数学分析III第18讲

- 9 - 中国海洋大学本科生课程大纲

课程名称 数学分析

Mathematical Analysis

课程代码 075102101201

075102101203

075102101205

课程属性 学科基础 课时/学分 96+96+64/6+6+4

课程性质 必修 实践学时

责任教师 张若军 张宁 魏常果

王学锋 王建 石岩月 课外学时 192+192+128

课程属性：学科基础

课程性质：必修

一、课程介绍

1.课程描述：

数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。

通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。

本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。

2.设计思路：

本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内

- 9 - 容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。

第 18 讲

§3 除环、域

（Division ring and field）

本讲的教学目的和要求：继整环之后，除环是另一个需要我们密切关注的环类。与整环相比，除环少了“交换性”这个“好性质”，但也同时增添了“R为乘群”这个更好的性质。仔细口味起来，整环与除环相比，有相同性，当然也有不同处。相同处为：都有单位元，都是无零因子环；不相同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而后者不一定可换；前者不具备“R为乘群”，但后者具备。我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域。以上就是本讲内容的背景。学习本讲要求掌握：

1、整环与除环的区别和联系。

2、整环的几种判定。

3、四元数除环的意义。

4、域的运算规则和域的判定法则。

本讲的教学难点和重点：本讲的重点有二个：①除环的几个判定法则。 ②域的运算法则的证明。由于本讲中只涉及到二个主要概念，所需的知识面不广，故不存在什么难点。

一、 除环

设R是一个幺环，在§2中已知，R的所有可逆元做成一个

乘法群S。我们总是希望S能尽量的“大”，最好是“大”到子 R—R的一切非零元。如果真能办到，就成了下面要研究的对象—除环。

定义1：设R是一个环，如果满足下列条件，则称R是一个除环.(也可以称为体)

① R必有非零元(R至少含有两个元)

② Rl

③ R中每个元都有逆元.

将上除环的定义“浓缩”为：

R是除环R是一个含有Rl的非零环且的每个非零元都可逆。

性质1. 除环R必是无零因子环，但反之不成立.

证明: 设Ra0.如果a是左零因子Rb0 使 0ab.但非零元必可逆Ra1 使 Rlaa1.

 ?00011baaba

显然，整数环应是元零因子环，但它不是除环。

性质2. 对除环R而言,一切非零元构成的集合R是一个乘法群.(收上用记号*R)

数学分析Ⅲ 练习题(一) 班级: 学号: 姓名:

1 一、填空题

1、平面点集22(,)|01Exyxy的内部为 ,边界为 .

解 222222int(,)|01,(,)|01ExyxyExyxyxy或

2、平面点集11,,Enmnm为整数的聚点集为

.

解 11,00,(0,0)nmnm为整数为整数

3、设2224(,)ln1xyfxyxy,则函数(,)fxy的定义域为

.

解 222,014xyxyyx且

4、设2222),(yxyxyxf则00limlim(,)xyfxy ,),(limlim00yxfxy= .

解 222200000limlim(,)limlimlim11xyxyxxyfxyxy

222200000limlim(,)limlimlim11yxyxxxyfxyxy

5、函数1(,)sinsinfxyxy的间断点集为 .

解 ,,,xyxkylklZ或

二、选择题

1、函数fxyxy(,)1122的定义域是( D )

A、闭区域

B、开区域 C、开集 D、闭集

解 fxyxy(,)1122的定义域是

,1,1Exyxy

E是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.

2、函数yxz的定义域是( C

)

A、有界开集 B、有界闭集 C、无界闭集 D、无界开集

第十七章 隐函数定理及其定理

1隐函数

一、隐函数的概念

设E⊂R2,函数F:E→R2.如果存在集合I,J⊂E,对任何x∈I,

有惟一确定的y∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称

F(x,y)=0确定了一个定义在I上, 值域含于J的隐函数. 若把它记为

y=f(x), x∈I, y∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x∈I.

注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.

二、隐函数存在性条件的分析

隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，

∴要使隐函数存在，至少要存在点P0(x0,y0), 使F(x0,y0)=0, y0=f(x0).

要使隐函数y=f(x)在点P0连续，需F在点P0可微，且(Fx(P0),Fy(P0))≠(0,0),

即曲面z=F(x,y)在点P0存在切平面.

要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P0可微, 则在F可微的假设下，

通过F(x,y)=0在P0处对x求导，由链式法则得：Fx(P0)+Fy(P0)0xxdxdy=0.

当Fy(P0)≠0时，可得0xxdxdy=-)(PF)(PF0y0x, 同理，当

Fx(P0)≠0时，可得0yydydx=-)(PF)(PF0x0y.

三、隐函数定理

定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：

(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；

(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；

(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；

(4)Fy(x0,y0)≠0. 则

1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得

当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；