专题06 菱形的性质和判定
姓名:___________考号:___________分数:___________
(考试时间:100分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.下列命题中,正确的是().
A.两邻边相等的四边形是菱形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线垂直的四边形是菱形
【答案】B
【分析】
根据菱形的性质,对各个选项逐个分析,即可得到答案.
【解析】
两邻边相等的平行四边形是菱形,故选项A不符合题意;
一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形,故选项B符合题意;
对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形,故选项C不符合题意;
对角线垂直的平行四边形是菱形,故选项D不符合题意;
故选:B.
【点睛】
本题考查了命题、菱形的知识;解题的关键是熟练掌握菱形的性质,从而完成求解.
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E,F分别为AO,DO的中点,则线段EF的长为()
A.2.5 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出AD的长,再根据中位线定理即可求出EF的长.【解析】
解:因为在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=6,
∴AC⊥BD,AO=4,DO=3,
∴AD=2222
435
AO DO
+=+=,
∵点E,F分别为AO,DO的中点,
∴
1
2.5
2
==
EF AD;
故选:A.
【点睛】
本题考查的是菱形的性质和中位线的性质,注意到菱形的对角线互相垂直平分是解决本题的关键.3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=6,则BC的长为().
A.3 B.2C.3D.32 2
【答案】C
【分析】
根据菱形AECF,得∠FCO=∠ECO,再利用∠ECO=∠ECB,可通过折叠的性质,结合直角三角形勾股定理求解.
【解析】
解:∵菱形AECF,AB=6,
设BE=x,则AE=CE=6-x,
∵菱形AECF,∴∠FCO=∠ECO,
∵∠ECO=∠ECB,
∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°,
∴2BE=CE,即CE=2x,
∴2x=6-x,
解得:x=2,
∴CE=4,又EB=2,
则利用勾股定理得:23
BC ,
故选:C.
【点睛】
此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.
4.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,M为AD中点,P为对角线BD上一动点,连接PA和PM,则PA+PM的最小值是( )
A.3 B.23C.33D.6
【答案】C
【分析】
首先连接AC,交BD于点O,连接CM,则CM与BD交于点P,此时PA+PM的值最小,由在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,易得△ACD是等边三角形,BD垂直平分AC,继而可得CM⊥AD,则可求得CM的值,继而求得PA+PM的最小值.
【解析】
解:连接AC,交BD于点O,连接CM,则CM与BD交于点P,此时PA+PM的值最小,
∵在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,
∴∠ADC=∠ABC=60°,AD=CD=6,BD垂直平分AC,
∴△ACD是等边三角形,PA=PC,
∵M为AD中点,
∴DM=1
2
AD=3,CM⊥AD,
∴CM=22CD DM -=33,
∴PA+PM=PC+PM=CM=33.
故选C .
【点睛】
此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质.注意准确找到点P 的位置是解此题的关键.
5.如图在平面直角坐标系xOy 中若菱形ABCD 的顶点,A B 的坐标分别为(6,0),(4,0)-,点D 在y 轴上,则点C 的坐标是( )
A .(6,8)
B .(10,8)
C .(10,6)
D .(4,6)
【答案】B
【分析】 首先根据菱形的性质求出AB 的长度,再利用勾股定理求出DO 的长度,进而得到点C 的坐标.
【解析】
∵菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-6,0)、(4,0),点D 在y 轴上,
∴AB=AO+OB=6+4=10,
∴AD=AB=CD=10,
∴22221068DO AD AO =-=-=,
∴点C 的坐标是:(10,8).
故选:B .
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,解题的关键是利用勾股定理求出DO 的长度. 6.如图,ABCD 中,AC 平分BAD ∠,若2,3AC AB ==ABCD 的面积为( )
A .2
B .22
C .42
D .82
【答案】B
【分析】 连接BD 交AC 于点O ,首先证明四边形ABCD 为菱形,然后求出BD 的长,最后根据菱形的面积公式解答.
【解析】
解:如图,连接BD 交AC 于点O ,
在ABCD 中,//AD BC ,
,DAC ACB ∴∠=∠
AC 平分BAD ∠,
DAC BAC ∴∠=∠,
BAC BCA ∴∠=∠,
AB BC ∴=,
∴四边形ABCD 为菱形,
11,2122
AC BD OA AC ∴⊥==⨯=, 22312OB AB OA ∴=-=-222BD OB ==,
ABCD ∴的面积为:112222222
ABCD S AC BD =•=⨯⨯=
故选B .
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理等知识,解题的关键是证得四边形ABCD 为菱形.
7.如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,过点C 作CE ⊥AD 于点E ,连接OE ,若OB =6,S 菱形ABCD =60,则OE 的长为( )
A .23
B .5
C .5
D .6
【答案】C
【分析】 先根据菱形的性质、面积公式可得AC 的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得.
【解析】
四边形ABCD 是菱形,6OB =,
212BD OB ∴==,OA OC =,162
ABCD BD AC S AC =⋅=菱形, 60ABCD S =菱形,
660AC ∴=,
解得10AC =,
又OA OC =,CE AD ⊥,
OE ∴是Rt ACE △斜边AC 上的中线,
1110522
OE AC ∴==⨯=, 故选:C .
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,熟练掌握菱形的性质是解题关键.
8.如图,在菱形ABCD 中,E F ,分别是BC CD ,的中点,设ABCD S S =四边形,1AEF S S ∆=,则( )
A .112S S =
B .112S S <
C .112S S >
D .152S S = 【答案】B
【分析】
利用三角形的中线得到12AECF S S =
四边形,判断出A 、C 错误,B 符合题意,利用三角形中位线定理求得CEF 18
S S =,通过计算得到183S S =,即可得到正确的答案. 【解析】
连接BD 、AC ,
∵E ,F 分别是BC ,CD 的中点, ∴ABE ABC ADF ACD 1122S S S S ==
,, ∴A CD 1122AECF B S S S ==四边形菱形, ∵AEF AECF S S <四边形,即112S S <,故A 、C 错误,B 符合题意; ∵E ,F 分别是BC ,CD 的中点,
∴EF=
12BD ,EF ∥BD , ∴CEF CBD A CD 111488
B S S S S ===菱形,
∴1AEF CEF 113288
AECF S S S S S S S ==-=-=四边形, 即183S S =,故D 错误,
故选:B .
【点睛】
本题考查了菱形的性质,三角形中线有关的面积计算,三角形中位线与三角形的面积,熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键.
9.如图,在▱ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ,以A 为圆心,AB 为半径的弧交AD 于点F ,连接EF .若BF =6,AB =5,则四边形ABEF 面积是( )
A .12
B .24
C .36
D .48
【答案】B
【分析】 根据题意AB =AF ,利用角平分线和平行证明BA =BE ,用一组对边平行且相等证明四边形ABEF 为平行四边形,再用邻边相等证明它是菱形,最后用菱形面积公式计算面积.
【解析】
记AE 与BF 相交于O 点,如图,
由作法得AB =AF =10,AE 平分∠BAD ,
∴∠BAE =∠DAE ,
∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴AD ∥BC ,
∴∠DAE =∠BEA ,
∴∠BAE =∠BEA ,
∴BA =BE ,
∴AF =BE ,
∵AF ∥BE ,
∴四边形ABEF 为平行四边形,
∵AB=AF,
∴四边形ABEF为菱形,
∴OA=OE,OB=OF=1
2
BF=3,AE⊥BF,
在Rt△AOB中,OA22
534
=-=,∴AE=2AO=8,
∴四边形ABEF面积
11
6824 22
AE BF
=⋅=⨯⨯=.
故选:B.
【点睛】
本题考查角平分线的性质,菱形的判定和面积求解,解题的关键是根据题目中的角平分线和平行的条件能够证明等腰三角形,再根据菱形的判定和面积公式求四边形面积.
10.如图,在菱形ABCD中,AE是菱形的高,若对角线AC、BD的长分别是6、8,则AE的长是()
A.17
4
B.
24
5
C.
16
3
D.5
【答案】B
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD,BO=DO=4,CO=AO=3,由勾股定理可求CB=5,由菱形的面积公式可求AE的长.
【解析】
解:四边形ABCD是菱形
AC BD
∴⊥,4
BO DO
==,3
CO AO
==
225BC BO CO ∴=+=
12
ABCD S AC BD BC AE =⨯⨯=⨯菱形 245AE ∴=
245
AE ∴= 故选B .
【点睛】
本题菱形的性质,熟练运用菱形的面积公式是本题的关键.
11.如图,菱形ABCD 的边长为13,对角线AC 的长为24,延长AB 至E ,BF 平分CBE ∠,点G 是BF 上任意一点,则ACG 的面积为( )
A .30
B .60
C .90
D .120
【答案】B
【分析】 连接BD 交AC 于点O ,根据菱形的性质可得BD 与AC 互相垂直平分,再根据AC 平分∠DAB ,BF 平分∠CBE ,可以证明AC ∥FB ,根据平行线间的距离处处相等可得S △CBG =S △ABG ,进而可得S △ACG =S △ABC .
【解析】
解:如图,连接BD 交AC 于点O ,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴BD 与AC 互相垂直平分,
∴OA=OC=12,
∴OB=OD=22
1312
=5,∵DA∥CB,
∴∠DAB=∠CBE,
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAB=1
2
∠DAB,
∵BF平分∠CBE,
∴∠FBE=1
2
∠CBE,
∴∠CAB=∠FBE,∴AC∥FB,
∴S△CBG=S△ABG,
∴S△ACG=S△ABC=1
2
×AC•OB=
1
2
×24×5=60,
则△ACG的面积为60.
故选:B.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角形的面积,解决本题的关键是掌握菱形的性质.
12.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起,AB=AF,AE=BC.若AB=1,BC=3,则图中重叠(阴影)部分的面积为().
A.2 B3C.5
3
D.
4
3
【答案】C
【分析】
证得四边形AGCH是平行四边形,由△ABG≌△CEG(AAS),证得四边形AGCH是菱形,设AG=CG=x,则BG=BC-CG=3-x,在Rt△ABG中,由勾股定理得出方程,解方程求得CG的长,即可求出菱形AGCH的面积.
【解析】
设BC 交AE 于G ,AD 交CF 于H ,如图所示:
∵四边形ABCD 、四边形AECF 是全等的矩形,
∴AB=CE ,∠B=∠E=90°,AD ∥BC ,AE ∥CF ,
∴四边形AGCH 是平行四边形,
在△ABG 和△CEG 中,
AGB CGE B E
AB CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABG ≌△CEG (AAS ),
∴AG=CG ,
∴四边形AGCH 是菱形,
设AG=CG=x ,则BG=BC-CG=3-x ,
在Rt △ABG 中,由勾股定理得:12+(3-x)2=x 2,
解得:x=
53, ∴CG=53
, ∴菱形AGCH 的面积=CG ⋅AB=55133⨯=
, 即图中重叠(阴影)部分的面积为
53
. 故选:C . 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.菱形的周长为12cm ,一个内角等于120︒,则这个菱形的面积为_________2cm . 932
【分析】
作AE ⊥BC 于E ,由直角三角形的性质求出菱形的高AE ,再运用菱形面积公式=底×高计算即可.
【解析】
解:作AE⊥BC于E,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,周长为12cm,∠BCD=120°,∴AB=BC=3cm,∠B=60°,
∵AE⊥BC,
∴∠BAE=30°,
∴BE=1
2
AB=
3
2
cm,AE=3BE=
3
3
2
cm,
∴菱形的面积=BC•AE=3×3
3
2
9
3
2
cm2);
9
3
2
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识;熟练掌握菱形的性质,求出菱形的高是解决问题的关键.
14.己知菱形ABCD的边长是3,点E在直线AD上,DE=1,联结BE与对角线AC相交于点M,
则AM
MC
的值是______.
【答案】2
3
或
4
3
【分析】
首先根据题意作图,注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上,然后由菱形的性质可得AD∥BC,则可证得△MAE∽△MCB,根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案.
【解析】
解:∵菱形ABCD的边长是3,
∴AD=BC=3,AD∥BC,
如图①:当E在线段AD上时,
∴AE=AD-DE=3-1=2,
∴△MAE∽△MCB,
∴
2
3 MA AE
MC BC
==;
如图②,当E在AD的延长线上时,∴AE=AD+DE=3+1=4,
∴△MAE∽△MCB,
∴
4
3 MA AE
MC BC
==.
∴MA
MC
的值是
2
3
或
4
3
.
故答案为2
3
或
4
3
.
【点睛】
此题考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质等知识.解题的关键是注意此题分为E在线段AD 上与E在AD的延长线上两种情况,小心不要漏解.
15.如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G,则EG =____.
【答案】10;
【分析】
连接菱形的另一条对角线,利用菱形性质特征和勾股定理可求BD长;利用三角形中位线定理可得EF长;在利用三角形全等可证EF GF
=即可得解.
【解析】
连接BD 交AC 与点O ,
在菱形ABCD 中 ∵111222AC BD OC OA AC OD OB BD ⊥==
===,,, 在RT DOC △中 222213125OD DC OC =-=-=,
∴10BD =,
∵点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点,
∴152
EF BD ==, ∵//AB CD ,
∴BGF CEF GBF ECF ∠=∠∠=∠,,
又∵CF BF =,
∴BGF CEF ≅△△,
∴5EF GF ==,
∴10EG =.
故答案为:10.
【点睛】
本题主要考查菱形的性质特征、三角形的中位线定理、平行线性质、勾股定理以及全等三角形等.中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.运用三角形中位线定理求线段长的方法:当题中有中点,特别是一个三角形中出现两边中点时,我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题,首先证明出它是三角形的中位线,然后利用中位线构造线段这间的关系,并由此建立待求线段与已知线段的联系,从而求出线段的长.
16.在数学必修拓展课上,小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ,如图所示,若∠ACB =90°,AC =3cm ,BC =4cm ,则折痕EF 的长为______.
【答案】354
【分析】
过点D 作DH ⊥AB 于 H ,连结AD 、EF ,设CD=x ,则DH=x ,BD=4−x ,由勾股定理求得x 的值,设CF=y ,则 AF=3−y=FD ,由勾股定理求得y 的值,由菱形的性质得AD 与EF 垂直平分,进而求得EF 的长.
【解析】
解:如图,过点D 作DH ⊥AB 于 H ,连结AD 、EF ,
∵菱形AFDE ,∴AD 平分∠BAC ,
∵∠ACB=90°,∴CD=DH ,∴AH=AC=3,
设CD=x ,则DH=x ,BD=4−x ,
∵2222345AC BC +=+=,∴HB=5−3=2,
在Rt △DBH 中,()22222242BD DH BH x x =+-=+,,
∴x=1.5,即CD=1.5,
设CF=y ,则AF=3−y=FD ,
在Rt △CDF 中,()222222321.534
CF CD FD y y y +=+=-=,,, 即CF=324,∴AF=3−324
, 在Rt △ACD 中,2222363 1.5AC CD +=+=, ∴AO=136362=,
由菱形的性质得AD 垂直平分EF ,OF=22223236353448AF AO ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,∴EF=2OF= 3535284
⨯=, 故答案为35. 【点睛】
本题考查菱形的性质,勾股定理,角平分线的性质.
17.如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC ,BD 相交于点O ,DH AB ⊥于点H ,连接OH ,若20DHO ∠=︒,则HDB ∠的度数是______.
【答案】20︒
【分析】
先根据菱形的性质得OD =OB ,而DH ⊥AB ,所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线,得到OH =OD ,利用等腰三角形的性质得∠HDB =∠DHO .
【解析】
∵四边形ABCD 是菱形,
∴OD =OB ,
∵DH ⊥AB ,
∴∠DHB =90°,
∴OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线,
∴OH =OD ,
∴∠HDB =∠DHO =20°,
故填:20°.
【点睛】
本题考查菱形的性质,直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
18.已知:如图,点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点,点M 是AB 边的中点,且60BAD ∠=︒,则MP PB +的最小值是_______.
【答案】3 【分析】 找出B 点关于AC 的对称点D ,连接DM ,则DM 就是PM+PB 的最小值,求出即可.
【解析】
解:连接DE 交AC 于P ,连接BD ,BP ,由菱形的对角线互相垂直平分,可得B 、D 关于AC 对称,则PD=PB ,
∴PE+PB=PE+PD=DE ,
即DM 就是PM+PB 的最小值,
∵∠BAD=60°,AD=AB ,
∴△ABD 是等边三角形,
∵AE=BE ,
∴DE ⊥AB (等腰三角形三线合一的性质)
在Rt △ADE 中,DM=22AD AM -=2221=3-.
故PM+PB 的最小值为3.
故答案为:3.
三、解答题(本大题共6小题,共66分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O .过点B 作AC 的平行线,过点C 作BD
的平行线,两线相交于点P .
(1)求证:四边形OBPC 是菱形.
(2)已知3AB =,5BC =,求四边形OBPC 的面积.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)152OBPC S =
四边形 【分析】
(1)根据平行四边形的判定证得四边形OBPC 是平行四边形,再根据矩形的性质可知OB=OC ,然后根据菱形的判定即可证得结论;
(2)根据菱形的性质和三角形的中线将三角形面积平分可证得四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积,利用直角三角形的面积公式即可解答.
【解析】
(1)∵//BP OC ,//CP OB ,
∴四边形OBPC 是平行四边形,
在矩形ABCD 中,AC BD =,且AC 与BD 互相平分,
∴OB OC =,
∴'平行四边形OBPC 是菱形.
(2)∵四边形OBPC 是菱形,
∴OBC BCP S S =△△,
又∵AO OC =,
∴AOB BOC S S =△△,
∴OBC BCP AOB S S S ==△△△,
∴四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积, ∴11522
ABC S AB BC =
⋅=△, ∴152OBPC S =四边形. 【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形的中线与面积关系、三角形的面积公式,属于基础题型,难度适中,解答的关键是熟练掌握菱形的判定与性质的应用.20.如图,菱形ABCD中,作BE⊥AD、CF⊥AB,分别交AD、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:AE=BF;
(2)若点E恰好是AD的中点,AB=2,求BD的值.
【答案】(1)见解析;(2)BD=2
【分析】
(1)根据菱形的性质和平行线的性质得到AB=BC,∠A=∠CBF,结合垂直的性质得到
△AEB≌△BFC,根据三角形全等的性质即可证明;
(2)首先证明BE是AD的垂直平分线,然后根据垂直平分线的性质即可求解.
【解析】
(1)证明:四边形ABCD是菱形
∴AB=BC,AD∥BC
∴∠A=∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB=∠BFC=90°
∴△AEB≌△BFC(AAS)
∴AE=BF
(2)∵E是AD中点,且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD=AB=2
【点睛】
本题考查了菱形的性质,三角形全等的证明,垂直平分线的性质,关键是要利用好菱形的性质求解.
,连接CE.
21.如图,在菱形ABCD中,E为对角线BD上一点,且AE DE
《菱形的性质与判定》典型例题 例1 如图,在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且a AB AB DE =⊥,,求: (1)ABC ∠的度数;(2)对角线AC 的长;(3)菱形ABCD 的面积. 例2 已知:如图,在菱形ABCD 中,AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F . 求证:.AF AE = 例 3 已知:如图,菱形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 上的一点,︒=∠=∠60EAF D ,︒=∠18BAE ,求CEF ∠的度数. 例4 如图,已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形,且DF AD =. 求证:GH 垂直平分CF .
例 5 如图,A B CD 中,AB AD 2=,E 、F 在直线CD 上,且 CF CD DE ==. 求证:AF BE ⊥. 例6 如图,在Rt △ABC 中, 90=∠ACB ,E 为AB 的中点,四边形BCDE 是平行四边形. 求证:AC 与DE 互相垂直平分
参考答案 例1 分析 (1)由E 为AB 的中点,AB DE ⊥,可知DE 是AB 的垂直平分线,从而DB AD =,且AB AD =,则ABD ∆是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出.(2)而OC AO BD AC =⊥,,利用勾股定理可以求出AC .(3)由菱形的对角线互相垂直,可知.2 1BD AC S ⋅= 解 (1)连结BD ,∵四边形ABCD 是菱形,∴.AB AD = E 是AB 的中点,且AB DE ⊥,∴.DB AD = ∴ABD ∆是等边三角形,∴DBC ∆也是等边三角形. ∴.120260︒=⨯︒=∠ABC (2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC 与BD 互相垂直平分, ∴.2 12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2 3)21(2222=-=-=,∴.32a AO AC == (3)菱形ABCD 的面积.2 3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明:本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形,这个菱形有许多特点,通过解题应该逐步认识这些特点. 例2 分析 要证明AF AE =,可以先证明DF BE =,而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆,从而可以证得本题的结论. 证明 ∵四边形ABCD 是菱形,∴D B CD BC ∠=∠=,,且︒=∠=∠90DFC BEC ,∴DCF BCE ∆≅∆,∴DF BE =, AD AB = , ∴DF AD BE AB -=-, ∴.AF AE = 例3 解答:连结AC . ∵四边形ABCD 为菱形, ∴︒=∠=∠60D B ,AD CD BC AB ===.
菱形的性质与判定 一 、填空题(本大题共6小题) 1.如图,在菱形ABCD 中,60A ∠=︒,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若2EF =, 则菱形ABCD 的边长是 . 2.如图,如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你 添加的条件是 . 3.如图2,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 16cm AB BC ==,则 1∠= 度. 4.已知菱形的一个内角为60︒,一条对角线的长为23,则另一条对角线的长为 ________. 5.菱形的周长为20cm ,两邻角度数之比为2:1,则菱形较短的对角线的长度为 6.已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ,的乘积等于菱形的一条边长的平方, 则菱形的一个钝角的大小是 二 、解答题(本大题共7小题) D C A B 图2 1 C B A E F D B C A
7.如图,ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形.已知AB AC =. ⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应 的条件. ⑵ 当BAC ∠为 度时,四边形ADFE 为正方形. 8.如图,在梯形纸片ABCD 中,//AD BC ,AD CD >,将纸片沿过点D 的直线折 叠,使点C 落在AD 上的点C 处,折痕DE 交BC 于点E ,连结C E '.求证:四边形CDC E '是菱形. 9.如图,在四边形ABCD 中,E 为AB 上一点,ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形,AB 、 BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ,证明四边形PQMN 为平行四 边形且PQ PN =. 10.已知,菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且60B EAF ∠=∠=︒, 18BAE ∠=︒.求:CEF ∠的度数. F E D C B A C' D C B A E Q E P N M D C B A
知识点 A 要求 B 要求 C要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定,会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关 问题 知识点睛 1.菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质, ?还具有自己独特的性质: ① 边的性质:对边平行且四边相等. ② 角的性质:邻角互补,对角相等. ③ 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角. ④ 对称性:菱形是中心对称图形,也是轴对称图形. 菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半. 点评:其实只要四边形的对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积的一半. 3.菱形的判定 判定 ①:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定 ②:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定 ③:四边相等的四边形是菱形. 重、难点 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先她是平行四边形,但它 是特殊的平行四边形,特殊之处就是 “有一组邻边相等 ”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边 形的判定 方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续,又是以后要学习的正方形 中考要求 菱形的性质 及判定
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形,所以它不但具有平行四边形的性质, 同时还具有自己独特 的性质。如果得到一个平行四边形是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线的条 件,在实际解题中, 应该应用哪些条件, 怎样应用这些条件, 常常让许多学生手足无措, 教师在教学过程 中 应给予足够重视。 例题精讲 板块一、菱形的性质 【例 1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是 例 2】 ⑴如图 2,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为 1 度. 的边长是 _______ 例3】 如图, E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点, EF AC 于 H ,交CB 的延长线于 F ,交 AB 于 P , 证明: AB 与 EF 互相平分. 例4】 ☆ 如图 1所示,菱形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 相交于点 O ,H 为 AD 边中点,菱形 ABCD 的 周长为 24 ,则 OH 的长等于 . 16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ,则 ⑵如图,在菱形 ABCD 中, A 60 , E 、 F 分别是 AB 、 C
菱形的性质和判定 一、选择题 1、如图,菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,P是AB上一点,BP=3,Q是CD边上一动点,将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′.当CA′的长度最小时,CQ的长为( ) A 。5 B 。7 C .8 D . 二、解答题 2、如图,菱形ABCD,对角线AC、BD交于点O,DE//AC,CE//BD, 求证:OE=BC 3、如图,将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置,AB与相交于点D,AC与、分别交于点E、F. (1)求证:△BCF≌△. (2)当∠C=α度时,判定四边形的形状并说明理由.
4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ,连结AF 、CE . (1)求证:四边形AFCE 是菱形; (2)若AB=3,AD=4,求菱形AFCE 的边长。 5、如图,CD 是△ABC 的中线,点E 是AF 的中点,CF∥AB. (1)求证:CF=AD ; (2)若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状,并说明理由. 6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处;再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠,使D 1点落在D 点处且BD 过F 点. (1)求证:四边形BEFG 是平行四边形; (2)当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形?试说明理由.
菱形的性质和判定的答案和解析 一、选择题 1、答案: B 试题分析: 作CH⊥AB于H,如图,根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4, AH=BH=4,再利用勾股定理计算出CP=7,再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心,PA为半径的弧上,利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时,CA′的值最小,然后证明CQ=CP即可。 解:作CH⊥AB于H,如图, ∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°, ∴△ABC为等边三角形, ∴CH=AB=4,AH=BH=4, ∵PB=3, ∴HP=1, 在Rt△CHP中,CP= =7, ∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′, ∴点A′在以P点为圆心,PA为半径的弧上, ∴当点A′在PC上时,CA′的值最小, ∴∠APQ=∠CPQ, 而CD∥AB, ∴∠APQ=∠CQP, ∴∠CQP=∠CPQ, ∴CQ=CP=7. 故选:B.
中考数学专题复习:菱形的性质与判定 一、选择题 1.下列命题中错误的是( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直 C.同旁内角互补 D.矩形的对角线相等 2.平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 3.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为( ) A.28° B.52° C.62° D.72° 4.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( ) A.10 B.8 C.6 D.5 5.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,连接DF,且∠CDF=24°,则∠DAB等于( ) A.100° B.104° C.105° D.110° 6.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2cm,E、F分别是BC、CD的中点,连结AE、EF、AF,则△AEF的周长为( )
A. B. C. D. 7.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛,如图中的阴影部分所示,校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示,并在新扩充的部分种上草坪,则扩建后菱形区域的周长为( ) A.20m B.25m C.30m D.35m 8.如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AB=1,E 为BC 的中点,则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为( ) A.43 B.33 C.2 3 D.21 二、填空题 9.如图,如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是_________. 10.如图,两个完全相同的三角尺ABC 和DEF 在直线l 上滑动.要使四边形CBFE 为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可). 11.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD 的高DH=________.
专题06 菱形的性质和判定 姓名:___________考号:___________分数:___________ (考试时间:100分钟满分:120分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.下列命题中,正确的是(). A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 【答案】B 【分析】 根据菱形的性质,对各个选项逐个分析,即可得到答案. 【解析】 两邻边相等的平行四边形是菱形,故选项A不符合题意; 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形,故选项B符合题意; 对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形,故选项C不符合题意; 对角线垂直的平行四边形是菱形,故选项D不符合题意; 故选:B. 【点睛】 本题考查了命题、菱形的知识;解题的关键是熟练掌握菱形的性质,从而完成求解. 2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E,F分别为AO,DO的中点,则线段EF的长为() A.2.5 B.3 C.4 D.5 【答案】A
【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分求出AD的长,再根据中位线定理即可求出EF的长.【解析】 解:因为在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=6, ∴AC⊥BD,AO=4,DO=3, ∴AD=2222 435 AO DO +=+=, ∵点E,F分别为AO,DO的中点, ∴ 1 2.5 2 == EF AD; 故选:A. 【点睛】 本题考查的是菱形的性质和中位线的性质,注意到菱形的对角线互相垂直平分是解决本题的关键.3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=6,则BC的长为(). A.3 B.2C.3D.32 2 【答案】C 【分析】 根据菱形AECF,得∠FCO=∠ECO,再利用∠ECO=∠ECB,可通过折叠的性质,结合直角三角形勾股定理求解. 【解析】 解:∵菱形AECF,AB=6, 设BE=x,则AE=CE=6-x, ∵菱形AECF,∴∠FCO=∠ECO, ∵∠ECO=∠ECB, ∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°, ∴2BE=CE,即CE=2x, ∴2x=6-x,
八年级下册---菱形的判定与性质 一、解答题(共25题;共125分) 1.(2020八下·察哈尔右翼前旗期末)如图,△ABC中,AB=AC,AD是的平分线,E为AD延长线上一点,CF//BE且交AD于F,连接BF、CE. 求证:四边形BECF是菱形. 2.(2020八下·大兴期末)如图,已知△ABC,D是AC的中点,DE⊥AC于点D ,交AB于点E,过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F,连接CE ,AF.求证:四边形AECF是菱形. 3.(2020八下·滨州月考)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD的垂直平分线EF与AD、BD、BC分别交于点E、O、F。 求证:四边形BFDE是菱形。 4.(2019八下·红河期末)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分别是E,F,并且BE=DF。 求证;四边形ABCD是菱形。 5.(2019八下·马鞍山期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F,连接CF,求证:四边形ADCF是菱形.
6.(2019八下·吴兴期末)如图,O是矩形ABCD的角对线的交点,作ED∥AC,CE∥BD,DE,CE相交于点E。求证:四边形OCED是菱形。 7.(2020七下·津南月考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC的垂直平分线交AD,BC于点E,F.求证:四边形AECF是菱形. 8.(2020八下·泉州期中)如图,AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC交于点E,DF∥AC交于AC于点F,求证:四边形AEDF是菱形. 9.(2020八下·新昌期末)如图,在中,点E,F分别是BC,AD上的点,且BE=DF,AE=AF. 求证:四边形AECF是菱形. 10.(2020八下·珠海期中)已知:如图,在⊿ABC中,AB=AC,D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点. 求证:四边形AEDF 是菱形.
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理 2.会用菱形的有关知识进行证明,会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质 (1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质; ②菱形的四条边都相等; ③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; ④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线. (3)菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式. ②菱形面积 12 ab .(a 、b 是两条对角线的长度) 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32,面积是cm 12,则它的对角线的长分别是 cm , cm . (★) 解答方法: ∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2, ∴ 122 132=⋅⋅=x x S 菱形,∴ 解得舍去)(2,221-==x x , ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。 答案:cm cm 6,4。 【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。 【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2,周长是 _________ cm . (★) 解答方法:菱形面积是2 24286cm =÷⨯;∵菱形的对角线互相垂直平分, 根据勾股定理可得,边长为5cm ,则周长是20cm . 知识精讲 目标导航
故答案为24,20. 解答:24,20 【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍,则菱形较小的一个角为()(★★) A.60°B.45°C.30°D.15° 解答方法:菱形的周长为边长的4倍,又∵菱形周长为高的8倍,∴AB=2AE, ∵△ABE为直角三角形,∴∠ABC=30°.故选 C. 答案:C 【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质,考查了直角三角形中的特殊角,本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键. 【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等,则菱形中较小的内角是()(★★) A.60°B.15°C.30°D.90° 解答方法:因为菱形的一条对角线与边长相等,所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形, 可得该菱形较小内角的度数是60°. 解答:A 【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍,那么这个菱形较小的一个内角等于度.(★★) 解答方法:∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍,∴AB=BD=AD, ∴△ABD是等边三角形,∴∠A=60°. 即这个菱形较小的一个内角等于60°. 解答:60 【知识拓展3】已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:∠AFD=∠CBE. (★★)
中考专题训练——菱形的判定和性质 1.如图,在△ABC中,BA=BC,BD平分∠ABC交AC于点D,点E在线段BD上,点F 在BD的延长线上,且DE=DF,连接AE,CE,AF,CF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若BA⊥AF,AD=4,BC=4,求BD和AE的长. 2.如图,△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,作CD的垂直平分线,分别交AC、DC、BC于点E、G、F,连接DE、DF. (1)求证:四边形DFCE是菱形; (2)若∠ABC=60°,∠ACB=45°,BD=2,试求BF的长. 3.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F. (1)证明四边形ADCF是菱形; (2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积. 4.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F. (1)证明四边形ADCF是菱形; (2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积. 5.如图,△ABC中,∠BCA=90°,CD是边AB上的中线,分别过点C,D作BA和BC 的平行线,两线交于点E,且DE交AC于点O,连接AE.
(1)求证:四边形ADCE是菱形; (2)若∠B=60°,BC=6,求四边形ADCE的面积. 6.在四边形ABCD中,AD∥BC,AC平分∠BAD,BD平分∠ABC. (1)如图1,求证:四边形ABCD是菱形; (2)如图2,过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形(△CDE除外) 7.已知:如图,在△ABC中,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,过点C 作CF∥BA交PQ于点F,连接AF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若AD=3,AE=5,则求菱形AECF的面积. 8.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF. (1)求证:四边形BCFE是菱形; (2)若CE=2,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
学生做题前请先回答以下问题问题1:菱形的定义是什么? 问题2:菱形是轴对称图形吗?是中心对称图形吗? 问题3:菱形有哪些性质? 问题4:菱形的判定有哪些? 问题5:一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗? 菱形的性质和判定(人教版) 一、单选题(共11道,每道9分) 1.下列说法错误的是( ) A.菱形的对边互相平行 B.菱形的对角相等 C.菱形的对角线相等 D.菱形的每一条对角线平分一组对角 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:菱形的性质 2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.每条对角线平分一组对角 D.对角相等 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:菱形的性质 3.下列说法正确的是( ) A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:菱形的判定 4.如图,在平行四边形ABCD中,添加下列条件不能判断平行四边形ABCD是菱形的是( ) A.AB=BC B.AC⊥BD C.BD平分∠ABC D.AC=BD
答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:菱形的判定 5.菱形ABCD的周长为8,高为1,则该菱形两邻角度数比为( ) A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:菱形的性质
6.如图,已知E是菱形ABCD的边BC上一点,且AE=AD,若∠B=80°,则∠CDE的度数为( ) A.30° B.25° C.20° D.35° 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:菱形的性质
(初中)数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型 试题梳理汇总 菱形的性质与判定 基础同步过关 知识点一:菱形的性质定理 1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,则添加下列条件之一,不能使它成为菱形的 是() A.AB=AD B.AC=BD C.BD平分∠ABC D.AC∠BD 2.如图,顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH,要使四边形EFGH为菱 形,应添加的条件是。 3.如图,下列对菱形ABCD表述正确的有。 ∠AC=BD;∠∠OAB=∠OBA;∠AC∠BD;∠有4条对称轴;∠AD=BD; ∠∠OAB=∠OAD。 4.如图,四边形ABCD是菱形,AC BD相交于点O,AC=8,BD=6,DH∠AB于点H,则 DH的长为。 第1题图第2题图第3题图第4题图 5.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=120°,则菱形ABCD的面积是。 6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OE∠AB,垂足为E,若∠ADC=128°, 则∠AOE的度数为() A.62° B.52° C.68° D.64° 7.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,点E是BC边上的一个动点(点E与点C 不重合),点F,G分别是AE,CE的中点,则线段FG的长度为() B.3 第5第6题图第7题图 知识点二:菱形的判定定理 8.已知四边形ABCD中,AC∠BD,再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形,这个条 件可以是() A.AC=BD B.AB=BC C.AC与BD互相平分 D.∠ABC=90° 9.如图,将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE,连接AD.下列条件中,能够判定四边形 ACED为菱形的是() A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°
第16讲菱形的判定和性质 知识定位 讲解用时:3分钟 A、适用范围:人教版初二,基础较好; B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初二新课,本节课我们要学习菱形的判定和性质。菱形是四边形中非常重要的一节内容,它与矩形、正方形一起组成了特殊的平行四边形,是中考考查的重点,经常在几何大题的证明题中出现,因此至关重要,要好好掌握。 知识梳理 讲解用时:20分钟 菱形的判定和性质 1.菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.菱形的性质: ○1具有平行四边形的所有通性; ○2.菱形的四条边都相等; ○3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 性质边角对角线对称性 菱形对边平行;四边相 等 对角相等,邻角 互补 互相垂直平分; 且平分对角 轴对称,中心对称 3.菱形的判定定理: ○1一组邻边相等的平行四边形是菱形; ○2.四条边相等的四边形是菱形. ○3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形; ④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
课堂精讲精练 【例题1】 如图,在网格(网格的正方形边长为1)中,格点四边形ABCD是菱形,则此四边形ABCD的面积等于() A.6 B.12 C.D.无法计算 【答案】B 【解析】由图可得菱形的两对角线长分别为4,6,根据菱形的面积公式:两对角线乘积的一半,求得菱形的面积. 解:菱形的面积为:4×6÷2=12,故选B. 讲解用时:2分钟 解题思路:本题主要利用菱形的面积公式:“对角线乘积的一半”来解决. 教学建议:掌握菱形的面积可以用对角线积的一半计算. 难度: 3 适应场景:当堂例题例题来源:宁波期末年份:2014 4.菱形的面积: ○1可以用平行四边形的面积算1底高 2 S ⎛⎫ =⨯⨯ ⎪ ⎝⎭ ; ○2.用对角线计算(面积=两对角线的积的一半) 1 2 S AC BD =••
知识点回顾 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(菱形是平行四边形:一组邻边相等) 2、性质:(1)边:四条边都相等;(2)角:对角相等、邻角互补; (3)对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角; (4)对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形. 3、菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 4、识别菱形的常用方法 (1)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等. (2)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直. (3)说明四边形ABCD的四条相等. 5、面积:设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b,则S菱形=1 ab 2 例题解析 1. 如图,菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,若∠ BCO=55°,则∠ ADO= . 2. 如图所示,已知菱形ABCD中,E、F分别在BC和CD上,且∠ B=∠EAF=60°,∠ BAE=15°,求∠ CEF的度数。 3. 如图,在Rt△ABC中,∠ ACB=90°,D、E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将△ ADE绕点E旋转180°得到△ CFE,连接AF,CD.(1)求证:四边形ADCF是菱形;(5 分) (2)若BC= 8,AC= 6,求四边形ABCF的 周长.(5 4. 如图,两个连接在一起的菱形的边长都是 1cm,一只电子甲虫,从点 A 开始按ABCDAEFG⋯AB 分)的
顺序沿菱形的边循环爬行,当电子甲虫爬行2014cm 时停下,则它停的位置是 A.点 F B.点 E C.点 A D.点C 练习 1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点 A,B 的坐标分别为(-3,0),(2 ,0),点D在y轴 上,则点C的坐标是. 2. 如图,菱形ABCD的边长为4, ∠BAD=120°,点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF+BF的最小值是 . 3. 如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当 菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为 4. 如图,□ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=5.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F. (1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形; (2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等; (3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数. 5. 如图,在三角形ABC中,AD平 分∠BAC,将△ ABC折叠,使点A 与点 D 重合,展开后折痕分别交 AB、AC 于点E、F,连接DE、 DF. 求证:四边形 AEDF是菱形. 6. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于O 点,OC=O,A 若E是CD上任意一点,连结BE交AC于点F,连结
菱形的判定和性质 LT
B C A D O 菱形的判定和性质 一、基础知识 (一)菱形的概念 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 (二)菱形的性质: 1、 2、 菱形四条边都相等; 3、 菱形的对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角; 4、 菱形是轴对称图形; (三)菱形的判定: 1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形; 2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 3、 四条边都相等的四边形是菱形; (四)菱形的面积 1、可以用平行四边形的面积算(S= 2 1 底×高)
2、用对角线计算(面积的两对角线的积的一半 S=2 1ab) 二、例题讲解 考点一 :菱形的判定 例1:下列命题正确的是( ) (A ) 一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定 是平行四边形 (B ) 对角线相等的四边形一定是矩形 (C ) 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D ) 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一 定是正方形 练习1:菱形的对角线具有( ) A .互相平分且不垂直 B .互相平分且相等 C .互相平分且垂直 D .互相平分、垂直且相等 练习2:如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点 A C D E
练习1:如图,AD 是Rt △ABC B 交AD 于G ,交AC 于E ,过E 作EF ⊥边形AEFG 是菱形. 练习2:如图,E 是菱形ABCD 边AD 的中点,EF ⊥AC 于 点H ,交CB 延长线于点F ,交AB 于点G ,求证:AB 与EF 互相平分。 练习3:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠BAC =60°,DE 垂直平分BC ,垂足为D ,交AB 于点E ,又点F 在DE 的延长线上,且AF =CE ,求证:四边形ACEF 是菱 E H G F E D C B A F E D B
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》解答题专题训练(附答案)1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N. (1)求证:四边形BNDM是菱形; (2)若∠C=90°,BC=16,CD=8,求菱形BNDM的周长. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,AC=2AB,BE∥AC,OE∥AB. (1)求证:四边形ABEO是菱形; (2)若AC=2,BD=4,求四边形ABEO的面积. 3.如图1,在▱ABCD中,AB=AD,AC=16,BD=12,AC、BD相交于点O. (1)求AB的长. (2)若CE∥BD,BE∥AC,连接OE,求证:OE=AD. (3)如图2,设BC与OE相交于点P,连接DP,求DP的长.
4.如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E.点F为四边形ABCD外一点,且∠FCA =90°,BC平分∠DBF,∠CBF=∠DCB. (1)求证:四边形DBFC是菱形; (2)若AB=BC,∠F=45°,BD=2,则AC=. 5.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,作DE∥BC交AB于点E,作DF∥AB 交BC于点F. (1)求证:四边形BEDF是菱形; (2)若∠BDE=15°,∠C=45°,CD=2,求DE的长. 6.在Rt△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F. (1)证明:四边形ADCF是菱形; (2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积. 7.如图,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=30°,△ADF ≌△ABC,AD⊥AC,连接BD、CF交于点E. (1)求证:四边形ABEF为菱形; (2)求CE的长.
八年级期中复习06 菱形的性质和判定 姓名:___________考号:___________分数:___________ (考试时间:100分钟满分:120分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.下列命题中,正确的是(). A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E,F分别为AO,DO的中点,则线段EF的长为() A.2.5 B.3 C.4 D.5 3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=6,则BC的长为(). A.3 B.32C.23D.32 2 4.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,M为AD中点,P为对角线BD上一动点,连接PA和PM,则PA+PM的最小值是( )
A .3 B .23 C .33 D .6 5.如图在平面直角坐标系xOy 中若菱形ABCD 的顶点,A B 的坐标分别为(6,0),(4,0)-,点D 在y 轴上,则点C 的坐标是( ) A .(6,8) B .(10,8) C .(10,6) D .(4,6) 6.如图,ABCD 中,AC 平分BAD ∠,若2,3AC AB == ,则四边形ABCD 的面积为( ) A .2 B .22 C .42 D .82 7.如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,过点C 作CE ⊥AD 于点E ,连接OE ,若OB =6,S 菱形ABCD =60,则OE 的长为( ) A .23 B .5 C .5 D .6 8.如图,在菱形ABCD 中,E F ,分别是BC CD ,的中点,设ABCD S S =四边形,1AEF S S ∆=,则( )
专题06 菱形综合 知识网络 重难突破 知识点一菱形的性质及应用 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2、性质:菱形具有平行四边形的性质,另外,
3、菱形的面积 (1)S =底⨯高 BC AE =⨯ (2)菱形面积为对角线乘积一半,即 12S = ⨯对角线之积1 2 BD AC =⨯ 注意: 1 、如图,含60°角的菱形 (1)等边三角形:ABD ,BCD ; (2)含120︒ 角的等腰三角形:ABC ,ADC ; (3)含30︒角的直角三角形:AOD ,AOB ,COB ,COD . 2、菱形对角线 (1)菱形对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,由勾股定理可得,菱形边长的平方等于量对角线的一
半的平方和; (2)由于菱形的四条边相等,故常常链接对角线构造等腰三角形,利用等腰三角形性质解决问题. 典例1 (2019春•溧水区期末)下列性质中,菱形对角线不具有的是() A.对角线互相垂直B.对角线所在直线是对称轴 C.对角线相等D.对角线互相平分 典例2 (2019春•常州市期中)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6和8,则这个菱形的面积是( ) A.20B.24C.40D.48 典例3 (2019春•张家港市期末)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且2 AB=.(1)菱形ABCD的周长为; (2)若2 BD=,求AC的长.
知识点二菱形的判定 图示判定定理几何语言 有一组邻边相等的平行四边形 是菱形 四边形ABCD为平行四边形 AB AD = ∴平行四边形ABCD为菱形 对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 四边形ABCD为平行四边形 AC BD ⊥ ∴平行四边形ABCD为菱形 四边相等的四边形是菱形 AB BC CD AD === ∴平行四边形ABCD为菱形 注意:运用前两种方法时,必须先识别四边形是平行四边形,然后再从有一组邻边相等或对角线互相垂直这两个方面来探讨;最后一种判定方法时任意四边形,只要满足了四条边都相等就能证明时菱形. 典例1 (2019春•玄武区期末)如图,在ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,不能判断这个平行四边形是菱形的是() A.AB AD =B.BAC DAC ∠=∠C.BAC ABD ∠=∠D.AC BD ⊥ 典例2 (2019春•滨湖区期末)在ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE CF =. (1)求证:ADE CBF ∆≅∆; (2)若DF BF =,求证:四边形DEBF为菱形.
第六讲菱形的判定与性质(培优版) 【版块一菱形的性质】 【题型一】对角线互相垂直 1.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,E是边AD的中点,过点E作EF⊥BD,EG⊥AC,点F,G为垂足,若AC=10,BD=24,则FG的长为() A.5B.6.5C.10D.12 2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S =48,则OH的长为() 菱形ABCD A.4B.8C.D.6 3.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点A,D分别在y轴的正半轴和负半轴上,顶点B在x轴的负半轴上,若OA=3OD,S菱形ABCD=16,则点C的坐标为.
【题型二】线段和最小值问题(将军饮马模型) 4.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E、F分别是AG、AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是. 5.如图,在△ABC中,AB=3+,∠B=45°,∠C=105°,点D,E,F分别在AC、BC、AB上,且四边形ADEF为菱形,则菱形的边长为;若点P是AE上一个动点,则PF+PB的最小值为. 【题型三】规律探究 6.如图,在平面直角坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,点B在y轴上,OA=1,将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2021次,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,则B2021的坐标为() A.(1010,0)B.(1345,)C.(,)D.(1346,0)
【题型四】动点问题 7.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为. 【题型五】奔驰模型 8.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,对角线AC平分∠BAD,点P是△ABC内一点,连接P A、PB、PC,若P A=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于.
教学过程 一、复习预习 回顾: 平行四边形的性质和判断 学习过程: 教师活动:教师教具演示,移动平行四边形的一边,使之一组邻边相等,引出菱形与平行四边形的关系,由此得到菱形的概念。 学生活动: 一.剪一剪:将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,打开即可 1、观察所剪的菱形纸片,思考下列问题: (1)哪些线段是相等的?哪些角是相等的? (2)有哪些是等腰三角形?哪些是直角三角形? (3)它是轴称图形吗?有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?
2、归纳菱形的特殊性质: (1)边 (2)对角线 (3)对称性 一.探究一、1、自主自习: 菱形的对边__________________ 。 菱形的性质菱形的四边_________________ 。 菱形的对角线___________ 。 菱形是_____________ 对称图形。 菱形的面积=_________________ 或菱形的面积= ________________ 四边______________ 的平行四边形是菱形。 一组___________________ 的四边形是菱形。 菱形的判定:对角线_________________ 的平行四边形是菱形。 对角线__________________ 的四边形是菱形。 2、合作探究:如图,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD长10 cm,求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积 由此(2)推出:S菱形= 对角线乘积的一半
二、知识讲解 考点1 .菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,•还具有自己独特的性质: ① 边的性质:对边平行且四边相等. ② 角的性质:邻角互补,对角相等. ③ 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角. ④ 对称性:菱形是中心对称图形,也是轴对称图形. 菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半. 点评:其实只要四边形的对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积的一半. .菱形的判定 判定①:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定②:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定③:四边相等的四边形是菱形.