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等腰三角形经典练习题

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- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 等腰三角形练习

知识梳理

知识点1：等腰三角形的性质定理1

（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C

（3）证明：取BC的中点D，连接AD

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2：等腰三角形性质定理2

（1） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，

底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）

（2）符号语言：

∵AB=AC，∠1=∠2 ∵AB=AC，AD⊥BC ∵AB=AC，BD=DC

∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2，BD=DC ∴∠1=∠2，AD⊥BC

（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。

知识3：等腰三角形的判定定理

（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）

（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC

（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD （AAS）

∴AB=AC

（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。

知识点4：等腰三角形的推论

1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点5： 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

一、知识点回顾

等腰三角形的性质：

△ABC中，AB=AC．点D在BC边上

（1）∵AB=AC， ∴∠_____=∠______；（即性质1）

（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）

（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）

（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）

等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C ∴_____=_____．

二、基础题

第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．

第2题. 在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

第3题. 如图1，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）

图1 图2

图3 图4

A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a

第4题. 如图2，O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若BC=10cm，那么△ODE的周长为（ ）

A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm

第5题. 如图3，已知: P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．

第6题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．

第7题. 如图4，DE是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________．

第8题. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________． A

O

C B E D P

Q

M N G

E D

B C 文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 第9题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________．

第10题. 如图5，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______．

图5 图6

第11题. 如图6，,ABC是等腰三角形，D为BC上一点，DE∥AB且交AC于E，请判断△EDC是什么三角形?并说明理由．

第12题. 如图7，已知AE平分∠DAC，AE∥BC，那么AB=AC吗?请简要说明理由．

图7 图8 图9

第13题. 如图8，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第14题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）

A．9 B．12 C．15 D．12或1

第15题. 如图9，在△ABC中，AB=AC， ∠A=50°，P是△ABC内一点， ∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（ ）

A．115° B．100° C．130° D．140°

第16题. 下列命题正确的个数是（ ）

①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第17题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）

A．42° B．60° C． 36° D． 46°

第18题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ）

A．120° B． 150° C．60° D．90°

第19题. 如图10，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC， ∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（ ）

A．10° B．12．5° C．15° D． 20°

图10 图11 图12

第20题. 如图11，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD， ∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（ ）

A．15° B． 18° C． 20° D． 22.5°

第21题. 已知:如图12，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．

第22题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．不等边三角形 D．不等腰钝角三角形

第23题. 如下图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD、CE分别 是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ）

A．12 B．10 C．9 D．8

第24题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（ ）

A．90° B． 45° C． 50° D． 22.5°

第25题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）

A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定

第26题. △ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的

垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．

第27题. 已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°，

那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______，

点C的对应点是_______．

第28题. 在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是_________

第29题. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC边上的两点，

且满足AD＝AE=BD=CE，则图中与∠B相等的角有________个角，

分别是________________________． 图中全等的三角形有___对，分别是_____________________________

第30题. 已知线段a，b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（ ）

A．只能作以a为底边的等腰三角形

B．只能作以b为底边的等腰三角形

C．可以作分别以a、b为底的等腰三角形

D．不能作符合条件的等腰三角形

第31题. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是___________ cm.

第32题如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判

断（ ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状

二、解答题

1．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，•且∠ABD=•∠ACE，

求证：BF=CF．

2．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC

于F交BC于E，•

求证：△DBE是等腰三角形．

3. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE

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等腰三角形与直角三角形练习题

等腰三角形与直角三角形练习题

等腰三角形与直角三角形练习题

一、等腰三角形练习题

（一）基础巩固

1、 已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？

解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。

当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。

2、 等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？

解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。

当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。

综上，其周长为 20 或 22。

3、 一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。 解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。

当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。

（二）能力提升

1、 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？

解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为

30°，则顶角为 60°。

当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。

综上，顶角的度数为 60°或 120°。

2、 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝

30°，求∠1 和∠ADC 的度数。

解：因为 AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，所以 AD 平分∠BAC

且 AD⊥BC。

因为∠B ＝ 30°，所以∠BAC ＝ 180° 30°× 2 ＝ 120°，所以∠1 ＝

等腰三角形练习题

等腰三角形练习题

等腰三角形练习题

1、如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为何

2、如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是

3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于

4、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=

（1题） （2题） （3题） （4题）

5、在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为

6、已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为

7、若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为

8 、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形顶角的度数为

9、等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是

10、在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F．

求证：EF=ED．

12、如图，△ABC中，AB=AC，点M、N分别在BC所在直线上，且AM=AN．

请问：BM=CN吗？请说明理由．

13、如图，△ABC中，AB=AC，两条角平分线BD、CE相交于点O．

（1）OB与OC相等吗？请说明你的理由；

等腰三角形 习题精选及答案(二)

等腰三角形 习题精选及答案(二)

等腰三角形 习题精选（二）

1．在△ABC中，D是AB的中点，CD＝AD＝BD，则∠ACB＝______。

2．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是50°，则顶角是______。

3．等腰三角形两腰上的高相交而成的锐角是80°，则各内角度数分别为________。

4．如图15-5-1，在△ABC中AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC于D。若∠EAD＝20°，则∠ABD＝______。

5．如图15-5-2，在△ABC中，∠ABC＝35°，∠ACB＝61°，延长BC到E，使CE＝CA，延长CB到D使DB＝AB，则∠DAE＝______。

6．如图15-5-3，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D。AD与BC的关系是________。

7．在△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，且∠BDC＝75°，则∠BAC等于（）

A．20° B．25°

C．30°

D．40°

8．已知△ABC的周长为32cm且AB＝AC，AD⊥BC于D。又△ACD的周长为24cm，则AD的长为（）

A．6cm

B．8cm

C．10cm

D．4cm

9．等腰三角形三个内角度数的比是1：1：2，则此等腰三角形为（）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．斜三角形

D．等腰直角三角形

[学科综合]

10．已知等腰三角形的顶角是底角的14，求等腰三角形各角的度数。

11．如图15-5-4，在△ABC中，∠ABC＝100°，AM＝AN，CN＝CP，求∠MNP的度数。

[创新思维]

（一）新型题

12．如图15-5-5，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F交AB于E。试说明：BF＝12FC。

（二）课本习题变式题

13．（课本P70练习第2题变式题）如图15-5-6，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为C，且DE＝6cm。求BC的长。

解等腰三角形的性质的练习题

解等腰三角形的性质的练习题

解等腰三角形的性质的练习题

1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。证明：△ABD≌△ACD。

解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。

2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。证明：∠HAB=∠HAC。

解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。

3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。证明：DE=BC/2。

解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。

4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。证明：△ADE≌△ABC。 解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。

5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。证明：BD=DC，BE=EC。

解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。因此，旋转后的△ADE中，BD等于DC，BE等于EC。