3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型
),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用
y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d
cx b ax y ∈++=； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
常针对根号，举例：
y =√x 2?1+x 2+95
令 √x 2?1=t ，则x 2=t 2+1，原式转化为：y =t +(t 2+1)+9
5=t 2
5+t +2 ，再利用配方法。
⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k x
k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个
自变量x 1，x 2，当x 1 区间D 称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； ⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言） 增函数：)()(],,[,x 212121x f x f x x b a x )()(],,[,x 212121x f x f x x b a x >?<∈对任意的 注：① 函数上的区间I 且x 1，x 2∈I.若2 121)()(x x x f x f --＞0（x 1≠x 2），则函数f(x)在区间I 上是增函数； 若2 121)()(x x x f x f --＜0（x 1≠x 2），则函数f(x)是在区间I 上是减函数。 ② 用定义证明单调性的步骤: <1>设x1，x2∈M ，且21x x <；则 <2> )()(21x f x f -作差整理； <3>判断差的符号； <4>下结论； ③ 增+增=增 减+减=减 ④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减 （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的 图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1任取x1，x2∈D，且x1 ○2作差f(x1)－f(x2)； ○3变形（通常是因式分解和配方）； ○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x) 就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x) 就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定 义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借 助函数的图象判定 . ⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系） f(x) －f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。 注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0. ⑶周期性:①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期; ②若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。 1.定义函数的周期性的定义及常用结论 一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值． 若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期； 若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期； 2．函数的周期性的定义及常用结论 一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值． 若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期； 若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期； 3．有关对称性的几个重要结论 一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值． 若f(x＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b 2 对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关 于直线x＝a对称； 若f(a ＋x)＝－f(b －x)，则函数f(x)的图象关于点(0, a ＋ b 2 )中心对称．特别地，若f(a ＋x)＝－f(a －x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称． 4．对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f(x)的图象有两条对称轴x ＝a 和x ＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b －a|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b －a|为它的一个周期；若f(x)的图象有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则f(x)为周期函数，且4|b －a|是它的一个周期． ⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=2 b a +对称;( 即:‘一均二等’的原则) ②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=2 a b -对称. ③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y 轴),直线y=0(即x 轴),原点。 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一 是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） ○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x) 在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x) 在x=b 处有最小值f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y =2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ 3.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 4.函数22(1)()(12) 2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< ，若()3f x =，则x = 5.求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ (3)y x = y 6.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ， (21)f x +的解析式 7.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 8.设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时 ,()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x = ()f x 在R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =-- 10.判断函数13+-=x y 的单调性并证明你的结论． 11.设函数2211)(x x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x f -=．
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