高考数学中比较大小的策略[精品文档]

高考数学中比较大小的策略

云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武

在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分，本文对这类问题的解题策略进行深入探讨，以提高考生的成绩：

策略一：直接法

就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。

例1.若22221231111,,,xSxdxSdxSedxx则123SSS的大小关系为（ ）

A．123SSS B．213SSS C．231SSS D．321SSS

解：本题考查微积分基本定理22321111733Sxdxx

222111lnln21Sdxxx，2223117(1)3xxSedxeeeee。

所以213SSS，选B.

策略二：估算法

就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。

例2.已知lnx，5log2y，12ze，则

A.xyz B.zxy C.zyx D.yzx

解：1lnx，215log12log25y，eez121，1121e，

所以xzy，选D.

策略三 数形结合法

就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将比较大小与某些图形结合起来，利用直观几何性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。

例3.已知二次函数),0(0)(2acbxaxxf满足关系)2()2(xfxf，试比较)5.0(f与)(f的大小。

思路分析 由已知条件)2()2(xfxf可知，在与2x左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2x对称，又由

已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致

图像简捷地解出此题。

解：（如图1）由)2()2(xfxf，

知)(xf是以直线2x为对称轴，开口向上的抛物线

它与2x距离越近的点，函数值越小。

)()5.0(25.02ff

思维障碍 有些同学对比较)5.0(f与)(f的大小，只想到求出它们的值。而此题函数)(xf的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。

策略四 单调性比较法

例4.定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,[0,)()xxxx，有2121()()0fxfxxx.则

A.(3)(2)(1)fff B. (1)(2)(3)fff

C.(2)(1)(3)fff D .(3)(1)(2)fff

解:由2121()(()())0xxfxfx等价，于2121()()0fxfxxx则()fx在1212,(,0]()xxxx上单调递增, 又()fx是偶函数,故()fx在1212,(0,]()xxxx单调递减.且满足*nN时, (2)(2)ff, 03>21,得(3)(2)(1)fff,故选A.

策略5 特殊值法 x y

O 2

图1

就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

例5. 若0

A、x

分析：本题若用减法或除法比较，相对而言麻烦。象这种选择题用特殊值处理最省劲。

解：∵0

∴不妨取x=0.1得x2=0.01。x3=0.001，显然x3

∴选D

策略六 最值法

凡是遇到含有绝对值的比较大小，如12||fxfxe，通常采用最值法来处理。

例6.已知1x是函数2xfxaxe的一个极值点．(aR)

（1）求a的值；

（2）任意1x，20,2x时，证明：12||fxfxe

分析：利用极值点处的导数为零可求a，处理12||fxfxe可转化为求20)(，在xf上的最大值与最小值，

解：（1）'()(2)exfxaxa，由已知得0)1('f，解得1a．

当1a时，()(2)exfxx，在1x处取得极小值．所以1a.

（2）由（1）知，()(2)exfxx，'()(1)exfxx.

当1,0x时，0)1()('xexxf，)(xf在区间0,1单调递减；

当1,2x时，'()(1)0xfxxe，)(xf在区间1,2单调递增.

所以在区间0,2上，()fx的最小值为(1)ef.

又(0)2f，(2)0f，所以在区间0,2上，()fx的最大值为(2)0f.

对于12,0,2xx，有12maxmin()()()()fxfxfxfx．

所以12()()0(e)efxfx.

策略七 构造法

构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．

例7. 已知函数yfx是定义在实数集R上的奇函数，且当0,0xfxxfx（其中fx是fx的导函数），设1122log4log4,22,afbf1lg5c115fg，则a，b，c的大小关系是

A.cab B.cba C.abc D.acb

解：令函数()()Fxxfx，则函数()()Fxxfx为偶函数.当0x时，'()()'()Fxfxxfx，此时函数递增，则122(log4)(log4)(2)(2)aFFFF,(2)bF,

1(lg)(lg5)(lg5)5cFFF，因为0lg5122，所以abc，选C.

[提升训练]

1．（估算法）三个数51)52(, 51)56(, 52)56(的大小顺序是（ B ）。

A．51)56(<52)56(<51)52( B。52)56(<51)56(<51)52(

C．51)56(<51)52(<52)56( D。51)52(<51)56(<52)56(

点评：幂函数、指数函数的大小比较。

2.已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,( ).

A.(25)(11)(80)fff B. (80)(11)(25)fff

C. (11)(80)(25)fff D. (25)(80)(11)fff

解:因为)(xf满足(4)()fxfx,所以(8)()fxfx,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在R上是奇函数，

(0)0f,得0)0()80(ff,)1()1()25(fff,而由(4)()fxfx得)1()41()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(ff,所以0)1(f,即(25)(80)(11)fff,故选D.

3.设2lg,(lg),lg,aebece则

A．abc B.acb C.cab D.cba

解：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=21lge, 作商比较知c>b,选B。

4.定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,(,0]()xxxx，有2121()(()())0xxfxfx.则当*nN时,有

A．()(1)(1)fnfnfn B. (1)()(1)fnfnfn

C. (C)(1)()(1)fnfnfn D. (1)(1)()fnfnfn

121221212121,(,0]()()(()())0()()()(,0]()()(0](1)()(1)(1)()(1)xxxxxxfxfxxxfxfxfxfxfxfnfnfnfnfnfn解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数而n+1>n>n-1>0,

5.设232555322555abc（）,（），（），则a，b，c的大小关系是

A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a

解：25yx在0x时是增函数，所以ac，2()5xy在0x时是减函数，所以cb。

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

6.已知22log3log3a，22log9log3b，3log2c则a,b,c的大小关系是

A. abc B.abc C.abc D.abc

解：2222213log3log3log3log3log322a，

2222213log9log32log3log3log322b，2322log21log2log3log3c则