三角课本题追踪1

π
π
2
2
在 kπ- ,kπ+ 上单调递增
π
π + , 0
2
π
,0
2
x=kπ
无
5
目录
拓展知识
1.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T=
正周期为 T=

|ω|
2
|ω|
,函数 y=tan(ωx+φ)的最小
.
2.正弦曲线与余弦曲线的相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离都是半个周期,相
π
5π
8
8
解得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z),
π
π
5π
4
8
8
所以函数 y=cos -2x 的单调递减区间为 kπ+ ,kπ+
(k∈Z).
(2)函数 y=2-3cos x 的单调递减区间即函数 y=-cos x 的单调递减区间,也就是函数
y=cos x 的单调递增区间,即[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
||
||
2.求含有绝对值的三角函数的周期,通常要画出图象,结合图象判断.
3.解决三角函数对称性问题的关键是熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横
坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴
( √ )
7
目录
【对接教材】
1
2. 函数 f(x)=4-2cos3x 的最小值是
2
,取得最小值时,x 的取值集合

题组一 与杨辉三角有关的问题1．杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A ．第6行B ．第7行C ．第8行D ．第9行[解析] 由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．[答案] B2．如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．[解析] 由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝nn －12＋1＝n 2－n ＋22.[答案] n 2－n ＋223．将“杨辉三角”中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行数都为1的是第1行，第2次全行数都为1的是第3行，…，第n 次全行数都为1的是第________行；第61行中的1的个数是________．[解析] 写出0－1三角数表的前面几行，如图可以看出第1次全行数都为1的是第1行共2个1，第2次全行数都为1的是第3行共4个1，第3次全行数都为1的是第7行共8个1，第4次全行数都为1的是第15行共16个1，所以第n 次全行数都为1的是第(2n －1)行共2n 个1.故填2n －1.而且第(2n －2)行与第(2n －3)行中分别都有2n－1个1，所以当n ＝6时，2n －1＝26－1＝63，第63行全是1(第6次全行数都为1)，第61行共有26－1＝25＝32个1.故填32.[答案] 2n －1 32 题组二 求展开式的系数和4．(2x －1)10的展开式中x 的奇次幂项的系数之和为( ) A.1＋3102B.1－3102C.310－12D ．－1＋3102[解析] 设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，两式相减可得，a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102，故选B.[答案] B5．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.[解析] 利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，而项的系数互为相反数，即a 10＋a 11＝0.[答案] 06．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.[解] (1)令x ＝0，可得a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100， (3)令x ＝－1.可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 与(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝2－3100－2＋31002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)][(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r(3)r x r ， ∴a 2r －1<0(r ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 题组三 展开式中的最大值问题7．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( ) A ．第5项 B ．第6项或第7项 C ．第6项 D ．第7项[解析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ×25＝C 6n ×26⇒n ＝8.所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1120x 4.故选A.[答案] A8.⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第6项B ．第3项C ．第3项和第6项D ．第5项和第7项[解析] 展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2， T 7＝C 610x 4⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D. [答案] D9．(1－x )13的展开式中系数最小的项为( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项D ．第9项[解析] 展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243 D ．1或－243[解析] (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 5a5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.[答案] B2．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项[解析] 设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.[答案] B3．(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5[解析] 根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决．只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选D.[答案] D 二、填空题4．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.[解析] 令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.[答案] 15．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋xa n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.[解析] 由题意知，A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)． 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝⎛⎭⎫1＋xa n 的展开式的通项公式知， T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3. [答案] 3 三、解答题6．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512. 偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102；①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，故偶数项系数的和为1－5102.7．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．[解] (1)二项式系数最大的项是第11项，T 11＝C 1020310(－2)10x 10y 10＝C 1020610x 10y 10.(2)设系数绝对值最大的项是r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧3r ＋1220－r ，221－r3r ，解得725≤r ≤825(r ∈N )，所以r ＝8，即T 9＝C 820312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项．(3)由于系数为正的项为y 的偶次方项，故可设第2r －1项系数最大，于是⎩⎪⎨⎪⎧C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r －420·324－2r ·22r －4，C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r 20·320－2r ·22r ， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧10r 2＋143r －1077≤0，10r 2＋163r －924≥0.解得r ＝5，即2×5－1＝9项系数最大．T 9＝C 820·312·28·x 12y 8.。

90°－∠AEC＝90°－75°＝15°
(3)∵∠DEF＝∠AEC＝75°，∴∠EFD＝90°－75°＝15°，即∠EFD的度数没有
变化，为15°
解：(3)∠BOC＝90°－12 ∠A
【变式拓展类型】 “8”字形内角平分线的夹角 6 ． ( 中 考 改 编 题 ) 如 图 ， 线 段 AB ， CD 相 交 于 点 O ， 连 接 AC ， DB. 已 知 BE 平 分 ∠ABD交CD于点F，CE平分∠ACD交AB于点G，判断∠A，∠D与∠E之间的关系， 并证明你的结论．
解：∠E＝
1 2
(∠A＋∠D).证明如下：∠DBE＋∠D＝∠E＋
∠DCE①，∠ECA＋∠A＝∠EBA＋∠E②，由题意得∠DBE
＝∠EBA，∠ECA＝∠DCE.由①＋②，得∠DBE＋∠D＋
∠ECA＋∠A＝∠E＋∠DCE＋∠EBA＋∠E，即2∠E＝∠D＋
∠A，∴∠E＝12 (∠A＋∠D)
模型四 角平分线与高线的夹角 7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，F为射线AE上 一点(不与点E重合)，且FD⊥BC. (1)若点F与点A重合，如图①，求∠EFD的度数； (2)若点F在线段AE上(不与点A重合)，如图②，求∠EFD的度数； (3)若点F在△ABC外部，如图③，此时∠EFD的度数会变化吗？是多少？ (4)由上可得出∠EFD与∠B，∠C之间的数量关系为_∠__E__F_D_＝__12__(_∠__C_－__∠__B_)____．
【变式5】如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋ ∠D＋∠E＋∠F的度数是___3_6_0_°____．
模型三 三角形内角与外角平分线所成的角 (一)两内角平分线的夹角 3．(教材P29复习题T11变式)如图，已知△ABC，请解答： (1)若∠B＝70°，点P是△ABC中∠BAC和∠ACB的平分线的交点，则∠APC的度 数为__1_2_5_°___； (2)如果把(1)中“∠B＝70°”这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数 量关系．

形？并说明理由。
C
B
例3 如图，一名滑雪运动员沿倾斜角为30°的斜坡， 从A滑行至B。已知AB=200m，问这名滑雪运动 员的高度下降了多少m？
A
D
B
C
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。
反过来若，三一角个形三角中形一中边，若上一的边中上线的中等线于等这于这条条边
的边的一一半半，，它那是么直这角个三角三形角吗形？ 是直角三角形。
A
D
B
上图中的三角板所表示的三角形有什么特征？ （从边、角方面去说明）
等腰直角三角形
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
C
它有什么性质呢？
A
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1）具有等腰三角形的所有性质 2）具有直角三角形的所有性质
∠C=90°，∠A=∠B=45°
例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜
边BC上的高，则AD=BD=CD。请说明理由。
A
C
B
D
（1）已知，如上图，AD＝BD＝CD，∠B＝45°，则
⊿ABC是等腰直角三角形.请说明理由.
（2）已知，如上图，AD＝BD＝CD，AD是BC边上的 高，则AB＝AC.请说明理由.
任意画出一个直角三角形,作出斜边上的中
线，并利用圆规或刻度尺测量、比较该中线与
斜边的一半的长短,你发现了什么?再画几个直
A
直角三角形用Rt△表示，
如图记作Rt△ABC 直角边
斜边
C 直角边 B
直角三角形的两个锐角互余。反过来， 有两个角互余的三角形是直角三角形
例1 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高。 （1）请找出图中各对互余的角。
（2）请找出图中各对相等的角。