运用拉氏变换的目的

IL (s)
iL (0 ) 1s
Ls

VL (s)

VL (s)
IC (s) CsVC (s) CvC (0 )
CvC (0 )
IC (s) Cs VC (s)
IC (s)
1 vC (0 )
Cs
s
VC (s)

§ 9.2 用拉氏变换求解网络响应
i1 (t )
IL (s)

1 Ls VL (s)

iL (0 ) s
£[ t f (t)dt] F (s)
0
s
←由初始条件引起
IL (s)
iL (0 ) 1s
Ls
VL (s)
vC
(t)

1 C
t
0 iC (t)dt vC (0 )
VC
(s)

1 Cs
IC
(s)

vC
(0 s
)
IC (s)

P(s) Q(s)

b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
式中P(s)、Q(s)都是复变量s的多项式，系数b0、b1、
a1、 、an 都是实数。
m
F(s)的另一种表示
(s zi )
F (s) b0
i1 n
(s pj)
j 1
、bm，
其中zi i=1, ,m pj j=1, ,n分别称有理函数F(s) 的零点和极点。如 果pj是Q(s)的单零点, 称F(s)的单极点, pk是Q(s)的r 阶零点, 称F(s) 的r阶极点。
§ 9.1 拉氏变换的定义和性质
①展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化）
若m<n 称有理函数是真分数式
F(s) (s p1)n1 L (s pr )nr

r i1
ni
kij
j1 (s pi ) j
其中
kij

(ni
1
d ni j j)! dsni j
(s
pi )ni
F (s)
s pi
§ 9.2 用拉氏变换求解网络响应
基本要求：
基尔霍夫定律的运算形式 支路关系的运算形式、支路的运算模型 网络分析方法的运算形式 用运算方法求解网络响应
④受控源
v1 (t )
i2 (t)
v2 (t) v1
I1 ( s)
I2 (s)
V1 ( s)
V2 (s) V1 ( s)
只要将电压、电流改成运算形式即可
⑤互感支路
i1 v1
时域
v1
V

v2

M
vn

频域
V L d i; dt
t
i
i(0 ) Γ
若m n 则 F (s) P(s) Pˆ(s) R(s)
Q(s)
Q(s)
R(s)是P(s)除以Q(s)的余数， Pˆ (s) 是一个多项式，其对应的时
间函数是，’， ” 等的线性组合，
R(s) 是真分数（真分式），对此真分式
Q(s)
②单极点情况
F(s)
R(s) Q(s)
§ 9.2 用拉氏变换求解网络响应
KCL(t)
KVL(t) 支路关系(t
)

回节路点 法法
网络方程
(积分微分方程)
£网络方程 (代数方程)
解
V I
(s) (s)
£1
v(t) i(t)
£
KCL(s)

KVL(s)

支路关系(s)
节点法 回路法
nn

d
1
Γ
V(s) Ls dt I(s) Li(0 ); I(s) s i(0 ) s V(s)
I(s) R V (s)
VL (s) LsIL (s) LiL (0 )
iL (0 )
IL (s)
Ls
LiL (0 )
IL (s)
1s
Ls

VL (s)

VL (s)
§ 9.2 用拉氏变换求解网络响应
①R
R v(t)
i (t )
②L
vL
(t)

L
diL (t) dt

n i 1
ki s pi

f
(t)
n i 1
kie pit
其中
ki (s pi ) F(s) s pi
③共轭复根情况

s
k1

j

s
k2

j


则
k1 k2
f (t) 2 k1 et cos(t k1)
④重极点情况
R(s)
①KCL
n
ik (t) 0
k 1
②KVL
n
vk (t) 0
k 1
• 支路关系的运算形式
①R
R v(t)
i (t )
②L
vL
(t)

L
diL (t) dt
IL (s)

1 Ls
VL
(s)

iL (0 ) s
n
Ik (s) 0
k 1
n
Vk (s) 0
k 1
R V (s) I (s)
基本电路理论
第九章 拉普拉斯变换
上海交通大学本科学位课程
电子信息与电气工程学院 2004年7月
§ 9.1 拉氏变换的定义和性质
• 积分规则 若f(t)→F(s)
0
£[ t
f (t)dt] F(s)
f (t)dt


s
s
1t
iL (t) L 0 vL (t)dt iL (0 )
1 vC (0 )
Cs
s
VC (s)

§ 9.1 拉氏变换的定义和性质
• 延迟定理（时域平移性质） 电路中所讨论的函数都是有始函数(起始函数)，即 在t<0时，f(t) = 0，所以函数可用 f(t)u(t) 表示，当该 函数延迟出现，便成为 f(t-)u(t-) 若f(t)→F(s) 则 £[ f (t )u(t )] F(s)es 原函数在出现的时间上推迟 ，(即其图形沿时间轴向 右移动)，则其象函数乘以延时因子 es 象函数乘以延迟因子, 其原函数在时域中平移
§ 9.1 拉氏变换的定义和性质
f (t)
f1(t) f (t)u(t)
f2 (t) f (t )u(t)
0
t
0
f3(t) f (t)u(t )
t
0
t
f4 (t) f (t )u(t )
0
t
0
t
对其延延迟迟函函数数的是表指示f4应(t)，注不意要:上误述解f(为t)uf(2t()t是)或指f3上(t)图的f1(t)，而
£[ f (t)*h(t)] F(s)H (s)
Z0(s) F(s)H (s)
1
H (s) N (s)
F (s)
H (s)F(s)
时域中的卷积，等于复频域中的乘积
§ 9.1 拉氏变换的定义和性质
• 展开定理
展开定理可以把任一s的有理函数分解成许多简单的单元，这称
部分分式展开。
设有有函数
F(s)
Vdt
0
i1
i

i2

M
in

L11
L


L21
M

Ln1
L12 L L22 L MO Ln2 L
L1n
L2n

11 Γ 21
12 22
L L
M
Lnn

M M O n1 n2 L
1n
2n

M
IL (s)

1 Ls VL (s)

iL (0 ) s
③C
iC
(t)

C
dvC (t) dt
VC
(s)

1 Cs
IC
(s)

vC
(0 s
)
R V (s) I (s)
I(s) R V (s)
VL (s) LsIL (s) LiL (0 )
IL (s)
Ls
LiL (0 ) ຫໍສະໝຸດ Baidu

(s
R(s) p1)L (s
pn )

n i 1
ki s pi

f (t)
n i 1
kie pit
其中 ki (s pi ) F(s) s pi
§ 9.1 拉氏变换的定义和性质
②单极点情况
F(s)
R(s) Q(s)

(s
R(s) p1)L (s
pn )
以上是数学方法的运用。在电路分析中，主要采用下面的 方法,即先求得网络定律和支路关系的ℒ，得到运算电路， 然后用直流或正弦稳态中所应用的方法来求解网络。这种 方法称运算法。不管哪种方法，运用拉氏变换的目的，是 要把电路在时域的微分方程化为复频域的代数方程。
§ 9.2 用拉氏变换求解网络响应
• KCL、KVL的运算形式
§ 9.1 拉氏变换的定义和性质
• 卷积定理
一个线性电路对任意激励f(t)的零状态响应z0(t),等于激 励函数f(t)和该电路冲击响应h(t)的卷积。
(t) f (t)
h(t)
N
t
h(t)* f (t) f ( )h(t )d 0
若f(t)→F(s), h(t)→H(s), z0(t)→Z0(s) 则