【高中数学专项突破】专题30 用二分法求方程的近似解(含答案)

【高中数学专项突破】 专题30 用二分法求方程的近似解 考点1 二分法的概念 1.下列关于二分法的叙述，正确的是( ) A．用二分法可以求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一数字 C．二分法无规律可寻，无法在计算机上进行 D．二分法只用于求方程的近似解 2.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( ) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 3.若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )

A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 4.下列函数零点不能用二分法求解的是( ) A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3 C．f(x)＝x2＋2√2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 5.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )

A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 6.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )

A．B．C．D． 7.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) A．B．C．D． 8.已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值，那么将区间(a，b)等分的次数至少是________． 9.下列函数①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝lgx＋3，③f(x)＝x2＋2ax＋a2，④f(x)＝－x2＋4x－1的零点

不能用二分法求解的是________．(填序号)

10.在某娱乐节目中，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，

就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标，在猜一种品牌的手机时，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？

11.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌和一把椅子的工时

之比为10∶7，问：30名工人如何分组(一组制作桌子，一组制作椅子)能使任务完成最快？ 考点2 用二分法求方程的近似解 12.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则

据此可得该方程的零点所在区间是( )

A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，2) D．不能确定 13.设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，

f(3)>0，则方程的近似解落在区间( )

A．(1，1.5) B．(1.5，2) C．(2，2.5) D．(2.5，3) 14.在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个根锁定在(1，2)内，则

下一步可断定该根所在的区间为( )

A．(1.4，2) B．(1，1.4) C．(1，1.5) D．(1.5，2) 15.设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜

0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的零点落在区间( )

A．(2，2.25) B．(2.25，2.5) C．(2.5，2.75) D．(2.75，3) 16.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

那么方程2x＝x2有一个根位于区间( ) A．(－1.6，－1.2)内 B．(－1.2，－0.8)内 C．(－0.8，－0.6)内 D．(－0.6，－0.2)内 17.在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，

f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________．(精确度0.1)

18.已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数． (1)若m＝－4，判断f(x)＝0在(－1，1)上是否有零根存在？没有，请说明理由；若有，并在精确度为0.2的条件下(即根所在区间长度小于0.2)，用二分法求出使这个零根x0存在的小区间；

(2)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围．

19.如图，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，

然后折成一个无盖的盒子．

(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； (2)如果要做成一个容积为150cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确

度0.1cm) 20.已知函数f(x)＝ax＋𝑥−2𝑥+1(a>1)． (1)求证f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根．(精确度0.01) 专题30 用二分法求方程的近似解 考点1 二分法的概念 1.下列关于二分法的叙述，正确的是( ) A．用二分法可以求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一数字 C．二分法无规律可寻，无法在计算机上进行 D．二分法只用于求方程的近似解 【答案】B 【解析】根据“二分法”求函数零点的方法要求，用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一数字，故选B.

2.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( ) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 【答案】C 【解析】因为f(－1)＝2－1－3＝－52<0， f(0)＝20－3＝－2<0， f(1)＝2－3＝－1<0， f(2)＝22－3＝1>0， f(3)＝23－3＝5>0， 所以f(1)·f(2)<0， 所以f(x)＝2x－3的零点x0∈(1，2)． 3.若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )

A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【解析】设对区间(1，2)至少二等分n次，初始的区间长为1， 第1次二等分后区间长为12； 第2次二等分后区间长为122； 第3次二等分后区间长为123； 第n次二等分后区间长为12𝑛.

根据题意得12𝑛<0.01，∴n>log2100. ∵6故对区间(1，2)至少二等分7次． 4.下列函数零点不能用二分法求解的是( ) A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3 C．f(x)＝x2＋2√2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 【答案】C 【解析】对于C，f(x)＝(x＋√

2

)

2≥0，不能用二分法．

5.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )

A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 【答案】C 【解析】观察图象可知，点x3附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求出，故选C. 6.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )

A．B．C．D． 【答案】B 【解析】用二分法判断函数是否有零点，关键是零点两侧的函数值异号，所以B项不符合要求．

7.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )

A．B．C．D． 【答案】B 【解析】二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而B零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号．另外，A、C、D零点两侧函数值异号，

可以利用二分法求解．

8.已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值，那么将区间(a，b)等分的次数至少是________．

【答案】10 9.下列函数①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝lgx＋3，③f(x)＝x2＋2ax＋a2，④f(x)＝－x2＋4x－1的零点

不能用二分法求解的是________．(填序号)

【答案】③ 【解析】①②④的零点可以用二分法求解．函数f(x)＝x2＋2ax＋a2＝(x＋a)2≥0，不能用二分

法求零点．故填③.

10.在某娱乐节目中，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，

就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标，在猜一种品牌的手机时，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？

【答案】取价格区间[500，1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1000]的中点875；否则取另一区间[500，750]的中点625；若遇到小数取整数，照这样的方案游戏过程猜

价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次即可猜中价格．

11.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌和一把椅子的工时

之比为10∶7，问：30名工人如何分组(一组制作桌子，一组制作椅子)能使任务完成最快？

【答案】设x(1≤x≤29，x∈N*)名工人制作课桌，(30－x)名工人制作椅子． 一名工人在单位时间里可制作7张桌子或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间P(x)＝1007𝑥，制作200把椅子所需要的时间Q(x)＝20010(30−𝑥).要想任务完成最快，则应求y＝max{P(x)，Q(x)}的最小值，设x0为y取最小值时的x的值，此时P(x)＝Q(x)．

下面用二分法的知识求x0的整数值． 令f(x)＝P(x)－Q(x)＝1007𝑥＋20𝑥−30， 则f(1)＝1007－2029≈13.60>0，

f(29)＝10029×7－20≈－19.51<0， 所以x0∈(1，29)；