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不等式恒成立问题解法探讨

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不等式恒成立问题解法探讨
我们经常会碰到：“已知一不等式关于某一变量在给定区间内任意变化时恒成立，求
另一参变量取值范围”的题目。本文试就此类问题做一解法探讨。
例1. 已知1axx)x(f2，求使不等式0)x(f对任意]2,1[x恒成立的a的取值范
围。
解法1：数形结合
结合函数)x(f的草图可知]2,1[x,0)x(f时恒成立

2
5
a0a25)2(f0a2)1(f得
。

所以a的取值范围是),25(。
解法2：转化为最值研究

4a1)2
a
x()x(f22

1. 若]2,1[)x(f,3a232a在时即上的最大值,25a,0a25)2(f)x(fmax得
3a25所以
。

2. 若0a2)1(f)x(f]2,1[)x(f,3a232amax上的最大值在时即，得2a，所以
3a
。

综上：a的取值范围是),25(。
注：1. 此处是对参a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类
中所求得的a的范围求并集。
2. Ix,m)x(f恒成立)m(m)x(fmax为常数；
)m(m)x(fIx,m)x(fmin为常数恒成立
解法3：分离参数
]2,1[x,x1xa]2,1[x,01axx2。设x1x)x(g
，则2x11)x('g，当

]2,1[x时0)x('g
。（当且仅当0)x('g,1x时）

则]2,1[)x(g在上单调递增。

所以25a,25)2(g)x(gmax所以。
注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x(g的最值，但由于将参数a与变量x分离，因
此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。
2. 本题若将“]2,1[x”改为“)2,1(x”可类似上述三种方法完成。
仿解法1：)2,1(x,0)x(f

2
5
a0)2(f0)1(f得

即),25[:a的范围是
读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处25a也合题。
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例2. 已知：1axx)x(f2
求使]1,1[x0)x(f对任意恒成立的a的取值范围。
解法1：数形结合
结合)x(f的草图可得：





0)1(f
12a04a04a22或

或0)1(f12a04a2
得：)2,2(:a2a2的取值范围是即。
解法2：转化为最值研究

4a1)2
a
x()x(f22

1. 2a204a1)x(f,2a212a12min得时即，所以2a2。
2. 若2a,2a0a2)1(f)x(f,2a12amin与得时即矛盾。
3. 若2a,2a0a2)1(f)x(f,2a12amin与得则时即矛盾。
综上：a的取值范围是)2,2(。
解法3：分离参数
1. 0x时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数；

2. )0,1[x时，x1xa01axx2。

因为)0,1[x1x)x(g在上单调递减，
所以2)1(g)x(gamax；
3. ]1,0(x时，x1xa01axx2。

因为x1x)x(g在（0，1）上单调递减，所以
2)1(g)x(gamin
。

综上：a的范围是：)2,2(。
注：本题中由于x的取值可正可负，不便对参数a直接分离，故采取了先对x分类，
再分离参数a，最后对各类中求得a的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a的
范围求并集是不同的，应引起注意！

例3. 已知：1axx)x(f2，求使0)x(f对任意]3,3[a恒成立的x的取值范围。
解：01axx0)x(f2即习惯上视x为主元而a为辅元，但本题中是a在]3,3[上
任意变化时不等式恒成立，故可将a视为主元。
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变更主元法：设1xax)a(g2，则)a(g的图像为一直线，则]3,3[a,0)a(g时
恒成立



01x3x)3(g
01x3x)3(g

2
2

即x的范围是：
),253()253,(
总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变
化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。若易于
将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结
（分清是求交集，还是求并集）。

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关于不等式恒成立问题的几种求解方法

关于不等式恒成立问题的几种求解方法

关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。

这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。

下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型——利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。

若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。

这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。

能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;若改为：,构造函数，画出图象，得a<3利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。

含参数不等式恒成立问题解法探讨2011-0607

含参数不等式恒成立问题解法探讨2011-0607


b2 （2）在（1）中可求得 c 1 ，即有 c | b | . 4
（ⅰ）当 c | b | 时， 1
b 1， c
f (c) f (b) M (c 2 b 2 ) 恒成立 M f (c) f (b) c 2b 1 3 2 ， 2 2 b 2 c b bc 1 c 3 因此， M , 2
于是
1 8 3 3 4m 2 1 ，解得 m 或m . 2 m 3 2 2
【点评】在分类变量时，有时没有必要分离到不等式一边只剩 x （或 a ）的程度，我们只需 要参数与变量各在不等式一边即可. 【练习 1】 （2010 山东改编）若对任意 x 0 ， ax (3a 1) x a 0 恒成立，则 a 的取值
π π
π π
∴ m f ( x) max 2 且 m f ( x) min 2 ， ， 4) ． ∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (1
2、讨论分离参变量 在分离参变量的过程中，经常会在原不等式两边同时乘以（或除以）一个代数式，由不 等式性质可知，需要对该代数式的符号进行讨论. 为此很多恒成立问题必须分类讨论才能达
2
【练习 2】 （2007 湖北）已知函数 f ( x) 2sin （1）求 f ( x) 的最大值和最小值；
π π π x 3 cos 2 x ， x ， ． 4 4 2
（2）若不等式 f ( x) m 2 在 x ， 上恒成立，求实数 m 的取值范围． 4 2 【答案】 （1）易得 f ( x) max 3，f ( x) min 2 ． （过程略） （2）∵ f ( x) m 2 f ( x) 2 m f ( x) 2 ， x ， ， 4 2
一个不等式恒成立问题的求解与思考

一个不等式恒成立问题的求解与思考

一个不等式恒成立问题的求解与思考不等式恒成立问题，也就是指在一定条件下，一个不等式一定能够得到成立的一类问题。

通常我们遇到的这类问题都被称为绝对值不等式问题，即只要给出一个不等式，不管怎么变化，都可以满足该不等式。

这样的问题在实际中经常会被用到，比如我们经常遇到的判定问题，就需要用到不等式恒成立的性质，才能正确判断出这个问题的结果。

那么怎样才能求解一个不等式恒成立的问题呢？首先，要弄清楚问题的前提，知道给定的不等式是什么，以及可以接受的变换是什么。

比如，如果是求解|x+2|>3时x的取值，那么此式就可以变换为2x>1和2x<-5两个不等式，求解结果就是x>1/2和x<-5/2。

然后，就可以根据具体的前提来进行求解。

比如，如果现在有|x+5|<10这样一个式子，我们先可以将它变换为两个不等式：x+5<10,x+5>-10；根据前提，当x+5取值大于-10，小于10时满足要求，所以求解的解集为-5<x<5。

总的来说，求解不等式恒成立的问题，无非是三个步骤：先把不等式转化为两个不等式，然后实际求解，最后根据前提来判定结果。

这三步可以帮助我们把握好不等式恒成立问题的解法，同时也可以更加有效率的求解出所需要的解集。

除掉最基本的问题之外，有的时候我们还可以进行更多的思考，比如我们可以思考如果让给定的不等式如何变化，以便满足某个更加严格的要求，以及可以实现的类似于不等式恒成立的问题有哪些等等。

一方面，这样可以使得求解的工作变得更容易。

另一方面，有时候可能会发现一些新的性质，从而带来更多新的可能性。

总而言之，不等式恒成立问题是一个重要的数学问题，它被广泛应用在生活中，因此理解它的求解方法以及不等式恒成立的原理，都非常重要。

解决这类问题的过程中，我们需要做好前提分析，把握转化的方法以及实际求解，同时还要进行思考，打开思路，以便收获更多的发现。

只有这样，我们才可以有效的解决不等式恒成立的问题，为社会发展做出更多的贡献。

巧解含未知量不等式恒成立与存在性问题

巧解含未知量不等式恒成立与存在性问题

巧解含未知量不等式恒成立与存在性问题简介不等式是数学中常见的一种表达式形式，它描述了数值之间的大小关系。

在解不等式时，我们会遇到含有未知量的情况，即未知量不等式。

对于含有未知量的不等式，我们常常关注两个问题：恒成立性和存在性。

恒成立性问题要求确定不等式中的未知量取值范围，使得不等式在该范围内恒成立。

而存在性问题则是探寻是否存在某个值，使得不等式成立。

本文将以简明的方式讨论巧解含未知量不等式恒成立与存在性问题的策略。

解决策略解决含未知量不等式的恒成立和存在性问题时，我们可以采用以下简单策略：1. 分类讨论：根据不等式的形式和性质，将其分为不同情况进行讨论。

例如，可以根据未知量的次数、不等式的系数等进行分类，以便更好地理解和解决问题。

2. 画图示意：对于某些复杂的不等式，可以通过画图示意的方式更好地理解问题。

通过观察图形，我们可以发现不等式的变化规律，判断恒成立性和存在性。

3. 代入法：对于一些特殊情况的不等式，可以尝试代入一些特定的值，验证不等式的成立性。

通过代入法，我们可以找出满足不等式的特殊解或取值范围。

4. 化简和转化：对于复杂的不等式，可以通过化简和转化的方式简化问题。

例如，可以利用不等式的性质进行变形，化简不等式的形式，从而更容易判断其恒成立性和存在性。

注意事项在解决含未知量不等式的恒成立和存在性问题时，我们需要注意以下事项：1. 确保解的合法性：在进行分类讨论或代入法时，需要注意避免出现不合法的解。

例如，在分母为零的情况下，不等式将无法成立。

2. 考虑边界情况：在判断不等式的恒成立和存在性时，需要考虑边界情况。

边界值通常是解不等式的关键，因为在边界处不等式的成立情况可能会有所改变。

3. 尽量化简不等式：在解决复杂的不等式问题时，尽量将不等式化简为简化的形式。

这样可以更好地理解和判断不等式的恒成立和存在性。

结论解决含有未知量的不等式的恒成立和存在性问题需要灵活运用各种策略，并考虑解的合法性和边界情况。