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2017中考数学专题复习圆

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第六章 圆

第二十三讲 圆的有关概念及性质

【基础知识回顾】

一、 圆的定义及性质：

1、 圆的定义：

⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做

⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合

2、弦与弧：

弦：连接圆上任意两点的 叫做弦

弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类

3、圆的对称性：

⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴

⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是

【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的

2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】

二、 垂径定理及推论：

1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。

2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】

三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角

2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

四、 圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧

推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角

有 个，是

类，它们的关系是

，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

五、 圆内接四边形：

定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。 性质：圆内接四边形的对角 。

【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】

【重点考点例析】

考点一：垂径定理

例1（2015•舟山）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）

A．215 B．8 C．210 D．213

对应训练

1．（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，则⊙O的半径为（ ）

A．42 B．5 C．4 D．3

考点二：圆周角定理

例2 （2015•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．8

对应训练

2．（2015•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）

A．36° B．46° C．27° D．63° 【2016中考名题赏析】

1.(2016兰州，10,4分)如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O, 四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ∠ ADC= （） （A）45º （B) 50º

(C) 60º (D) 75º

2. (2016·四川自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）

A．15° B．25° C．30° D．75°

3. （2016·四川成都·3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（ ）

A．π B．π C．π D．π

4. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）

A． B．2 C． D．

5．（2016·山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（ ）

A． B．C． D．

6．（2016山东省聊城市，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°

7．（2016.山东省泰安市，3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）

A．1： B．1： C．1：2 D．2：3

8．（2016·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为

．

2．（2016·湖北鄂州）如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。当△APB为直角三角形时，AP＝ .

【真题过关】

一、选择题

1．（2015•厦门）如图所示，在⊙O中，»»ABAC，∠A=30°，则∠B=（ ）

A．150° B．75° C．60° D．15°

1．B

2．（2015•昭通）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（ ）

A．28° B．42° C．56° D．84°

3．（2015•湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（ ）

A．25° B．35° C．55° D．70°

3．B

4．（2015•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ）

A．»»ADBD B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°

4．C

5．（2015•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（ ） A．3 B．5 C．15 D．17

6．（2015•兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

7．（201•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）

A．10 B．8 C．5 D．3

8．（2015•温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作¼BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，S1-S2=4，则S3-S4的值是（ ）

A．294 B．234 C．114

D．54

9．（2015•南通）如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是 »AB的中点，CD与AB的交点为E，则 CEDE等于（ ）

A．4 B．3.5 C．3 D．2.8

9．C

10．（2015•乐山）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．C 11．（2015•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形

B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC

C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°

D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形

二、填空题

12．（2015•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．

13．（2015•盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使»AB经过圆心O，则∠OAB=

．

14．（2015•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．

15．（2015•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 度．

16．（2015•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为»AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN= ．

17．（2015•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为 ．

18．（2015•娄底）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．

三、解答题 19．（2015•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．

20．（2015•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

21．（2015•贵阳）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．

（1）求证：△OEF是等边三角形；

（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

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初中数学中考复习 第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)

初中数学中考复习 第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题

【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐

【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】

【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−53经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2017初中数学知识点中考总复习总结归纳

2017初中数学知识点中考总复习总结归纳

2017年中考数学总复习资料

第一章数与式

考点一、实数的概念及分类

1、 实数的分类

厂正有理数「

厂有理数2零 卜有限小数和无限循环小数

实数2 L负有理数J

厂正无理数「

■-无理数"； 炉 无限不循环小数

L负无理数」

2、 无理数：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：

一 一 n

(1 )开方开不尽的数，如 J7,Q2等； (2)有特定意义的数，如圆周率 n或化简后含有 n的数，如一+8等；

3

(3 )有特定结构的数，如 0.1010010001…等； (4)某些三角函数，如 sin60o等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、 相反数

实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零) ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，

如果a与b互为相反数，则有 a+b=0 , a= — b，反之亦成立。

2、 绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离， |a|%。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数， 若|a|=a，则a%;若|a|=-a，则a切。正数大于零，负数

小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、 倒数：如果a与b互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根：如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a的平方根(或二次方跟)。

(1) 一个数有两个平方根，他们 互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 (2)正数a的平方根记做“ ,a ”。

2、算术平方根：正数 a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作“ Va ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

•、a 0

a b 0 a b, a b 0 a b,

考点六、实数的运算

考点七、整式的有关概念

1、 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2017年中考数学备考《一元二次方程》专题复习(含答案解析)

2017年中考数学备考《一元二次方程》专题复习(含答案解析)

2017年中考备考专题复习：一元二次方程

一、单选题（共15题；共30分）

1、（2016•江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）

A、2

B、1

C、﹣2

D、﹣1

2、（2016•金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1 ， x2 ， 则下列结论正确的是（ ）

A、x1=﹣1，x2=2

B、x1=1，x2=﹣2

C、x1+x2=3

D、x1x2=2

3、（2016•福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ）

A、a＞0

B、a=0

C、c＞0

D、c=0

4、（2016•荆门）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）

A、x1=0，x2=6

B、x1=1，x2=7

C、x1=1，x2=﹣7

D、x1=﹣1，x2=7

5、（2016•玉林）若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y= 在第一象限的图象有公共点，则有（ ）

A、mn≥﹣9

B、﹣9≤mn≤0

C、mn≥﹣4

D、﹣4≤mn≤0

6、（2016•玉林）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2 ， 则m2（ ）=（ ）

A、

B、- C、4

D、﹣4

7、（2016•自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A、m＞1

B、m＜1

C、m≥1

D、m≤1

8、（2016•大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2 ， 则M与N的大小关系正确的为（ ）

A、M＞N

B、M=N

C、M＜N

D、不确定

9、（2016•呼和浩特）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）

2017年中考数学必背知识点(考前复习)

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一．不为0的量

AB中，分母Bax2+bx+c=0（a≠0）

y=kx+b（kkyx（k≠0） y= ax2+bx+c=0（a≠0）

二．非负数

1.│a│≥0 2. a的算术平方根a≥0（a≥0）零的算术平方根是0 3. a2n≥0（n为自然数）

三．绝对值：(0)(0)aaaaa＜

四．重要概念

1. 平方根与算术平方根：如果x2=a（a≥0），则称x为a的平方根，记作：x=a，其中x=a称为x的算术平方根.

立方根：如果x3=a（a≥0），则称x为a的立方根，记作：x=3a

2. 负指数：1ppaa （a≠0） 3. 零指数：a 0=1（a≠0）

4. 科学计数法：a×10 n（n为整数，1≤a＜10）

5.因式分解：把一个多项式化成几个因式的乘积的形式

五．重要公式

（一）乘法公式（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

（2）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

（3）平方和(差)公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

（4）十字相乘法x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

（二）幂的运算性质

: mnmnaaa ( a≠0,m,n都是整数)

2.幂的乘方法则：()mnmnaa (m,n都是整数)

3.积的乘方法则：()nnnabab（n为整数）。

4.同底数幂的除法法则: mnmnaaa (a≠0,m、n都是整数),且m>n).

（三）整式的乘法与因式分解

1.平方差公式：22()()ababab及其逆用 2.完全平方公式：222()2abaabb及其逆用