高考数学二轮复习教师用书2专题二专题三

2017届高考数学二轮复习 教师用书2 专题二-专题三

第1讲 三角函数的图象与性质

高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟

1.(2016²全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

A.x＝kπ2－π6(k∈Z) B.x＝kπ2＋π6(k∈Z)

C.x＝kπ2－π12(k∈Z) D.x＝kπ2＋π12(k∈Z)

解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2得函数的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故选B.

答案 B

2.(2015²安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )

A.f(2)

C.f(－2)

解析 由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝2π3时，2x＋φ＝4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－11π6(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝π6，

故f(x)＝Asin(2x＋π6).于是f(0)＝12A，f(2)＝Asin(4＋π6)，f(－2)＝Asin－4＋π6＝Asin13π6－4，又∵－π2<5π6－4<4－7π6

＝Asinπ－13π6－4＝Asin4－7π6.

又f(x)在－π2，π2内单调递增，

∴f(2)

答案 A

3.(2016²浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( )

A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关

C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关

解析 因为f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝－cos 2x2＋bsin x＋c＋12，其中当b＝0时，f(x)＝－cos 2x2＋c＋12，f(x)的周期为π；b≠0时，f(x)的周期为2π.即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.

答案 B

4.(2016²全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )

A.11 B.9

C.7 D.5

解析 因为x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为f(x)的图象的对称轴，所以π4－－π4＝T4＋kT2，得T＝2π2k＋1(k∈Z)，则ω＝2k＋1(k∈Z)，又因为f(x)在π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω，即ω≤12，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f(x)在π18，5π36上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝π4，f(x)在π18，5π36上单调，满足题意.由此得ω的最大值为9，故选B.

答案 B

考 点 整 合

1.常用三种三角函数的易误性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

单调性 在－π2＋2kπ， π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；

在π2＋2kπ， 3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在－π2＋kπ， π2＋kπ(k∈Z)上单调递增

对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；

对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z) 对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；

对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：

kπ2，0(k∈Z)

2.三角函数的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

热点一 三角函数的图象

[微题型1] 三角函数的图象变换

【例1－1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

x π3

5π6

Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0

(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值.

解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表： ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

x π12 π3 7π12 5π6 1312π

Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5

0

且函数表达式为f(x)＝5sin2x－π6.

(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，

得g(x)＝5sin2x＋2θ－π6.

因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.

令2x＋2θ－π6＝kπ，解得x＝kπ2＋π12－θ，k∈Z.

由于函数y＝g(x)的图象关于点5π12，0成中心对称，令kπ2＋π12－θ＝5π12，

解得θ＝kπ2－π3，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6.

探究提高 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

[微题型2] 由三角函数图象求其解析式

【例1－2】 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则fπ3的值为______.

解析 根据图象可知，A＝2，3T4＝11π12－π6＝3π4，

所以周期T＝π，由ω＝2πT＝2. 又函数过点π6，2，

所以有sin2³π6＋φ＝1，而0＜φ＜π.

所以φ＝π6，则f(x)＝2sin2x＋π6，

因此fπ3＝2sin2π3＋π6＝1.

答案 1

探究提高 已知图象求函数y＝Asin()ωx＋φ(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

【训练1】 (2016²绍兴模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π8上的最小值.

解 (1)设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知

A＝1，T2＝2π3－π6＝π2，

即T＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，

故f(x)＝sin(2x＋φ).

由0＝sin2³π6＋φ可得π3＋φ＝kπ，k∈Z，

即φ＝kπ－π3，k∈Z，

因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，

故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin2x－π3.

(2)根据条件得g(x)＝sin4x＋π3， 当x∈0，π8时，4x＋π3∈π3，5π6，

所以当x＝π8时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝12.

热点二 三角函数的性质

[微题型1] 三角函数性质的应用

【例2－1】 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)ω＞0，0＜|φ|＜π2为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.

(1)求fπ6的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间.

解 (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)

＝212sin（ωx＋φ）＋32cos（ωx＋φ）

＝2sinωx＋φ＋π3.

因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sinφ＋π3＝0，

又0＜|φ|＜π2，

可得φ＝－π3，所以f(x)＝2sin ωx，

由题意得2πω＝2²π2，所以ω＝2.

故f(x)＝2sin 2x.

因此fπ6＝2sin π3＝3.

(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，

得到fx－π6的图象，

所以g(x)＝fx－π6＝2sin2x－π6

＝2sin2x－π3.