第三节 变量间的相关关系与统计案例
[备考方向要明了]
考
什 么 怎 么 考
1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系．
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程．
3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 高考对本节内容的考查主要是线性回归分析和独立性检验的统计分析方法，三种题型都有可能出现，难度中档，如20XX年湖南T4，辽宁T19等.
[归纳·知识整合]
1．两个变量的线性相关
(1)正相关：
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关：
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
[探究] 相关关系和函数关系有何异同点？
提示：(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．回归方程 (1)最小二乘法：
求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程：
方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参数．
b^＝i＝1n xi－x－yi－y－i＝1n xi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.
3．残差分析
(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为e^i＝yi－y^i＝yi－b^xi－a^，i＝1,2，…，n，e^i称为相应于点(xi，yi)的残差．
（二十二） 变量间的相关关系与统计案例
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是
A．正方体的棱长与体积
B．单位面积产量为常数时，土地面积与产量
C．日照时间与水稻的亩产量
D．电压一定时，电流与电阻
2．一位母亲记录了儿子3~9岁的身高，数据略，由此建立的身高与年龄的回归模型为,93.7319.7ˆxy
用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 ．
A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm左右 D．身高在145.83 cm以下
3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是
423.1ˆxyA 523.1ˆxyB 08.023.1ˆxyC 23.108.0ˆxyD
4．对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k，说法正确的是
A．k越大，“X与y有关系”的可信程度越小
B．后越小，“X与y有关系”的可信程度越小
C．尼越接近于O，“X与y无关”的可信程度越小
D．后越大，“X与y无关”的可信程度越大
5．已知算与y之间的几组数据如下表：
x O 1 2 3
y l 3 5 7
则y与x的线性回归方程abxyˆ必过
A．点(2，2) B．点(1.5，0) C．点(1，2) D．点(1.5，4)
6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：
专业
性别 非统计专业 统计专业
男 13
10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
2．3 变量间的相关关系
2．3.1 变量之间的相关关系
2．3.2 两个变量的线性相关
考点
学习目标 核心素养
相关关系的概念 理解两个变量的相关关系的概念 数学抽象
散点图 会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系 逻辑推理、数学建模
回归直线方程 会求回归直线方程 数学运算
问题导学
(1)相关关系分为哪两种？
(2)什么叫散点图？
(3)什么叫回归直线？求回归直线的方法及步骤是什么？
1．两个变量的线性相关
(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
(2)正相关与负相关
①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域；
②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
2．回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．
(3)最小二乘法
求回归直线方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
其中b^是回归方程的斜率，a^是回归方程在y轴上的截距．
■名师点拨
(1)散点图的作用
散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．
(2)回归直线的性质
由a^＝y－－b^x－可知回归直线一定经过点(x－，y－)，因此点(x－，y－)通常称为样本点的中心，其中，x－，y－分别是变量x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数．
(3)线性相关关系强弱的定性分析
线性相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近，两变量的线性相关关系越强；样本点在某条直线附近越分散，两变量的线性相关关系越弱．
判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
1 11.4变量间的相关关系与统计案例
考点一 变量间的相关关系
1.(2014湖北,6,5分)根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
得到的回归方程为=bx+a,则( )
A.a>0,b<0 B.a>0,b>0
C.a<0,b<0
D.a<0,b>0
答案 A
考点二 独立性检验
2.(2014江西,7,5分)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩
性别 不及格 及格 总计
男 6 14 20
女 10 22 32
总计 16 36 52
表2
视力
性别 好 差 总计
男 4 16 20
女 12 20 32
总计 16 36 52
表3
智商
性别 偏高 正常 总计
男 8 12 20
女 8 24 32
总计 16 36 52
表4
阅读量
性别 丰富 不丰富 总计
男 14 6 20
女 2 30 32
总计 16 36 52
A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
答案 D
3.(2014安徽,17,12分)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率; 2 (3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
