等腰三角形的动点问题--经典习题

如图，将一条宽DE ＝4的长方形纸片按任意线段AB 折叠，使纸片的一边BE 折叠后与另一边AF 交于点C ．(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)试探索：△ABC 能否是等腰直角三角形．若能，求出折痕AB 的长；若不能，说明理由．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，且AD ＝BD ．(1)求证：∠ADB ＝∠BAC ；(2)若△ACD 也是等腰三角形，求∠B 的度数．如图，在△ABC 中，已知BA ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ． (1)求∠A 的度数；(2)若AC ＝6cm ，求AD 的长度．已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A (10，0)，C (0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为 ．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．(1)求OA、OC的长；(2)求证：DF为⊙O′的切线；(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分．．说明理由．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．PNMCBAOy x如图(1)，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，点M 在边AB 上，且AM ＝6． (1)动点D 在边AC 上运动，且与点A 、C 均不重合，设CD ＝x ．①设△ABC 与△ADM 的面积之比为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②当x 取何值时，△ADM 是等腰三角形？写出你的理由；(2)如图(2)，以图(1)中的BC 、CA 为一组邻边的矩形ACBE 中，动点D 在矩形边上运动一周，能使△ADM 是以∠AMD 为顶角的等腰三角形共有几个？（直接写出结果，不必说明理由）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．(1)求点D 到BC 的距离；(2)求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)是否存在点P ，使△PQR 是以PQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）。

专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm.(1)求AB的长;(2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形?二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求：(1)△PAB为等腰三角形的t值;(2)△PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且∠ABM=45。

，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?;(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。

五、相遇问题：因动点产生的相遇问题5.如图，在△ABC中，AB= BC= AC= 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的三边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M.N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M.N运动几秒后，可得到等边△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间.六、最值问题：因动点产生的最值问题6.如图K 13一6，点P,Q分别是△ABC的边AC,AB上的定点，请你在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.。

专题05 等腰三角形中的动态问题【典例解析】【例1-1】（2020·安徽省泗县月考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且∠PMN为等边三角形，则满足上述条件的∠PMN有()A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】D【解析】解：如图，在OA、OB上分别截取OE=OP，OF=OP，作∠MPN=60°．∠OP平分∠AOB，∠∠EOP=∠POF=60°，∠OP=OE=OF，∠∠OPE，∠OPF是等边三角形，∠EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∠∠EPM=∠OPN，∠∠PEM∠∠PON∠PM=PN，∠∠PNM 是等边三角形，只要∠MPN =60°，∠PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故答案为：D ．【例1-2】（2020·贵州六盘水期末）如图，在ABC 中，3AB AC ==，50B C ∠=∠=，点D 在边BC 上运动（点D 不与点,B C 重合），连接AD ，作50ADE ∠=，DE 交边AC 于点E ．（1）当100BDA ∠=时，EDC ∠= ，DEC ∠=（2）当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA ∠的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）30，100；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）在 △BAD 中，∵∠B =50°，∠BDA =100° ，∴∠EDC =30°，∠DEC =100°.（2）当CD =3时，∠ABD ∠∠DCE ，理由如下：∵AB =CD =3，∠B =50°，∠ADE =50°∴∠B =∠ADE∵∠ADB +∠ADE +∠EDC =180°，∠DEC +∠C +∠EDC =180°∴∠ADB =∠DEC又∠B =∠C∴△ABD ≌△DCE（3）可以，理由如下：∴∠BAC=80°①当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=65°，∠∠BAD=∠BAC－∠DAE=15°∠∠BDA=115°②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=50°∠∠DAE=180°－∠AED－∠ADE=80°又∠∠BAC=80°∠∠DAE=∠BAE∴点D与点B重合，不合题意．③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=50°∠∠BAD=∠BAC－∠DAE=30°∴∠BDA=100°.综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．【变式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且∠APO是等腰三角形，这样的点P共有（）个A．6B．7C．8D．9【答案】C.【解析】解：分两种情况进行讨论，当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∠满足条件的点P 共有8个，故答案为：C ．【变式1-2】（2020·山西初二月考）综合与探究：在ABC ∆中， 3 cm AB AC BC ===.点P 从点A 出发以1 cm/s 的速度沿线段AB 向点B 运动．（1）如图1，设点P 的运动时间为()t s ，当t =______s 时，PBC ∆是直角三角形．（2）如图2，若另一动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，如果动点,P Q 都以1 cm/s 的速度同时出发，设运动时间为()t s ，求当t 为何值时，PBQ ∆是直角三角形．（3）如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动，连接PQ 交AC 点D ，且动点,P Q 都以1 cm/s 的速度同时出发．∠设运动时间为()t s ，那么当t 为何值时，DCQ ∆是等腰三角形？∠如图4，连接PC .请你猜想：在点,P Q 的运动过程中，PCD ∆和QCD ∆的面积之间的数量关系为______．【答案】（1）32；（2）（3）见解析． 【解析】解：（1）当∠PBC 是直角三角形时，则∠BPC =90°，∠∠B =60°，∠BP =AP =32cm ， ∠t =32， 故答案为：32；（2）∠当∠BPQ=90°时，BP=12 BQ，即3-t=12t，解得：t=2∠当∠BQP=90°时，BP=2BQ，即3-t=2t，解得：t=1故当t=1或2s时，∠PBQ是直角三角形；（3）∠∠∠DCQ=120°∠当∠DCQ是等腰三角形，CD=CQ，∠∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∠∠A=60°∠∠APD=90°∠AD=2AP3-t=2t，解得：t=1∠S∠PCD=S∠QCD，过点P作PE∠AC于E，过点Q作QG∠AC于点G，∠∠CGQ=∠AEP=90°∠AB=AC=BC∠∠A=∠ACB=∠QCG=60°∠∠EAP∠∠GCQ∠PE=QG∠∠PCD与∠QCD同底等高故S∠PCD=S∠QCD．【例2】（2020·江苏江阴月考）如图，在∠ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．∠若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，∠BPD与∠CQP是否全等，请说明理由；∠若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使∠BPD与∠CQP全等？（2）若点Q以∠中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿∠ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在∠ABC的那一条边上相遇．【答案】（1）∠∠BPD与∠CQP全等，∠点Q的运动速度是53cm/s．（2）经过30秒后点P与点Q第一次在∠ABC的边BC上相遇．【解析】解：（1）∠∠BPD与∠CQP全等，∠点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是1cm/s，∠运动1秒时，BP=CQ=1cm，∠BC=6cm，∠CP=5cm，∠AB=10，D为AB的中点，∠BD=5，∠BD=CP，∠AB=AC，∠∠B=∠C，∠∠BPD∠∠CQP．∠点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，若∠BPD与∠CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，∠点Q的运动速度是53cm/s．（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，∠P的速度是1厘米/秒，Q的速度是53厘米/秒，∠10+10+t=53 t，解得：t=30，此时点Q的路程=30×53=50（厘米），∠50＜2×26，∠此时点Q在BC上，∠经过30秒后点P与点Q第一次在∠ABC的边BC上相遇．【例3-1】（2019·武汉市期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，∠A1B1A2、∠A2B2A3、∠A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则∠A9B9A10的边长为（）A．32B．64C．128D．256【答案】D【解析】解：如图，∠∠A1B1A2是等边三角形，∠A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∠∠2=120°，∠∠MON=30°，∠∠1=180°-120°-30°=30°，又∠∠3=60°，∠∠5=180°-60°-30°=90°，∠∠MON=∠1=30°，∠OA 1=A 1B 1=1，∠A 2B 1=1，∠∠A 2B 2A 3、∠A 3B 3A 4是等边三角形，∠∠11=∠10=60°，∠13=60°，∠∠4=∠12=60°，∠A 1B 1∠A 2B 2∠A 3B 3，B 1A 2∠B 2A 3，∠∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∠A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∠A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，…∠∠A n B n A n +1的边长为 2n -1，∠∠A 9B 9A 10的边长为29-1=28=256．故答案为D ．【例3-2】（2020·浙江温州月考）如图，图∠是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图∠的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图∠，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图∠、∠，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1等于…（ ）A ．112n -B ．3－12nC ．1－132n - D ．132n -＋212n -【答案】A【解析】解：P 1＝1＋1＋1＝3，P 2＝1＋1＋12＝52， P 3＝1＋1＋14×3＝114，P 4＝1＋1＋14×2＋18×3＝238， … ∠P 3－P 2＝114－52＝211=42， P 4－P 3＝238－114＝311=82， ∠P n －P n －1＝n-112， 故答案为：A ．【变式3-1】（2020·山东牡丹期末）如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，在射线OM 上，112A B B ∆，223A B B ∆，334A B B ∆，均为等边三角形．若11OB =，则889A B B ∆的边长为（ ）A ．64B ．128C ．132D ．256【答案】B 【解析】解:∠∠A 1B 1B 2 是等边三角形，∠A 1B 1=A 1B 2，∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O =60°∠∠O =30°∠∠A 2A 1B 2=90°∠∠O =∠OA 1B 1=30°∠OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1同理可得：A 3B 3=4，A 4B 4=8，A n B n =2n -1∠∠A 8B 8B 9的边长为2-=128.故答案为：B .【变式3-2】（2019·贵州印江月考）如图，已知1111222233334,,,AB A B A B A A A B A B A B A B ==== ……，若∠A ＝70°，则11n n n A A B --∠的度数为（ ）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n - 【答案】C【解析】解：∠1AB A B =，70A ∠=︒∠∠AA 1B =∠A =70°∠1112A B A A =∠∠A 1A 2B 1=∠A 1 B 1A 2∠∠AA 1B =∠A 1A 2B 1＋∠A 1 B 1A 2∠∠A 1A 2B 1=12∠AA 1B =702︒=35° 同理可得：∠A 2A 3B 2=12∠A 1A 2B 1=2702︒=17.5︒ ∠A 3A 4B 3=12∠A 2A 3B 2=3702︒=8.75︒ ∠11n n n A A B --∠=1702n -︒ 故答案为C ． 【习题精练】1.（2020·山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，∠AOx =40°，点P 在x 轴上，若∠POA 是等腰三角形，则满足条件的点P 共有______个．【答案】4.【解析】解：有OA =OP 、AO =AP 、PO =P A 三种情况：∠以O 为圆心，OA 长为半径画弧，于x 轴有2个交点P 2、P 3，∠以A 为圆心，OA 长为半径画弧，与x 轴有2个交点O 、P 1，点O 与OA 不能构成三角形，P 1符合条件，∠作线段OA 的垂直平分线，交x 轴有1个交点P 4，∠P 4A =P 4O ，∠P 4符合条件，综上所述：符合条件的点共有4个，故答案为：42. （2019·浙江宁波模考）如图，10AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；……按照上面的要求一直画下去，得到点n P ，若之后就不能再画出符合要求点1n P +了，则n =________．【答案】8【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角10AOB ∠=︒；由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20°，第三个等腰三角形的底角30°，同理可得第n 个等腰三角形的底角度数为10n ，因为等腰三角形的底角小于90°，10n <90，即n <9.故答案为8.3.（2020·河北保定一模）如图，10AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点2P （点2P 与点P不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；……，按照上面的要求一直画下去，就会得到11223OP PP PP P P ===，则（1）234P P P ∠=_________︒；（2）与线段OP 长度相等的线段一共有__________条（不含OP ）．【答案】100,9.【解析】解：（1）由题意可知，1PO PP =，121PP P P =，…，则11POP OPP ∠=∠，1212PPP PP P ∠=∠，…，∠AOB ∠=10°，∠1PPB ∠=20°，21P P A ∠=30°，32P P B ∠=40°，43P P A ∠=50°，54P P B ∠=60°，…，∠234P P P ∠=180°−40°−40°=100°，故答案为：100；（2）根据题意，10n <90，解得n <9．∠n 为整数，故n =8．∠54P P B ∠=60°，4556PP P P =， ∠456P P P ∆为等边三角形，∠与线段OP 长度相等的线段一共有9条（不含OP ），故答案为：9.4.（2020·福建连城期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．（1）填空：ABC S ∆=______2cm ；（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍，请你求出时间x 的值．【答案】（1）8；(2)见解析；（3）45或4. 【解析】解：（1）∠S ∠ABC =12×AC ×BC ∠S ∠ABC =12×4×4=8 故答案为：8（2）如图：连接CD∠AC =BC ，D 是AB 中点∠CD 平分∠ACB又∠∠ACB =90°∠∠A =∠B =∠ACD =∠DCB =45°∠CD =BD依题意得：BE =CF在∠CDF 与∠BDE 中，BE CF B DCA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CDF ∠∠BDE （SAS ）∠DE =DF（3）过点D 作DM ∠BC 于点M ，DN ∠AC 于点N ，∠AD =BD ，∠A =∠B =45°，∠AND =∠DMB =90°∠∠ADN ∠∠BDM （AAS ）∠DN =DM当S ∠ADF =2S ∠BDE ． ∠12×AF ×DN =2×12×BE ×DM ∠|4-3x |=2x∠x 1=4，x 2=45综上所述：x =45或4. 5.（2020·广东佛山月考）如图，在等边ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，4DC =厘米，如果点M 以3厘米/的速度运动．（1）如果点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动．点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动，它们同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等：∠经过2秒后，BMN ∆和CDM ∆是否全等？请说明理由．∠当两点的运动时间为多少秒时，BMN ∆刚好是一个直角三角形？（2）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都顺时针沿ABC ∆三边运动，经过25秒时点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是__________厘米/秒．（直接写出答案）【答案】见解析．【解析】解：（1）∠∠BMN ∠∠CDM ．理由如下：N 、M 速度相等，t =2∠CM =BN =6，BM =4∠BN =CM∠CD =4∠BM =CD∠∠B =∠C =60°∠∠BMN ∠∠CDM∠设运动时间为t 秒，∠BMN 是直角三角形有两种情况：当∠NMB =90°时，∠BNM =30°，BN =2BM∠3t =2（10-3t ）解得：t =209当∠BNM =90°时，同理，BM =2BN ，即10-3t =2×3t ，解得：t =109 ∠当t =209或109秒时，∠BMN 是直角三角形； （2）分两种情况，∠若点M 运动速度快，则3×25－10=25V N ，解得V N =2.6；∠若点N 运动速度快，则3×25+20=25V N ，解得V N =3.8．6.（2018·湖北广水期中）（阅读）如图1，等边∠ABC 中，P 是AC 边上一点，Q 是CB 延长线上一点，若AP ＝BQ ．则过P 作PF ∠BC 交AB 于F ，可证∠APF 是等边三角形，再证∠PDF ∠QDB 可得D 是FB 的中点．请写出证明过程．（运用）如图2，∠ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB 延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE∠AB 于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：【阅读】∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝∠ACB＝60°，∠PF∠BC，∠∠AFP＝∠APF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AP＝PF，∠AP＝BQ，∠PF＝BQ，∠PF∠BQ，∠∠FPD＝∠DQB，∠PFD＝∠QBD，∠∠PFD∠∠QBD；∠DF＝DB．【运用】（1）∠∠ABC是边长为6的等边三角形，∠∠ACB＝60°，∠∠BQD＝30°，∠∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∠QC＝QB+BC＝6+x，∠在Rt∠QCP中，∠BQD＝30°，∠PC＝12QC，即6﹣x＝12（6+x），解得x＝2，∠AP＝2；（2）过Q作QG∠AB，交直线AB于点G，连接QE，PG，又∠PE∠AB于E，∠∠PGQ＝∠AEP＝90°，∠点P、Q速度相同，∠AP＝BQ，∠∠ABC是等边三角形，∠∠A＝∠ABC＝∠GBQ＝60°，在∠APE和∠BQG中，∠∠AEP＝∠BGQ＝90°，∠∠APE＝∠BQG，∠∠APE∠∠BQG（AAS），∠AE＝BG，PE＝QG且PE∠QG，∠四边形PEQG是平行四边形，∠DE＝12 EG，∠EB+AE＝BE+BG＝AB，∠DE＝12 AB，又∠等边∠ABC的边长为6，∠DE＝3，故运动过程中线段ED的长始终为3．7.（2020·乐清市月考）如图所示，∠ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B 点时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）M、N同时运动秒后，M、N两点重合？（2）当0＜t＜5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形∠AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰∠AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由.【答案】见详解．【解析】解：（1）M、N同时运动10秒后，点M、N重合；故答案为10；（2）如图，根据题意得：AM=t，BN=2t，则AN=10-2t，∴t =10﹣2t ，解得t =103； ∴当0＜t ＜5时，M 、N 同时运动103秒后，可得等边三角形∠AMN ； （3）M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，理由如下：由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处．如图，∠AN =AM∠∠AMN =∠ANM∠∠AMC =∠ANB∠AB =BC =AC∠∠ACB 是等边三角形∠∠C =∠B在∠ACM 和∠ABN 中∠AC =AB ，∠C =∠B ，∠AMC =∠ANB∠∠ACM ∠∠ABN∠CM =BN设运动时间为y 秒时，∠AMN 是等腰三角形∠CM =y ﹣10，NB =30﹣2y∠y -10=30-2y ，解得y =403 ∠当运动时间为403秒时，M ，N 在BC 上使∠AMN 为等腰三角形． 8.（2020·南京月考）在ABC 中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ．（1）若AB AC =，120BAC ∠=︒，求证BM MN NC ==；（2）由（1）可知AMN 是______三角形；（3）去掉（1）中的“120BAC ∠=︒”的条件，其他不变，判断AMN 的形状，并证明你的结论； （4）当B 与C ∠满足怎样的数量关系时，AMN 是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接AM ，AN ，∠AB =AC ，∠BAC =120°∠∠B =∠C =30°∠AB 的垂直平分线交BC 于M ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，∠BM =AM ，CN =AN ，∠∠C =∠CAN =30°，∠B =∠BAM =30°，∠∠AMN =60°，∠ANM =60°∠∠MAN =60°∠∠AMN 是等边三角形∠AM =AN =MN∠BM =MN =CN（2）等边；（3）等腰三角形，理由如下：∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，∠AB 的垂直平分线交BC 于M ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，∠BM =AM ，CN =AN ，∠∠C =∠CAN ，∠B =∠BAM ，∠∠AMN =2∠B ，∠ANM =2∠C∠∠B =∠C∠∠AMN=∠ANM，∠AM=AN∠∠AMN是等腰三角形（4）∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C，∠MAN=180°－2∠B－2∠C，∠当AM=AN时，∠B=∠C；∠当MN=AN时，得2∠B+∠C=90°；∠当MN=AM时，得∠B+2∠C=90°．9.（2020·长沙月考）点P是边长为3cm的等边∠ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时问为t（s），连换AQ、CP交于点M，∠当t为何值时，∠PBQ是直角三角形？∠在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，∠当t为何值时，∠DCQ是等腰三角形？∠在点P，Q的运动过程中，请探究∠PCD和∠QCD的面积之间的数量关系．【答案】（1）∠t=1或2；∠不发生变化，∠CMQ=60°；（2）∠t=1；∠面积相等【解析】解：（1）∠当∠PBQ是直角三角形时，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t∠PQB =90°，此时BP=2BQ∠根据题意，得3-t=2t解得t=1∠当∠BPQ=90°时，此时BQ=2BP∠根据题意，得t=2(3-t)解得：t=2∠当t=1或2时，∠PBQ是直角三角形；∠不发生变化，∠CMQ=60°在∠ABQ与∠CAP中，AP BQAPQ CAP AB CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABQ∠∠CAP∠∠BAQ=∠ACP∠∠MAC+∠MCA=∠MAC+∠BAQ =∠CAP=60°∠∠CMQ=∠MAC+∠MCA∠∠CMQ=∠CAP=60°故不发生变化，∠CMQ=60°；（2）∠∠∠DCQ=120°，当∠DCQ是等腰三角形时，CD=CQ ∠∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∠∠A=60°∠∠APD=90°∠AD=2AP，即AD=2t∠AC=AD+CD∠2t+t=3解得t=1故答案为t=1时，∠DCQ是等腰三角形；∠面积相等，如图所示：过P作PE∠AD于E，过Q作QG∠AD于G，则PE QG ∠∠G=∠AEP易证∠EAP∠∠GCQ∠PE=QG∠∠PCD和∠QCD同底等高∠∠PCD和∠QCD面积相等故答案为∠PCD和∠QCD面积相等．10.（2020·广东惠来期末）如图，在等边∠ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q 同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE∠AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，∠BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长．【答案】（1）2；（2）存在，t＝3；（3）3cm【解析】解：（1）∠∠ABC是等边三角形，∠∠B＝60°，∠当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∠6+t＝2（6﹣t），∠t＝2，∠t＝2时，∠BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：连接BF交AC于M．∠BF平分∠ABC，BA＝BC，∠BF∠AC，AM＝CM＝3cm，∠EF ∠BQ ，∠∠EFM ＝∠FBC ＝12∠ABC ＝30°， ∠EF ＝2EM ，∠t ＝2•（3﹣12t ）， 解得t ＝3．（3）过P 作PK //BC 交AC 于K ．∠∠ABC 是等边三角形，∠∠B ＝∠A ＝60°，∠PK ∠BC ，∠∠APK ＝∠B ＝60°，∠∠A ＝∠APK ＝∠AKP ＝60°，∠∠APK 是等边三角形，∠P A ＝PK ，∠PE ∠AK ，∠AE ＝EK ，∠AP ＝CQ ＝PK ，∠PKD ＝∠DCQ ，∠PDK ＝∠QDC ，∠∠PKD ∠∠QCD ，∠DK ＝DC ，∠DE ＝EK +DK ＝12（AK +CK ）＝12AC ＝3cm ． 11.（2019·哈尔滨市月考）如图，()(),6,00,4A B ，点B 关于x 轴的对称点为C 点，点D 在x 轴的负半轴上，∠ABD 的面积是30．（1）求点D坐标；（2）若动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为t秒，APC△的面积为S，求S与t的关系式.【答案】见解析．【解析】解:（1）由题意知，130 2AD BO⋅⋅=，∠AD=15，OD=9，∠点D坐标为（-9,0）；（2）∠点B(0,4)关于x轴的对称点为C点，∠点C坐标(0,-4)，∠当0<t≤8时，S=-3t+24，当t>8时，S=3t-2412.（2020·湖北襄州期末）已知等边∠ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．图1 图2（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．∠当t＝2时，求∠AQP的度数．∠当t为何值时∠PBQ是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解:（1）∠根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∠∠ABC是等边三角形，∠AQ∠BC，∠B＝60°，∠∠AQB＝90°，∠BPQ是等边三角形，∠∠BQP＝60°，∠∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；∠由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，当∠PQB＝90°时，∠∠B＝60°，∠PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝43；当∠BPQ＝90°时，∠∠B＝60°，∠BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝83；∠当t＝43秒或t＝83秒时，∠PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由如下：过点Q作QF∠AC，交AB于F，则∠BQF是等边三角形，∠BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，∠∠ABC为等边三角形，∠BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，∠∠QFP＝∠P AC＝120°，∠PQ＝PC，∠∠QCP＝∠PQC，∠∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，∠∠BPQ＝∠ACP，在∠PQF和∠CP A中，BPQ ACPQFP PAC PQ PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠PQF∠∠CP A，∠AP＝QF，∠AP＝BQ，∠BQ+CQ＝BC＝AC，∠AP+CQ＝AC．13.（2019·连云港市期中）如图，∠ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，∠AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN？（3）M、N同时运动几秒后，∠AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）当AM＝AN时，∠MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，∠AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN解得t＝48 5运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形∠AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形∠AMN ∠当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，∠∠A＝60°∠∠AMN＝30°∠AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∠t＝3；∠当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，∠∠A＝60°∠∠ANM＝30°∠2AM＝AN∠4t＝12﹣3t∠t＝127；∠当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，解得t＝10；∠当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，此时2t＝12+6解得t＝9；综上所述，点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，∠AMN为直角三角形．。