2012-13学年第二学期高数复习卷01

-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32 18 10 16 16 8本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；B ．(0)f 是()f x 的极小值；C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；D ．(0)f 是()f x 的极大值.3. 当x →∞时，若21ax bx c++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数；C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.4.设220()(),0x x f x x g x x ⎧>=≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在 0x =处（ D ）. A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导. 5. 设()f x 在0x 可导且01()2f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分）1.求极限0x →解：（方法一）200sin 12lim lim 11cos 2x x x xx x→→==-；（方法二）001lim 11cos x x x →→==-； （方法三）洛比达法则001sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x x x xx x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有1cos()()ln y xy y xy y x x-''+=+， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.3. 设3arctan 6x t t y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dy dy t dt t dx dx dt t +===+++； 22222()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241d y t dx ==.本页满分10分本页得分4. 求极限21)(cos lim x x x →. 解：（方法一）2211cos 1cos 100lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+- 20cos 11lim 2x x x e e →--==； （方法二）22222111sin 1222sin 2200lim(cos )lim (cos )lim(1sin )xx x x xx x x x x x e ---→→∞→==-=； （方法三）洛比达法则sin 2cos 220111ln(cos )lim 200lim(cos )lim x x x x x x x x x x e e e -→-→→===.四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，试求出a 与b .解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又000()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x++++→→→++-+-==+=+-，可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=，又 01(0)lim ax x e f a x--→-'==， 本页满分16分 本页得分2200200()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim 1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--， 故1,3a b =-=.2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率.解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于2211()33V R h r h x ππ=--， 又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h x r R h-=， 可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x hh πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dx h x dt dt hπ=-， 由已知条件25dV dt =，2h x =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s Rπ. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根.解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则 1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a =，列表如下： x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' + 0 — 本页满分16分本页得分()f x 最大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，讨论如下： （1） 当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，方程ln x ax =有唯一的实根； （2） 当10a e <<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又由于 00lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞； ln lim ()lim ()x x x f x x a x→+∞→+∞=-=-∞， 故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内； 当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，方程ln x ax =没有实根. 五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.本页满分8分本页2．证明：当0>x 时，x x x x <+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x xx <+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.（方法三）：利用函数的单调性. 得分。

北京理 工 大学珠海学院2012 ～ 2013学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 202340ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8）2.设 u = 223x xy y ++.则 2ux y∂∂∂ =分析：u x ∂∂ = 22x y +, 则2u x y∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y ∂∂12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ， 则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =- 则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Q x ∂=-∂，1Py∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此113018xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。

第十三章 极限名师检测题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.lim n→∞ ⎝⎛⎭⎫1＋13＋132＋…＋13n ＝( ) A.53 B.32 C ．2D ．不存在解析：lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋13＋132＋…＋13n ＝11－13＝32. 答案：B2．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |x (x ≠0)0 (x ＝0)给出下列命题其中正确的命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③④D ．③答案：A3.A ．1 B.12 C.13D ．0解析：据题意，不妨令a n ＝1n .答案：A4．已知函数y ＝f (x )是其定义域A 内的连续的奇函数，若x 0∈A 且f (x 0)＝M ，则lim x →－x 0f (x )等于( )A ．0B ．±MC ．MD ．－M解析：∵f (x )是奇函数，∴f (－x 0)＝－f (x 0)＝－M ， 又∵f (x )是定义域内的连续函数，答案：D5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜112，x ＝11，1＜x ＜2则f (x )的连续区间为( )A ．(0,2)B ．(0,1)答案：C6．设数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)，那么lim n →∞ (a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)的值为( )A.15 B ．－15C.45D.34解析：a n ＝5S n －3，a n ＋1＝5S n ＋1－3，得a n ＋1＝－14a n ，∴{a n }为等比数列，公比为q ＝－14，∴a 1，a 3，a 5…，a 2n －1是公比为q 2＝116的等比数列．又a 1＝5S 1－3＝34，∴原式＝a 11－q2＝341－116＝45. 答案：C7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎨⎧12，x ≥0－12，x ＜0则f (x )·g (x )在x ＝0处( )A ．不连续B ．连续C ．无法确定连续与否D ．以上都不正确解析：∵f (x )·g (x )＝⎩⎨⎧12，x ≥012，x ＜0f (x )·g (x )＝12在x ＝0处连续．答案：B8．如下图所示，设n ∈N *则函数f (x )＝lim x →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n－1x 2n ＋1 ·x 的图象大致是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (|x |<1)0 (|x |＝1)，x (|x |>1)所以A 项正确．答案：A9．设3π4<θ<5π4，则lim n →∞ sin n θ－cos n ＋1θsin n θ＋cos n θ的值是( ) A ．－cos θ B.1－cos θ1＋cos θ C ．1D ．－1解析：∵3π4<θ<5π4，∴|cos θ|>|sin θ|，∴|sin θcos θ|<1. ∴lim n →∞ sin nθ－cos n ＋1θsin n θ＋cos nθ ＝lim x →∞ ⎝⎛⎭⎫sin θcos θn －cos θ⎝⎛⎭⎫sin θcos θn ＋1＝－cos θ.答案：A10．当m <0，n >0时，lim x →0 m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n的值为( )A ．－mnB ．0C ．1 D.nm解析：lim x →0 m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n＝|m |＋m |n |＋n ＝－m ＋mn ＋n＝0. 答案：B11．已知f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则lim x →32x －3f (x )x －3的值为( ) A ．－4 B ．8 C ．0 D ．不存在解析：lim x →32x －3f (x )x －3＝lim x →3f (3)x －3f (3)－3f (x )＋3f (3)x －3＝lim x →3f (3)(x －3)－3[f (x )－f (3)]x －3＝lim x →3[f (3)－3·f (x )－f (3)x －3 ] ＝f (3)－3lim x →3f (x )－f (3)x －3＝f (3)－3f ′(3)＝2－3×(－2)＝8. 答案：B12．已知{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列，p n ＝a 1＋a 2C n 1＋a 3C n 2＋…＋a n ＋1C n n (n ∈N *，n >2)，Q n ＝C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＋C n m (其中m ＝2[n2 ]，[t ]表示t 的最大整数，例如[2.5]＝2)．如果数列{P nQ n}有极限，那么公比q 的取值范围是( )A ．－1＜q ≤1且q ≠0B ．－1＜q ＜1且q ≠0C ．－3＜q ≤1且q ≠0D ．－3＜q ＜1且q ≠0 解析：∵P n ＝1＋C n 1q 1＋C n 2q 2＋…＋C n n q n ＝(1＋q )n . 当n 为偶数时，Q n ＝C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＋C n n ＝2n －1.当n 为奇数时，Q n ＝C n 0＋C n 2＋…＋C n n －1＝2n －1.∴Q n ＝2n －1，∴P n Q n ＝(1＋q )n 2n －1 ＝2·⎝⎛⎭⎫1＋q 2n .∵P nQ n 有极限，∴－1<1＋q 2≤1，－3＜q ≤1. 又∵q ≠0，∴－3＜q ≤1且q ≠0. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13.lim n→∞(1＋a )n ＋1n ＋a＝2，则a ＝________.解析：lim n →∞ (1＋a )n ＋1n ＋a＝lim n →∞ 1＋a ＋1n 1＋a n ＝1＋a ＝2，∴a ＝1. 答案：114.解析：原式＝x 3(2x ＋1)－x 2·2x 22x 2(2x ＋1)＝x 34x 3＋2x 2＝14＋2x ＝14. 答案：1415．已知xf (3x )＝2，则f (2x )x ＝________. 解析：∵ xf (3x )＝2，∴3xf (3x )＝6， ∴2xf (2x )＝6，即f (2x )2x ＝16， ∴f (2x )x＝2f (2x )2x ＝13. 答案：1316．以下五个命题： ①f (x )＝1x在[0,1]连续；②若f (x )是(a ，b )内的连续函数，则f (x )在(a ，b )内有最大值和最小值；③lim x→∞x1＋x 2 ＝lim x →∞11x 2＋1 ＝1；⑤若f (x )＝⎩⎨⎧x (x ≥0)x ＋1 (x <0)则lim x→0f (x )＝0. 其中，正确命题的序号是______(请把你认为正确的命题的序号都填上)． 解析：①f (x )在x ＝0处不连续．②f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )在[a ，b ]上有最值，而在(a ，b )内不一定有最值． ③lim x→＋∞x1＋x 2 ＝lim x →＋∞ 11x 2＋1 ＝1. 而lim x→－∞x1＋x 2＝lim x →－∞－11x 2＋1＝－1 故极限不存在．⑤因为lim x →0－f (x )＝1，而lim x →0＋f (x )＝0，故lim x →f (x )不存在，故正确的为④. 答案：④三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求lim x →31＋mx －1x的值． 解析：原式＝lim x →(31＋mx －1)[3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1]x [3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1]＝lim x →(1＋mx )－1x [3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1]＝lim x →m3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1＝m 1＋1＋1＝m3.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，且有lim n→∞ ⎝⎛⎭⎫a 12＋q－q n ＝14，求首项a 1的取值范围． 解析：∵lim n →∞⎝⎛⎭⎫a 12＋q －q n ＝14，∴0<|q |<1或q ＝1. 当0<|q |<1时，即有0<|4a 1－2|<1. 解之得14<a 1<34且a 1≠12；当q ＝1时，lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫a 13－1＝14，即a 13－1＝14，得a 1＝154. 故a 1的取值范围为14<a 1<34且a 1≠12或a 1＝154.19．(本小题满分12分)已知等差数列前三项是a 、4、3a ，前n 项和为S n ，S k ＝2 550. (1)求a 及k 的值；(2)求lim n→∞ ⎝⎛⎭⎫1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解析：(1)设该数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， S k ＝2 550，由已知a ＋3a ＝2×4， ∴a 1＝a ＝2，公差d ＝a 2－a 1＝4－2＝2， 由S k ＝ka 1＋k (k －1)d2，得k 2＋k －2 550＝0，得k ＝50或k ＝－51(舍)． ∴a ＝2，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，得S n ＝n (n ＋1)．∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∴lim n→∞ ⎝⎛⎭⎫1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝lim n→∞ ⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝1. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )在区间[－2,0]上的部分区域上的解析式为f (x )＝1x ＋1－3x 3＋1，欲使该函数在这一区间上处处连续，应给出该函数在该区间上某些点处的补充定义，请你给出这一定义．解析：显然除x ＝－1处，已知函数在区间[－2,0]上处处有意义，且每一点x 0(－2≤x 0<－1或－1<x 0≤0)处的极限值都与该点处的函数值相等，此即表明除x ＝－1处以外，函数f (x )处处连续，故只需给出在x ＝－1处的函数的定义，并使得在该点处的函数也连续，则该函数在这一区间上处处连续．∵当x ≠－1时，f (x )＝1x ＋1－3x 3＋1＝x 2－x ＋1－3x 3＋1＝(x ＋1)(x －2)(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x －2x 2－x ＋1，∴lim x→－1f (x )＝lim x→－1x －2x 2－x ＋1＝－1－21－(－1)＋1＝－1故只需补充定义f (－1)＝－1，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3x 3＋1，(x ∈[－2，0]且x ≠－1)，－1，(x ＝－1).21．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＋a 22＋a 33＋…＋a nn ＝a 2n －1，{a n }的前n 项和为S n (a >0且a ≠1，n ∈N *)．(1)求{a n }的通项； (2)求lim n→∞S n(a 2n－1)n.解析：(1)∵a 1＋a 22＋…＋a nn ＝a 2n －1①当n ≥2时，a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝a 2(n －1)－1②由①－②得a n n ＝a 2n －2(a 2－1)，∴a n ＝na 2n －2(a 2－1)(n ≥2)，当n ＝1时，由题意得a 1＝a 2－1， ∴a n ＝na 2n －2(a 2－1)(n ∈N *)．(2)∵S n ＝(a 2－1)[1＋2a 2＋3(a 2)2＋4(a 2)3＋…＋(n －1)·(a 2)n －2＋n (a 2)n －1]③∴a 2S n ＝(a 2－1)[a 2＋2(a 2)2＋3(a 2)3＋…＋(n －1)·(a 2)n －1＋n (a 2)n ]④③－④得(1－a 2)S n ＝(a 2－1)[1＋a 2＋(a 2)2＋…＋(a 2)n －1－n (a 2)n ]，∵a >0且a ≠1，∴a 2－1≠0，∴S n ＝－[1＋a 2＋(a 2)2＋…＋(a 2)n －1－n (a 2)n ]＝－1－a 2n 1－a2＋na 2n ∴lim n →∞ S n (a 2n －1)n ＝lim n →∞[1n (1－a 2)＋a 2n a 2n－1] ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (a 2<1)1 (a 2>1).22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)求lim n→∞S n . 解析：(1)由a 2＝13＋a 22·3，得a 2＝13·5，由a 1＝13，a 2＝13·5＝115，a 3＝13＋13·5＋a 33·5，得a 3＝15·7＝135.(2)猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)，下面用数学归纳法证明 ①显然n ＝1时，猜想成立．②若n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，当n ＝k ＋1时 由a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，即S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1 同时，S k ＝k (2k －1)a k ＝k2k ＋1，两式相减：a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1∴[(k ＋1)(2k ＋1)－1]a k ＋1＝k 2k ＋1即k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1∴a k ＋1＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1]即当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知对一切自然数n 猜想成立． (3)lim n→∞S n ＝lim n→∞[11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n －1)·(2n ＋1)] ＝lim n →∞ 12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋⎦⎤…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝lim n →∞12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝12.。

第十三章选修2第三讲时间：60分钟 满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·某某市高中毕业班第一次诊断性检测题)“函数f (x )在点x ＝x 0处有定义”是“函数f (x )在点x ＝x 0处连续”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：由“f (x )在点x ＝x 0处有定义”不能得出“f (x )在点x ＝x 0处连续”；由“f (x )在点x ＝x 0处连续”必有“f (x )在点x ＝x 0处有定义”．因此，“f (x )在点x ＝x 0处有定义”是“f (x )在点x ＝x 0处连续”的必要而不充分条件，故选B.2．下列四个极限运算中，正确的是( )A.lim x →0|x |x ＝1B.lim x →1x 2－12(x －1)＝1 C.lim x →－1|x |－1x －1＝1 D.lim x →0|x |x＝1 答案：B解析：A 错．因为lim x →0－|x |x ＝－1，lim x →0＋|x |x ＝1，所以lim x →0|x |x≠1； B 正确.lim x →1x 2－12(x －1)＝lim x →1x ＋12＝1； C 错．由lim x →－1|x |－1x －1＝1－1－1－1＝0≠1； D 错．因lim x →0－|x |x无意义，lim x →0＋|x |x＝lim x →0＋x ＝0. 综上所述只有B 正确．总结评述：本题考查极限的性质及其相关运用．3.lim x →1x 2－3x ＋2x 2－1等于( ) A ．－12B.12C ．1 D ．0答案：A解析：lim x →1x 2－3x ＋2x 2－1＝lim x →1(x －2)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝lim x →1x －2x ＋1＝－12. 4.lim x →1 (1x 2－3x ＋2－2x 2－4x ＋3)等于( ) A ．－12 B.12 C ．－16 D.16答案：A解析：原式＝lim x →1－(x －1)(x －1)(x －2)(x －3)＝lim x →1－1(x －2)(x －3)＝－12.5．(2009·东北师大附中二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，x ＋a ，x ≥0.在点x ＝0处连续，则a的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：C解析：lim x →0－f (x )＝lim x →0－e x ＝1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋(x ＋a )＝a ，f (0)＝a ，要使f (x )在点x ＝0处连续，需lim x →0－f (x )＝lim x →0＋f (x )＝f (0)，∴a ＝1.6．若lim x →1 (a 1－x －b1－x2)＝1，则常数a ，b 的值为( )A ．a ＝－2，b ＝－4B ．a ＝2，b ＝－4C ．a ＝－2，b ＝4D ．a ＝2，b ＝4 答案：A解析：由lim x →1 (a 1－x －b 1－x 2)＝lim x →1a (1＋x )－b1－x2＝lim x →1ax ＋a －b 1－x 2，当x ＝1时，ax ＋a －b ＝0，b ＝2a ，代入得lim x →1a (x －1)1－x 2＝lim x →1－a 1＋x ＝－a2＝1， 则a ＝－2，b ＝－4，故选A.7．若li m x →1f (x －1)x －1＝1，则li m x →1x －1f (2－2x )＝( )A ．－1B ．1C ．－12D.12答案：C解析：∵li m x →1f (x －1)x －1＝1，∴li m x →1x －1f (2－2x )＝li m x →12－2x f (2－2x )×(－12)＝－12.8．(2009·某某某某三模)若li m x →1x 2＋Ax ＋Bx 2－1＝3，则直线Ax ＋By ＋C ＝0的倾斜角为( )A ．π－arctan 45B ．arctan 45C ．π－arctan 54D ．arctan 54答案：B解析：由于li m x →1x 2＋Ax ＋B x 2－1＝3，则1是x 2＋Ax ＋B ＝0的根，有1＋A ＋B ＝0，B ＝－A －1，代入原式得li m x →1x 2＋Ax ＋B x 2－1＝li m x →1x ＋1＋A x ＋1＝2＋A2，A ＝4，B ＝－5，则直线Ax ＋By ＋C ＝0的倾斜角为arctan 45，故选B.二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·)li m x →1x x －xx －1＝________.答案：12解析：原式＝li m x →1x (x －1)(x ＋1)(x －1)＝li m x →1x x ＋1＝12.10．已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处存在极限，且li m x →x ＋0f (x )＝a 2－2，li m x →x －0f (x )＝2a ＋1，则函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的极限是________．答案：－1或7解析：∵y ＝f (x )在x ＝x 0处存在极限，∴li m x →x ＋0f (x )＝li m x →x －0f (x )，即a 2－2＝2a ＋1.∴a ＝－1或a ＝3.∴li m x →x 0f (x )＝2a ＋1＝－1或7.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3(当x ≠0时)a (当x ＝0时)，在点x ＝0处连续，则lim n ∞an 2＋1a 2n 2＋n＝____________.答案：13解析：由题意该函数在x ＝0处连续，则a ＝3.所以lim n ∞3n 2＋19n 2＋n ＝lim n ∞3＋1n 29＋1n＝13. 总结评述：本题考查函数的连续、极限等知识，属容易题．12．常数a 、b 满足lim x －1ax 2＋5x ＋3x ＋1＝b ，则a ＋b ＝____________. 答案：3解析：由分析可知，ax 2＋5x ＋3中含有一次因式x ＋1，令ax 2＋5x ＋3＝(x ＋1)(mx ＋n )．即ax 2＋5x ＋3＝mx 2＋(m ＋n )x ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m m ＋n ＝5，n ＝3即a ＝2，此时lim x －1ax 2＋5x ＋3x ＋1＝lim x －12x 2＋5x ＋3x ＋1＝lim x －1(2x ＋3)(x ＋1)x ＋1＝lim x －1 (2x ＋3)＝1，∴b ＝1，∴a ＋b ＝3. 三、解答题(4×10＝40分) 13．求下列极限：(1)lim x →∞ (x 32x 2－1－x 22x ＋1)； (2)lim x →11－x1－3x ；(3)lim x →0[(1x ＋3)2－x (1x＋2)3]； (4)lim x →0sin 2x1－cos 3x. 解析：(1)lim x →∞ (x 32x 2－1－x 22x ＋1) ＝lim x →∞x 3(2x ＋1)－x 2(2x 2－1)(2x 2－1)(2x ＋1)＝lim x →∞x 3＋x 2(2x 2－1)(2x ＋1)＝lim x →∞1＋1x(2－1x 2)(2＋1x)＝lim x →∞(1＋1x)lim x →∞ (2－1x 2)lim x →∞(2＋1x)＝1＋0(2－0)×(2＋0)＝14.(2)原式＝lim x →1(1－x )(1＋x )(1＋3x ＋3x 2)(1－3x )(1＋3x ＋3x 2)(1＋x )＝lim x →1(1－x )(1＋3x ＋3x 2)(1－x )(1＋x ) ＝lim x →11＋3x ＋3x 21＋x ＝1＋1＋11＋1＝32. (3)原式＝lim x →0(1＋3x )2－(1＋2x )3x2＝lim x →01＋6x ＋9x 2－(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)x2＝lim x →0－3x 2－8x 3x2＝lim x →0(－3－8x )＝－3. (4)原式＝lim x →01－cos 2x (1－cos x )(1＋cos x ＋cos 2x ) ＝lim x →01＋cos x 1＋cos x ＋cos 2x ＝1＋11＋1＋1＝23. 14．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一个偶函数，且lim x →1f (x )＝0，lim x →－2f (x )＝－3，求出这一函数的最大值．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一个偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－bx ＋c .∴b ＝0.∴f (x )＝ax 2＋c .又lim x →1f (x )＝lim x →1 (ax 2＋c )＝a ＋c ＝0，lim x →－2f (x )＝lim x →－2(ax 2＋c )＝4a ＋c ＝－3， ∴a ＝－1，c ＝1.∴f (x )＝－x 2＋1. ∴f (x )max ＝f (0)＝1. ∴f (x )的最大值为1.15．(1)设lim x →＋∞f (x )＝A ，lim x →0＋f (1x)＝B ，比较A ，B 的大小；(2)已知lim x →0xf (3x )＝2，求lim x →0f (2x )x的值． 解析：(1)因为x →0＋时，1x→＋∞，又因为lim x →＋∞f (x )与lim x →0＋f (1x)均存在， 所以lim x →0＋f (1x )＝lim x →＋∞f (x )，所以A ＝B . (2)∵lim x →0xf (3x )＝2，故lim x →03xf (3x )＝6， 即lim x →0f (2x )2x ＝16，则lim x →0f (2x )x ＝lim x →02f (2x )2x ＝13. 16．讨论函数f (x )＝(lim x →∞1－x n1＋x n )·x (x ≥0)，在x ＝1与x ＝12处的连续性． 解析：(1)求f (x )的表达式：①当0≤x ＜1时，f (x )＝1－lim x →∞x n1＋lim x →∞x n ·x ＝1－01＋0·x ＝x ； ②当x ＞1时，f (x )＝[lim x →∞(1x )n－1(1x)n＋1]·x ＝0－10＋1·x ＝－x ； ③当x ＝1时，f (x )＝(lim x →∞1－1n1＋1n )·x ＝0. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ＜1，0， x ＝1，－x ， x ＞1.(2)讨论f (x )在x ＝1处的连续性：∵lim x →1－f (x )＝lim x →1－x ＝1， lim x →1＋f (x )＝lim x →1＋(－x )＝－1， ∴lim x →1f (x )不存在，f (x )在x ＝1处不连续． (3)讨论f (x )在x ＝12处的连续性：∵lim x →12－f (x )＝12＝f (12)，lim x →12＋f (x )＝lim x →12－f (x )＝12. ∴lim x →12－f (x )＝lim x →12＋f (x )＝f (12)． 故f (x )在x ＝12处连续．。