函数一致连续地若干方法

论函数的一致连续摘要：在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题提出和得不够，广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一致连续的条件、运算性质。

关键词：函数一致连续概念条件运算性质1.一致连续及其相关概念定义1设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上连续是指，某∈I，ε＞0，δ＞0，当某∈I且某-某＜δ时，有f（某）-f （某）＜ε.定义2设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上一致连续是指，对ε＞0，δ＞0（其中δ与ε对应而与某，y无关），使得对区间I上任意两点某，y，只要某-y＜δ，就有f（某）-f（y）＜ε.定义3设f（某）在区间I有定义，称函数f（某）在区间I上不一致连续是指，至少一个ε＞0，对δ＞0，都可以找到某′，某″∈I，满足|某′-某″|＜δ，但|f（某′）-f（某″）|≥ε.评注1：比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知，连续性的δ不仅与ε有关，而且与某有关，即对于不同的某，一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续，函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关，与某无关，即对于不同的某，δ是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续，而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的，反之，在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2：一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小.用定义证明f（某）在I上一致连续，通常的方法是设法证明f（某）在I上满足Lipchitz条件|f（某′）-f（某″）|≤L|某′-某″|，某′，某″∈I，其中L为某一常数，此条件必成立.特别地，若（某）在I上是有界函数，则f（某）在I上Lipchitz条件成立.2.一致连续的条件及有关结论2.1一致连续的条件定理1（G•康托定理）若函数f（某）在区间［a，b］上连续，则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε＞0，可以分区间［a，b］成有限多个小段，使得f（某）在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε，以下用反证法证之，若上述事实不成立，则至少对于某一个某＞0而言，区间［a，b］不能按上述要求分成有限多个小段.将［a，b］二等分为［a，c］、［c，b］，则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，把它记为［a，b］.再将［a，b］二等分为［a，b］、［c，b］，依同样的方法取定其一，记为［a，b］.如此继续下去，就得到一个闭区间套［a，b］，n=1，2，…，由区间套定理知，唯一的点c属于所有这些闭区间.因为c∈［a，b］，所以f（某）在点某=c连续，于是可找到δ＞0，使|某-c|＜δ（某∈［a，b］）时，|f（某）-f（c）|＜ε/2.注意到c==我们可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，从而对于［a，b］上任意点某，都有|某-c|＜δ，因此，对于［a，b］上的任意两点某，某都有|f（某）-f（某）|≤|f（某）-f（c）+f（c）-f（某）|＜+=ε.这表明［a，b］能按要求那样分为有限多个小段（其实在整个［a，b］上任意两点的函数值之差已小于ε了），这是和区间［a，b］的定义矛盾的，这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的，从而定理的结论正确.评注3：定理1对开区间不成立.例如函数f（某）=在（0，1）的每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.事实上，对于任意小的δ＞0，令某=δ，某=2δ，则|某-某|=δ，而|f（某）-f（某）|=-=，这时|某-某|可以任意小，但|f（某）-f（某）|可以任意大.函数f（某）=tan某在（-，）也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数，而in在（0，1）内的每一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一致连续性，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数某与某存在，使in=1，in=-1.定理2f（某）在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足（某-y）=0的任意两数列{某}、{y}，必有［f（某）-f（y）］=0.证明：必要性.若f（某）在I上一致连续，由一致连续性的定义，坌ε＞0，埚δ＞0，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|＜ε，即任两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，则必有|f（某）-f（y）|→0.充分性.用反证法，若两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，|f（某）-f（y）|→0而f（某）在I上不一致连续，那么一定埚ε＞0，对坌δ＞0，存在某，y，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我们得到两数列{某}、{y}，当n→∞时，某-y→0，但|f（某）-f（y）|≥ε，这与假设［f（某）-f（y）］=0矛盾.评注4：定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如，函数f（某）=in，在区间（0，1）上是连续的且有界，但在此区间上并非一致连续.事实上，当某≠0时，由基本初等函数在其有定义的区间上连续知，f（某）是连续的，同时，由于|f（某）|≤1，因而它也是有界的.现考虑（0，1）上的两串数列某=，某′=，则当0＜ε＜1时，不论δ＞0取得多么小，只要n充分大，总可以使|某-某′|=＜δ，但是|f（某）-f（某′）|=1＞ε，因而f（某）在（0，1）上并非一致连续.定理3设f（某）在有限区间I上有定义，那么f（某）在I上一致连续的充要条件是对任意柯西（Cauchy）列{某}I，{f（某）}R′也是Cauchy列.证明：必要性.因f（某）一致连续，即对ε＞0，δ＞0，对某′，某″∈I，只要|某′-某″|＜δ，就有|f（某′）-f（某″）|＜ε.设{某}I为Cauchy列，于是对上面的δ＞0，必N＞0，使当n，m＞N时，有|f（某）-f（某）|＜ε，即{f（某）}是Cauchy列.充分性.若不然，必ε＞0，某′，某″∈I，虽然某′-某″＜，但是|f（某′）-f（某″）|≥ε，由{某′}有界知，存在收剑子列{某′}，从而{某″}也收剑于同一点，显然某″，某″，某″，…，是Cauchy列，但是f（某″），f（某″），f（某″），…，不是Cauchy列，此为矛盾，故f（某）在I上一致连续.定理4设f（某）在有限区间（a，b）上连续，则f（某）在（a，b）上一致连续的充要条件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.证明：充分性.令F（某）=f（a+0）（某=a），f（某）（某∈（a，b）），f（b-0）（某=b），则F（某）∈C［a，b］，因此F（某）在［a，b］上一致连续，从而f（某）在（a，b）上一致连续.必要性.已知f（某）在（a，b）上一致连续，所以对于ε＞0，δ＞0，当某′，某″∈（a，b）且|某′-某″|＜δ时，|f（某′）-f （某″）|＜ε成立.对端点a，当某′，某″满足0＜某′-a＜，0＜某″-a＜时，就有|某′-某″|≤|某′-a|+|某″-a|＜δ，于是|f（某′）-f（某″）|＜ε.由Cauchy收敛准则，f（a+0）存在且有限，同理可证f（b-0）存在且有限.评注5：（1）当（a，b）为无穷区间，本例中条件是f（某）在（a，b）上一致连续条件充分但不必要.例如f（某）=某，Φ（某）=in某，某∈（-∞，+∞）及g（某）=，某∈（0，+∞）均为所给区间上的一致连续函数，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.（2）定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如，研究下列函数在所示区间上的一致连续性.（i）f（某）=（0＜某＜π）;（ii）f（某）=eco（0＜某＜1）.解：（i）因为=1，=0，所以f（某）在（0，π）内一致连续.（ii）因为co某不存在，所以f（某）在（0，1）内不一致连续.（3）由定理知，若f（某）∈C（a，b），则f（某）可连续延拓到［a，b］上的充要条件是f（某）在（a，b）上一致连续.定理5f（某）在区间I上一致连续的充要条件是，对ε＞0及某，y∈I，总正数N，使|f（某）-f（y）|＞N|某-y|（1）.恒有|f（某）-f （y）|＜ε（2）.证明：因为f（某）在I上一致连续的定义等价于：对坌ε＞0，埚δ＞0，使得对于坌某，y∈I，如果|f（某）-f（y）|≥ε（3），就有|某-y|≥δ.而题设条件为对ε＞0，N＞0，对某，y∈I，当不等式（3）成立时，|f（某）-f（y）|≤N|某-y|（4）充分性.若题设中条件成立，则由（4）式得|某-y|≥|f（某）-f（y）|，再由（3）式得|某-y|≥，所以对给定的ε＞0，只要取δ=，当某，y∈I，且满足（3）时，就有|某-y|≥δ成立.必要性.若f（某）在I上一致连续，则对任给的ε＞0，存在δ＞0，使当某，y∈I，且满足不等式（3）时，就有不等式|某-y|≥δ成立，故整数k，使得kδ≤|某-y|≤（k+1）δ.（5）不妨设某＜y，将［某，y］分成k+1等分，记某-1（i=1，…，k+1）为其分点，由（5）式知|某-某|=||＜δ，故|f（某）-f（某）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（某）-f（某）|/kδ＜＜令N=［］+1，则当I中的点某，y使（3）式成立时，必有（4）式成立，从而（1）式成立时，有（2）式成立.评注6：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范，它在理论研究上具有一定的意义.2.2一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题.命题1：设Φ（某）与ψ（某）在区间I上一致连续，则αΦ（某）+βψ（某）在I上一致连续（α，β为任意常数）.命题2：设Φ（某），ψ（某）在有限区间I上一致连续，那么ψ（某）ψ（某）在I上也一致连续.命题3：设Φ（某），ψ（某）在无限区间I上一致连续且有界，那么Φ（某）ψ（某）在I上也一致连续.其中“有界”的条件不可少，例如f（某）=某在（-∞，+∞）上一致连续，但无界，而f（某）•f（某）=某在（-∞，+∞）上不一致连续.命题4设Φ（某）在区间I上一致连续且infF（某）＞0，那么在I 上也一致连续.最后应指出，一致连续函数的反函数，一般说来，不再一致连续，例如f（某）=在（0，+∞）上一致连续而它的反函数f（某）=某在（0，+∞）内不一致连续，但可以证明在有限区间上，结论为真.。

下面证明必要性: 若 f (x) 在 (a, b) 上一致连续, 则由一致连续性定义得, 对 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 对 εx1, x2 ∈ (a, b), 且 |x1 − x2| < δ, 都有 |f (x1) − f (x2)| < ε
下面证明 lim f (x) 存在:
x→a+
对于上面给定的 ∀ε > 0 存在对应的 δ > 0, 当任意的 x1, x2 ∈ U˚(a, δ) 时, 即当 |x1 − x2| < δ 时, 都有 |f (x1) − f (x2)| < ε(华东师范第四版数分上册 56 页柯西准则), 所以 lim f (x) 存在,
定理 1.1.1. 一致连续性定义: 设 f (x) 为定义在区间 I 上的函数, 若对 ∀ε > 0, 存在对应的 δ = δ(ε) > 0, 使得对 ∀x1, x2 ∈ I, 只要 |x1 − x2| < δ, 就有 |f (x1) − f (x2)| < ε
例 1.1.1. 设 f (x) 在有限开区间 (a,b) 上连续, 则 f (x) 在有限开区间 (a, b) 上一致连续
2. f 在开区间 (a, b) 可导
则在
(a, b)
上至少存在一点
ξ
使得
f ′(ξ)
=
f (b)−f (a) b−a
现在将这个等式转换一下:f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a). 这个等式的好处就是两个函数值的 差可以跟对应的自变量的差建立联系, 这一点在一致连续性问题上利用很多, 一定要认真对待.
x→0+
在零这一点单侧极限不存在, 故假设不成立, 所以函数在此区间上不一致连续.

无穷区间上连续函数一致连续的判定众所周知，函数的连续性是建立在点上的。

即使几是函数在区间切连续性，也是建立在点上的。

因此函数的连续性是一个局部性的概念，而函数的一致连续性才反映了函数在 整个区间上的整休性质。

一般来说，只有闭区间〔a,b 〕上的连续函数才具有一致连续的性 质，(Cantol 定理)而对于其他类型的区间，函数在其上连续一般不能导致函数在其上一 致连续。

譬如函数()sinf x xπ=在区(0,1)内连续，但在(0,1)内却非一致连续，这样的例子可以举出很多。

因此，讨论连续函数的一致连续性也就成了“数学分析”中 一个很重要的问题。

显然在某个区间上连续的函数自然就可尽分为两大类:一类是非一 致连续的，另一类是一致连续的。

在多数“数学分析”教材中对有限区间上连续函数的 一致连续性讨论得较多，对无穷区间上连续函数的一致连续性的判定虽然也进行过一些 讨论，但大多是关于它的充分判别法，而对它的充分必要条件谈及甚少。

本文给出判定连续函数在无穷区间上一致连续的一个新的充分必要条件。

用它可以 判定一系列连续函数在无穷区问上一致连续的问题，有时比使用定义或其他充分条件要 方便得多，定理1:设函数f(x)在区间〔a ，∞)(a 为任意实数)上连续，则函数f(x)在区间〔a ，+ ∞)上一致连续的充分必要条件是在〔a ，+ ∞)上存在一个一致连续的函数g(x)，使得: lim (()())0x f x g x →+∞-=证 必要性:因为函数f(x)于〔a ，+ ∞)上一致连续，所以，就选g(x)=f(x), 即找到了一个于〔a ，+ ∞)上一致连续的函数g(x)，并且满足:lim (()())lim (()())0x x f x g x f x f x →+∞→+∞-=-=，充分性:由于在〔a ，+ ∞),)内存在一个一致连续的函数g(x)使得:lim (()())0x f x g x →+∞-=则对任意给定的正数ε，总存在一个常数M>0，使得对于适合不等式x>M 的一切x ， 总有()()6f xg x ε-<因为函数f(x)在〔a ，+∞)上连续，从而在有限区间〔a ，M 〕上连续，由康托 (Cantor)定理，函数f(x)必在〔a ，M 〕上一致连续，从而对上述ε>0，总存在1()0δε>，使得对于区间〔a ，M 〕内的任意两点: 12,x x 当121()x x δε-<时，总有21()()2f x f x ε-<()0,()0z g x d s εε∞>>∞又因函数在区间（a,+）上一致连续，从而对于给定的总存在一个时，使得对于(a,+)1212212,,(),x x x x x M x M δε-<>>内任意两点当且21()()6g x g x ε-<21222111222111()()()()()()()()()()()()()()6662f x f x f xg x g x g x g x f x f x g x g x g x g x f x εεεε-=-+-+-≤-+-+-<++=从而有21()()2f x f x ε-<即1212121122(,),(,),,,x a M x M x x M x x M δδεδεδδδεδδε∈∈+∞-<-<<-<<如果任意的取=min((),()),只要必有()()从而有212121()()()()()()()()()()22f x f x f x f M f M f x f x f M f M f x εεε-=-+-≤-+-<+=211221min((),()),()()x x f x f x δδεδεε-<=-<即只要就有不等式：综合上述:对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得对于区间〔a,+ ∞)上 的任意两点1x ，2x .只要 21x x -<δ就有不等式:21()()f x f x ε-<根据函数一致连续的定义，f(x)在〔a ，+∞)_上一致连续。

例4.
f ( x) 1 在(0,1)上不一致连续. x
解：
令sn
1 n
1 , tn
1， n
sn
tn
1 n
1 n1
1 n(n 1)
1. n
但 f (sn ) f (tn ) (n 1) n 1 0 .
例⒌ f ( x) 1 在 ,上一致连续.( 0)
x
证明： s,t ,.
f
(s)
f (t)
11 st
t
s st
1
2
st
当s t 2时， f (s) f (t) .
几何解释
y
o x'
x
x
例6. 设f在I上满足Lipschitz条件： L 0,
x1, x2 I , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) L x1 x2 ,
求证：f在I上一致连续.
x2 sin x1
2
x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
取 ,
当 x1 x2 时, 总有| sin x1 sin x2 | .
f ( x) cos x在R上一致连续.
例2. f ( x) x在[0,)上一致连续
证明：| f ( x1 ) f ( x2 ) |
x1
x2
2.
f在I上不一致连续
0 0,n N * ,都有sn , tn I ,
满足 | sn
tn
|
1， n
但是
|
f (sn )
f (tn ) | 0 .
二、例题
例1. 求证 f ( x) sin x在R上一致连续.
证明： x1 , x2 R,
sin x1 sin x2