莱特1+1思维教育辅导讲义
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课
题
巧妙求和（二)
授课时间：授课教师：
知识点梳理
某些问题,可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和,才可以用等差数列求和公式计算。
在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可以考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
教学内容
例1 小林读一本长篇小说，他第一天读30页,从第二天起他每天读的页数都比前一天多３页，第11天读了6０页,正好读完，这本书共有多少页?
分析根据“他每天读的页数都比前一天多３页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、３6……57、６０。要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列,首项是3０,末项是６0，项数是11,因此可以根据等差数列的公式求解总和。
例２一些同样粗细的圆木,像如图所示的一样均匀的堆放在一起，已知最下面一层有７0根,那么一共有多少根圆木？
分析根据图可以发现这是一个公差是1的等差数列，首项是１,末项是7０,要求一共有多少根圆木，其实就是求
这个等差数列的和。可以根据通项公式求解计算。
例３3０把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
分析开第一把锁时如果不凑巧,试了２９把钥匙都还不行,那么剩下的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次,开第三把锁至多需要试27次……等打开第２9把锁时,剩下的一把就不用试了,一定能打开。所以,至多需要29+28+２7＋……+１次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。
例4 某班有5１个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手?
分析假设５1个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了4８次,依此类推,第５０个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：50、４9、48、……、2、1。
例5 求1~９９个连续自然数的所有数字之和。
分析注意首先要求的是9９个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。
为了能方便求解，我们不妨把０算进来（它不影响我们求数字之和），计算0～9９这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每两个数字之和都相等,都是9＋9＝18，一共有１0０÷2＝50对,所以１~9９个连续自然数的所有数字之和是18×50＝900。
练习：
1、刘师傅做一批零件,第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第1５天做了48个，正好
做完，这批零件共有多少个?
2、莉莉学英语单词,第一天学会了６个,以后每天都比前一天多学了1个,最后一
天学会了１６个，莉莉在这些天中学会了多少个单词?
3、用相同的小立方体摆成如右图所示的图形,那么第１０层有多少个小立方体
4、有8０把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少
次？
5、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次,就能使每把锁有配上自己的钥匙,问一共有几把锁
的钥匙搞乱了?
6、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手各赛一场,如果有21人参加比赛,
问一共要进行多少场比赛?
7、一次同学聚会中,参加的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次手。
那么一共握了多少次?
8、求1～199的1９9个连续自然数的所有数字之和。
9、求1～９99的999个连续自然数的所有数字之和。
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4 25南京
上海南通
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例4、 数一数图中有多少个长方形。
B D
C A
B
D C A
图1 图２ 分析:数长方形与数线段的方法类似，图１中长方形的个数取决于AB 或CD 边上的线段；图2可以先算出AB 边上的线段数，再把AB 边上的每条线段作为长，AD 边上的每条线段作为宽，每一个长配一个宽就组成长方形。
例5、数一数图中有多少个正方形(每个小方格为边长是1的正方形）。
分析：图中边长是1个单位长度的正方形有3×3=9(个),边长是2个单位长度的正方形有2×2=４（个)，边长是3个单位长度的正方形有１×1=１(个)。所以图中的正方形总数为1×1+２×2+3×3=14(个）。
经进一步分析可以发现，有相同的n ×ｎ个小方格组成的n 行n 列的正方形其中的小正方形总数为:１×1+2×２+３×3+…+n ×n 。 例6 从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票?这些车票中有多少种不同的票价？
分析：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有１0个站，共有１＋2+3+…+８＋9=45（条)线段，因此,要准备4５种不同的车票,由于这些车站之间的距离各不相同，因此，有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以有４5种不同的票价。
想一想：你能在生活中找到一些能够转化为数线段问题的例子吗?请你回答下面两个问题:(1）、在一次篮球比赛中，6个队进行循环赛,需要比赛多少场? (2)１0个好朋友两两握手,一共可以握多少次？
思考题:
例７ 下图中共有多少个三角？
分析:为了保证不漏数而又不重复,我们可以分类来数三角形,分为包含有1个、２个、3个、6个小三角形组合成的三角形个数，然后再把各类三角形的个数相加。
例8 数出右图中所有三角的个数。
分析:同位置的三角形一起数,例如：AＦG、BGM、CＩM、DＩJ、JEＦ是同类。例9 数一数,下图中共有多少个三角形。
练习：
１. 数下列图形中分别有多少条线段。
2.下列图形中,各有多少个角?
3.下列图形中各有多少个三角形？
４.数一数下图中各有多少个长方形。
5．下列图形中各有多少个正方形?
