变量间的相关关系、统计案例

变量间的相关关系、统计案例1.相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图.(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是非线性相关的.如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法. (2)线性回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数. ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1(x i－x )(y i－y )∑ni ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i－n x y∑n i ＝1x 2i－n x 2，a ＝y －b x .3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，(x ，y )称为样本点的中心. (3)相关系数①r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2；②当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关；当r＝0时，表明两个变量线性不相关.|r|值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高. |r|值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低.4.独立性检验设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A1；变量B：B1，B2＝B1.2×2列联表：构造一个统计量χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).利用统计量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.概念方法微思考1.变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？提示相同点：两者均是指两个变量的关系.不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.2.如何判断两个变量间的线性相关关系？提示散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断.3.独立性检验的基本步骤是什么？提示列出2×2列联表，计算χ2值，根据临界值表得出结论.4.线性回归方程是否都有实际意义？根据回归方程进行预测是否一定准确？提示(1)不一定都有实际意义.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义.(2)根据回归方程进行预测，仅是一个预测值，而不是真实发生的值.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.(×)(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.(√)(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.(√)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得线性回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.(×)(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越大.(√)题组二教材改编2.为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A.回归分析B.均值与方差C.独立性检验D.概率答案 C解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.3.下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为()A.94,72B.52,50C.52,74D.74,52答案 C解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又a ＋22＝b ，∴b ＝74.4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋54.9.现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为 . 答案 68解析 由x ＝30，得y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68. 题组三 易错自纠5.某医疗机构通过抽样调查(样本容量n ＝1 000)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得χ2＝4.453，经查阅临界值表知P (χ2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B.若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 答案 C解析 由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”.6.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为y ＝0.36x ＋a ，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为 .(四舍五入到整数) 答案 73解析 x ＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y＝62＋64＋66＋68＋705＝66，所以66＝0.36×70＋a，a＝40.8，即线性回归方程为y＝0.36x＋40.8.当x＝90时，y＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.题型一相关关系的判断例1(1)观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是()A.①②B.①④C.③④D.②③答案 C解析由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.(2)(2018·合肥质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图.以下结论不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D. 思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关.(2)相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关. (3)线性回归方程中：当b >0时，正相关；当b <0时，负相关.跟踪训练1 在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A.－1 B.0 C.－12 D.1答案 A解析 完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为－1，故选A.题型二 回归分析命题点1 线性回归分析例2 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.注：年份代码1～7分别对应年份2011～2017.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ＝y －b t .解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55.∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i＝40.17－4×9.32＝2.89， 所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.10， a ＝y －b t ≈1.331－0.10×4≈0.93. 所以y 关于t 的回归方程为y ＝0.93＋0.10t . 将2019年对应的t ＝9代入回归方程得 y ＝0.93＋0.10×9＝1.83.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨. 命题点2 非线性回归例3 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预测值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α＝v －β u .解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ＝∑i ＝18(w i －w )·(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ＝y －d w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预测值y ＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预测值z ＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预测值 z ＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z 取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预测值最大. 思维升华 回归分析问题的类型及解题方法 (1)求回归方程①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关. ②利用公式，求出回归系数b .③待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a .(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值. (3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b .(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.跟踪训练2 (2018·全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.解(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.题型三独立性检验例4(2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：χ2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35 (kg).思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 ①通过计算χ2的大小判断：χ2越大，两变量有关联的可能性越大.②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大. (2)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表.②根据公式χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )计算χ2的值.③比较χ2与临界值的大小关系，做统计推断.跟踪训练3 (2018·郑州检测)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在[195,210)内，则为合格品，否则为不合格品.甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图如下： 甲流水线样本的频数分布表乙流水线样本频率分布直方图(1)根据乙流水线样本频率分布直方图，估计乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数； (2)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ).解 (1)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ， 因为(0.012＋0.032＋0.052)×5＝0.48<0.5 <(0.012＋0.032＋0.052＋0.076)×5＝0.86， 则(0.012＋0.032＋0.052)×5＋0.076×(x －205) ＝0.5， 解得x ＝3 90019.(2)由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得， 甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为P 甲＝1550＝310；乙流水线生产的产品为不合格品的概率为P 乙＝(0.012＋0.028)×5＝15.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为5 000×310＝1 500,5 000×15＝1 000.(3)2×2列联表：则χ2＝100×(35×10－40×15)250×50×75×25＝43≈1.3， ∵1.3<2.072，∴没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”.线性回归方程及其应用数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程.主要包括：收集数据、整理数据、提取信息、构建模型对信息进行分析、推断、获得结论.例 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2019年的粮食需求量.解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5， a ＝y －b x ＝3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为 y －257＝6.5(x －2010)＋3.2， 即y ＝6.5(x －2010)＋260.2.(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2019年的粮食需求量大约为6.5×(2019－2010)＋260.2＝6.5×9＋260.2＝318.7(万吨).素养提升 例题中利用所给数据求回归方程的过程体现的就是数据分析素养.1.已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( ) A.x 与y 正相关，x 与z 负相关 B.x 与y 正相关，x 与z 正相关 C.x 与y 负相关，x 与z 负相关 D.x 与y 负相关，x 与z 正相关 答案 C解析 因为y ＝－0.1x ＋1，－0.1<0，所以x 与y 负相关.又y 与z 正相关，故可设z ＝by ＋a (b >0)，所以z ＝－0.1bx ＋b ＋a ，－0.1b <0，所以x 与z 负相关.故选C.2.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表格中t 的值为( ) A.3 B.3.15 C.3.25 D.3.5 答案 A解析 x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋t ＋4＋4.54＝11＋t4，线性回归方程过样本点的中心(x ，y )， 所以11＋t4＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3.3.(2018·江西省百校联盟联考)下表是我国某城市在2017年1月份至10月份期间各月最低温度与最高温度(单位：℃)的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是( ) A.最低温度与最高温度为正相关B.每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月逐月增加C.月温差(最高温度减最低温度)的最大值出现在1月D.1月至4月的月温差(最高温度减最低温度)相对于7月至10月，波动性更大 答案 B解析 将最高温度、最低温度、温差列表如下：由表格可知，最低温度大致随最高温度的升高而升高，A 正确； 每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月不是逐月增加，B 错误； 月温差的最大值出现在1月，C 正确；1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D 正确.4.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116B.18C.14D.12答案 B解析 依题意可知样本点的中心为⎝⎛⎭⎫34，38， 则38＝13×34＋a ，解得a ＝18. 5.为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.59，a ＝y －b x ，据此估计该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用为( ) A.1.795 万元 B.2.555 万元 C.1.915 万元 D.1.945 万元 答案 A解析 x ＝2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.925＝2.50(万元)， y ＝1.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.755＝1.50(万元)，又b ＝0.59，所以a ＝y －b x ＝0.025，y ＝0.59x ＋0.025，故年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为y ＝0.59×3.00＋0.025＝1.795(万元).6.(2018·江西南城一中、高安中学等九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得χ2＝100×(45×22－20×13)265×35×58×42≈9.616.参照下表，正确的结论是( )A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 答案 C解析 ∵χ2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C. 7.某市居民2010～2014年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 相关关系.(填“正”或“负”) 答案 13 正解析 中位数是13.由相关性知识，根据统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系.8.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＝6.5m ＋17.5，则p ＝ . 答案 60解析 由于回归直线过样本点的中心，m ＝5，t ＝190＋p 5，代入t ＝6.5m ＋17.5，解得p ＝60.9.以下四个命题，其中正确的序号是 .①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ＝0.2x ＋12中，当自变量x 每增加一个单位时，因变量y 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y 的统计量χ2来说，χ2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大. 答案 ②③解析 ①是系统抽样；对于④，统计量χ2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小. 10.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则有 的把握认为选修文科与性别有关. 答案 95%解析 由题意，χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为4.844>3.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关.11.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销售量y (单位：万件)之间的关系如下表.(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合y 与x 的关系(不必说明理由)； (3)建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .解 (1)作出的散点图如图所示：(2)根据散点图可知，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (3)观察(1)中散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：可得x ＝52，y ＝692，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y ∑i ＝14x 2i －4x2＝418－4×52×69230－4×⎝⎛⎭⎫522＝735.a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2，所以所求线性回归方程为y ＝735x －2. 将x ＝5代入所求线性回归方程，得y ＝735×5－2＝71.故预测第5年的销售量为71万件.12.某省会城市地铁将于2019年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差异是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)“赞成定价者”的月平均收入为x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元).(2)根据条件可得2×2列联表如下：χ2＝50×(3×11－7×29)210×40×18×32≈6.272<6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.13.(2018·西安模拟)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人，求至少有1人是45岁及45岁以上的概率. 参考数据：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)2×2列联表如下：因为χ2＝100×(35×5－45×15)250×50×80×20＝254＝6.25>3.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.(2)从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁及45岁以上的应抽2人. 则8人中随机抽2人共有C 28＝28种抽法，至少有1人是45岁及45岁以上共有C 16C 12＋C 22＝13(种)抽法，故所求概率为1328. 14.如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图. 注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量.参考数据：y ＝54，∑7i ＝1(t i－t )(y i －y )＝21，14≈3.74， ∑7i ＝1(y i －y ^i)2＝94. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑n i ＝1(t i －t )2∑n i ＝1(y i －y )2，线性回归方程y ＝a ＋bt ，b ＝∑n i ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ＝y －b t . 解 (1)由折线图中的数据得，。