(1)0,(321c a q c a q c
a q ===-求：)(r E
解：根据点电荷电位公式和场的叠加原理
,1
41
11s r q ⋅
=
Φπε21222])[(1z y a x r s +++= ,142022s r q ⋅=Φπε2
1222])([2
z a y x r s +-+=
,143033s r q ⋅=Φπε2
1222])[(3
z y a x r s ++-=
321ˆΦ+Φ+Φ=Φz
∴z z E ˆˆΦ-∇=
)/()](ˆ)(ˆ)(ˆ[413
213213213
333333330
ˆM V r z r z r z i r y r a y r y i r a x r x r a x i
E s s s z s s s y s s s x z ++++-++-+++=
∴πε 4-6 为何要引入参考电位？若不引入参考电位会有什么后果？
答：引入参考电位就是为了在系统内引入一个最基本的电位标准点，整个系统内任何一点的电位都是以此为基准的，是相对于此点的电位。如果没有这样一个参考电位，则整个系统无标准可循，电位分布没有唯一解。
4-7 对于图4-6所示的线电荷环，在下列两种情况下，求其轴线上的电位和电场分布：
（1） 0λλ=（常数）)/(M C (2) Φ=cos 0λλ)/(M C
解：系统示意图如图4-7-1所示。这是一个已知空间电荷分布，求电位与电场的问题。由于电荷是分布在空间有限域内，所以，我们可以用
⎰
=
ΦCQ
Q QP
Q dS r r )
(410
λπε
来求解。首先看第一种情况 （1）0λλ=)/(M C 可求得
)
(2z
4412
2
00
20
2
2
V Z
R R d R R dS r C
QP
+=
+=
=Φ⎰
⎰
ελϕ
λπελπελ
下面我们来求电场，我们已经讲过，用电位求电场时必须在知道电位的空间表达式时，由
Φ-∇=E
求得的电场才是正确
的。下面我们分析一下，此
时，能否用Φ-∇=E
由Φ求
E 。
由对称性，我们可以知道，
0λλ=的圆环在z 轴上产生的电场只有z 方向上的分量。而上面求得的Φ又正好给
出了电位在z 轴上随z 的全部变化关系，故可使用Φ-∇=E
通过Φ求得z 轴上的电
场E
来。
即：)/(2ˆ2
2
00M V z
R z R i
E z +=Φ-∇=ελ
∴0λλ= 时，z 轴上的电位和电场分布为
V)(22
2
00
z
R R +=
Φελ
V/M)()
2(ˆ3
2
2
00z R z R i
E z +=ελ
下面再来看第二种情况。 （2） )/(cos 0M C ϕλλ=
不难求得
V )(0cos 420
2
20
0=+=
Φ⎰
π
ϕϕ
πελd z
R R
这个结果是不难理解的。由于此时，园环上的
电荷分布具有相对于yoz 平面的奇对称性，所以，整个yoz 平面都是零等位面，显然，z 轴的电位也应是等于零的。那么，z 轴上的电场呢？只需简单分析一下，便会知道，在0x 的半空间有正电荷分布，显然，0=x 处电场应是指向负x 轴负方向的，而
前面求得的Φ只反映了在z 轴方向电位保持常数。并未给出电位随x 变化的关系，因
此，不能再用Φ-∇=E 来由Φ求E 了，那么，如何求z 轴上的电场E
呢？方法有
两种，一种是求出空间任一点出的位函数Φ，对Φ求负梯度得到E
，进而得到z 轴
