一道数学竞赛题的多种解法
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第３１卷第５期 ２０１５年１０月 大 学 数 学
ＣｏＬＩ ＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．３１，№．５ Ｏｃｔ．２０１５
一道数学竞赛题的多种解法
周 玲， 孙 琳 （合肥工业大学数学学院，合肥２３０００９）
［摘 要］给出了北京市第一届大学生数学竞赛一道试题的多种解法． ［关键词］数列极限；夹迫原则；递推方法；压缩映象原理；矩阵方法；级数方法 ［中图分类号］０１３；０１５１．２ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１５）０５ ０１０４—０４
北京市第一届大学生数学竞赛试题的第三题Ⅲ是 设 一２， 。一２－＋－￣１，…， ＋ 一２＋１，…，求证：ｌｉｒａ存在，并求其值． ＪＴＩ Ｚ” ” 。。 文Ｅｌｉ给出的解法是，先假定该数列的极限存在并求出其值，然后利用数列极限的定义予以证明． 本文将给出该试题的另外解法，仅供大家教学中作为参考．
１利用数列的通项公式直接求极限
令 一 ，则由ｚ ＋ 一 兰及题设ｚ Ｈ一塾 旦知
生一２＋ 一 。
从而 Ｙ ＋２—２ ＋ｌ—Ｙ 一０． 上面二阶差分方程的特征方程为 一２ 一１—０，解得 一１±√２，所以
＝Ｃ。（１＋√２） ＋Ｃ２（１一√２） ，
ｚ 一 ，（１） ｚ —————————＿＝＝——————————— ＝——一， ｌ Ｊ Ｃｌ（１＋√２）”－ｔ－Ｃ２（１一√２）
其中待定常数Ｃ ，Ｃ 可由ｚ ＝＝＝２，ｚ 一÷求出．
㈩式右端分子、分母同 “憾到Ｉ Ｉ＜ ［ 故有
ｌｉｍｘ 一１＋√２．
２利用判别数列极限存在的夹迫原则
用数学归纳法易证，对所有的自然数”，成立２＜ｚ ≤导．因为
［收稿日期］２０１４—０９—１０ ［基金项目］合肥工业大学教学改革研究项目（ＹＪＧ２０１２Ｙ１２）
第５期 周玲，等：一道数学竞赛题的多种解法 １Ｏ５
所以 。≤Ｊ ｘ．，￣－（１ ｑ－ ）Ｉ—Ｊ １＋１一 ｌ＝ｌ １一 １
一ＩＸ 一（１＋√２）ｌ ｌ 『Ｉ １＋ Ｉ ＜ １『 一（１＋ ）Ｉ，
。≤Ｉ 一（１＋ ）Ｊ＜ １ Ｊ （１＋ ）Ｊ≤…≤（｛）一 ｊ ｚ 一（１＋ ）Ｉ，
由于ｌｉｍ ｆ÷） －－０，故由判别数列极限的夹迫原则知ｌｉｍ［ｘ 一（１＋√ ）］一ｏ，即有ｌｉｍｘ 一１＋√ ． ｏ。、‘士， ｎ ∞ ＂呻ｏ。
３利用关于．１７ 的递推式
先介绍如下的 命题１ 设数列｛ｚ ）满足线性有理递推关系
ｚ 一 ，ｎｄ－－ｂｃ≠ｏ，，２—１，２，…．
若 和 是方程ｆｒ。＋（ —ｎ）ｒ一６一。的两个不相等的实根，则
Ｘｎ＋１ －－￣１一（ １）（ ｃｌｚ） ， ，ｚ，…． 一十一 ＼ｚ一 ，＼ｎ一 ／
这是因为
＂＋１一＾一 ｚ ＋１一 ａＸ ＋ｂ ＣＸ ＋ｄ 口 ＋ｂ ＣＸ ＋ｄ — （ｎ— ｃ）ｚ ＋（６一．：【 ） （ａ－－，ｕｃ）ｘ ＋（ｂ－－，ｕｄ）’ （２）
（３）
． Ｘｎ－｝－１ －－Ａ—ａ－－ｃ／ｚ］＼．．－－／‘２）、…Ｃｌ－Ｃ Ａ Ｘ ｎ １－／￣１－．．！。
一（ ） 、ｚｘ ￣ －Ａ Ｉ．
在（２）中取ｎ－２，６一ｃ一１， —ｏ，则ｚｎ＋ｌ一２＋去（”一 ２，…）．由于 一１＋ ， 一１一 ，故由（３）
知
Ｘｎ＋１一（１＋ ）一Ｘｌ一１一 １ ｆ１一 １” ＋ 一（１一 ） 【 一１＋ Ｊ ｌｌ＋ Ｊ’
因为Ｉ Ｉ＜ 删 ［ 从而由上式知
４利用压缩映象原理 ｌｉｍｘ 一ｌｉｍｘ 一１＋ ’． ｎ… ｎ— 。。
利用数学归纳法易证，对所有的自然数 成立２＜ｚ ≤号．
１０６ 大 学 数 学 第３１卷
因此对任意的ｚ∈［２，导］，有ｆ（ｘ）Ｅ Ｉ２，＿妻＿］．
又在［２，＿量＿］上，Ｉ厂 （ ）ｌ＝＝＝ ｚ１ ＜ １＜１，故／’在［２，＿曼＿］上是压缩的．取 一２∈［２， ５］，则由靠＋
一２＋ 一 ｚ ）构造的数列收敛．
ｉ￣ｌｉｍｘ 一ｚ，则由２２ 一２＋ 知ｌ＝：＝２＋÷．由于ｚＥ ｌ ２，号Ｉ，故解得ｚ一１＋√２，即ｌｉｍｘ 一１＋√２． … ‘正” Ｌ 厶－１ 月—’∞
５ 矩阵方法
数学归纳法小难让明（过栏从 ）如卜的 命题２设数列｛ｚ ｝满足线性有理递推关系式（２），若令
Ａ一（： ）一 ㈤
３５＂ １一 １羞，㈤ ＋一——— —广， ０ Ｃ ｚ—ｒ ＂
则 ㈣
在ｃ２，中取ｎ一２，６一ｃ一 ， 一。，则．ｚ ＋ 一ｚ＋ ，从而Ａ一（ ）． ＼ｌ （１，
Ａ的特征方程为 ｛ 一 一 ｌ— 。－２Ａ－ｌ＝Ｏ，
解得 ＝ｌ＋ ， 一１一 ． 通过解齐次线性方程组可求得与特征值 对应的特征向量为考 一（１＋√ ，１） ，与 对应的特征
向量为考 一（１一 ，１） ． 令
一ｆ ），
则有
Ｐ 一 ％／￣－－ｉ ［ …－－；ｔ２，／ｅ １ ｅ，／２ ］’ ｌ一 ＋１ ｌ ｌ一１ Ｊ
Ｐ－－￣ＡＰ＝ｆ ｏ Ｉ，Ａ—Ｐ ｆ １ ０］Ｐ一１， 【０ ＾２ Ｊ ｌ ０ ２ Ｊ 从而
一Ｐ 一 （ ）
１ ｆ －Ａ ＂ 。 １ ；。。 一 ２ ］
２√２ Ｉ ——Ａ １ ；－－Ａ２ ｊ 由（５），（６）．故有 ２（ ＋ —一 ＋ ）＋｜：Ｌ１ ＋ —一 ２ ＋ ＂Ｔｇｎ＋１一一 ｒ一・
注意到ｊ Ｉ＜ｌ＇上式右端分子、分母同除以 ，然后等式两边令 一∞，贝０
有 第５期 周玲，等：一道数学竞赛题的多种解法
６ 级数方法
故 １Ｏ７
ｌｉｍｘ 一 １—１＋ 一ｌｉｍｘ ． ｎ—＋。。 ｎ—＇。。
由 ＋。一２＋ 知ｚ ＋ 一２Ｘ．＋１，而 Ｚ １ １ ｚ—ｌ— Ｚｎ＋１一 ｎ ～一——’ Ｚ”Ｘ 一１ Ｚ 一１ 。Ｚ
ｎ一１一 Ｘｎ＋ｌ一 一 ‘
由题设易知ｚ ＞２（７２—１，２，…），从而
一 ２ｘ １＜ Ｉ 一ｚ １ ｌ １＋ 、
故由正项级数敛散性的比值判别法知级数∑（ｚ 一 一 ）绝对收敛，从而∑（ｚ 一 一 ）收敛． 一２ ｎ＝２ 由级数收敛的定义，有
ｌｉｍｚ 一ｚ ＋∑（ｚ 一 一 ），
故数列（ｚ ｝与级数Ｘ。＋ ：（ｚ 一ｚ 一 ）有相同的敛散性，因而ｌｉｍｘ 存在．设ｌｉｍｘ 一ｌ，在 ＋ 一２＋÷ 一。 ”十。。 一。。 ＾” 两边令 —Ｃ×３，则有ｚ一２＋了１，舍去负根，解得ｚ：：＝１＋ ，于是ｌｉｍｘ 一１＋ ．
［参 考 文 献］
［１］李心灿，季文铎，孙洪祥，等．大学生数学竞赛试题解析选编ＥＭ］．北京：机械工业出版社，２０１１．
