重庆市大学城第一中学校2017_2018学年高一数学下学期期中试题文(含解析)

2018-2019学年重庆市大学城第一中学校高二下学期期中数学试题一、单选题1．集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，全集{}1,2,3,4,5U =，则()U A B ⋃=ð（ ） A ．{}1,2 B ．{}3,5C ．{}1,2,3,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C【解析】根据集合运算的定义计算． 【详解】由题意U {1,2,5}B =ð，∴U (){1,2,3,5}A B =U ð． 故选：C. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 2．下列推断错误的是( )A ．命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B ．命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非:p 任意x ∈R ，都有210x x ++≥C ．若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【解析】【详解】试题分析：原命题:若p 则q 的逆否命题为若q ⌝则p ⌝，所以A 显然正确；特称命题的否定为全称命题，所以B 显然正确；若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以C 的推断不正确；23201x x x -+>⇒<或2x >，所以“1x <”是“”的充分不必要条件．所以D 正确． 故选C ．【考点】1命题；2充分必要条件． 3．已知A ，B 两点的极坐标分别为6,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭和48,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则线段AB 中点的直角坐标为（ ）A ．1,2⎛⎝⎭B ．1,2⎛-⎝⎭C ．21⎫-⎪⎪⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先求线段AB 中点的极坐标为41,3π⎛⎫⎪⎝⎭，再由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩计算即可。

【详解】易知线段AB 中点的极坐标为41,3π⎛⎫⎪⎝⎭，根据互化公式，得41cos cos 32x ρθπ===-，4sin sin 32y ρθπ===-，因此，所求直角坐标为1,2⎛- ⎝⎭. 故选B. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。

重庆大一中18-19学年下期高2021届第一次月考一．选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知是第二象限角,（）A. B. C. D.【答案】A【解析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.2.已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于（）A. 135°B. 90°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可求出,再根据三角形中大边对大角即可知A为锐角，由正弦函数值可求出A.【详解】由正弦定理可知：,所以，又因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦定理的应用，及三角形中大边对大角的性质，属于中档题.3.向量﹒化简后等于（）A. B. 0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算，化简即可求解.【详解】, 故选D.【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，注意首尾相接的向量相加等于第一个向量的始点指向最后一个向量的终点，属于中档题.4.在中，若，则等于（）【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可知，即可求出角B.【详解】由正弦定理可知，又因为，所以，所以，即,又,所以, 故选B.【点睛】本题主要考查了正弦定理，及三角函数的基本关系，属于中档题.5.已知向量则ABC=A. 300B. 450C. 600D. 1200【答案】A【解析】【分析】根据向量与的夹角公式，即可求出ABC.【详解】根据向量夹角公式知，，又，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，向量的数量积运算，属于中档题.6.已知向量，且，则m=（）A. －8B. －6C. 6D. 8 【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的条件可知，即可解出m.【详解】因为,,且所以，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了向量加法的坐标运算，向量垂直的坐标运算，属于中档题. 7.在中，，，，则（）【答案】A【解析】【分析】先由三角形内角和定理求得，再根据正弦定理求出．【详解】在中，，∴．由正弦定理得，∴．故选A．【点睛】解三角形时注意三角形中的隐含条件，如三角形的内角和定理，三角形中的边角关系等，解题时要灵活应用．同时解三角形时还要根据所给出的边角的条件，选择运用正弦定理还是余弦定理求解．8.不解三角形，下列判断中正确的是（）A. 有两解B. 无解C. 有两解D. 有一解【答案】D【解析】本题考查解三角形。

2017-2018学年重庆八中高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x2≥4}，那么P∪（∁R B）=（）A．[2，3]B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2） D．（﹣2，3]2．（5分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|3．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=2，、，则△ABC的面积为（）A．B．C．3 D．64．（5分）已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．5．（5分）设函数，则=（）A．﹣1 B．5 C．6 D．116．（5分）将y=3sin4x的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=f（x）的图象，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（）A．10 B．C．D．8．（5分）已知的值为（）A．﹣8 B．8 C．D．9．（5分）如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，=，||=1，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．﹣1 B ．﹣ C ．D ．12．（5分）锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，若a 2+b 2=5c 2，则cosC 的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知向量，，若，则x= ．14．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=52，则a 4+a 8+a 9= ． 15．（5分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，若，，则2a +c 的最大值为 ． 16．（5分）已知数列{a n }满足，（n ≥2，n ∈N *），则a n = ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是公差不为0的等差数列，满足a3=7，且a1、a2、a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若，，a＞b，求a．19．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20．（12分）如图，△ABC中，，D是边AB上一点，BD=2AD，（Ⅰ）若，求BC；（Ⅱ）求△BCD面积的最大值．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和且满足S n=2a n﹣2，在数列{b n}中满足a2=4b1，（1）求数列{a n}的通项公式，并证明为等差数列；（2）设，令T n为{P n}的前n项的和，求T n．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在△ABC中，BC=1，AC=2，以边AB为一边长向外作正方体ABEF，O为方形ABEF的中心，M，N分别为边BC，AC的中点．（1）若，求CO的长．（2）当∠BCA变化时，求OM+ON的最大值．2017-2018学年重庆八中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x2≥4}，那么P∪（∁R B）=（）A．[2，3]B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2） D．（﹣2，3]【分析】先求出集合P，B，从而求出C R B，由此能求出P∪（∁R B）．【解答】解：∵集合P={x∈R|1≤x≤3}，B={x∈R|x2≥4}={x|x≥2或x≤﹣2}，∴C R B={x|﹣2＜x＜2}，∴P∪（∁R B）={x|﹣2＜x≤3}=（﹣2，3]．故选：D．【点评】本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【分析】由a=1，b=﹣1可判断A，B；由c=0可判断D；运用不等式的性质可判断C．【解答】解：a，b，c∈R，a＞b，＜b不成立，比如a=1，b=﹣1；a2＞b2不成立，比如a=1，b=﹣1；由1+c2＞0，可得＞成立；a|c|＞b|c|不成立，比如c=0．故选：C．【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查举反例法和推理能力，属于基础题．3．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=2，、，则△ABC的面积为（）A．B．C．3 D．6【分析】由三角形的正弦平方加余弦的平方和为1，以及三角形的面积公式即可求得．【解答】解：∵，∴sinA=∵b=2，、，∴S==，故选：B．【点评】本题考查△ABC的面积的求法，以及由三角形的正弦值得到余弦值．4．（5分）已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．（5分）设函数，则=（）A．﹣1 B．5 C．6 D．11【分析】推导出=+f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴=+f（﹣1）=+2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）将y=3sin4x的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=f（x）的图象，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=3sin4x的图象向左平移个单位长度，得到y=3sin（4x+4×）=3sin（4x+）的图象，再向下平移3个单位长度得到y=3sin（4x+）﹣3的图象，则=3sin（+）﹣3=3cos﹣3=﹣，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（）A．10 B．C．D．【分析】由三角形ABC的三边构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a大于0），由三角形的边角关系得到a+8所对的角为120°，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出三角形的三边长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°==﹣，整理得：a2﹣2a﹣24=0，即（a﹣6）（a+4）=0，解得：a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，=×6×10×sin120°=15．则S△ABC故选：C．【点评】此题考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．8．（5分）已知的值为（）A．﹣8 B．8 C．D．【分析】利用诱导公式直接化简表达式，求出cosα﹣sinα的值，然后化简，求解即可．【解答】解：由，可得cosα﹣sinα=，所以1﹣sin2α=，2sinαcosα=﹣又==﹣8．故选：A．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，平方关系的应用，考查计算能力．9．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则的值为（）A．B．C．D．【分析】将转化成（+），化简后得•，然后转化成•=（﹣）•，再进行化简可得结论．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥AB，∴=0=（+）=•+•=•=•=（﹣）•=•﹣•=故选：D．【点评】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．10．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由a 7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．﹣1 B．﹣ C．D．【分析】由题意可得f（x）为偶函数，求得f（x）在x≥0上连续，且为减函数，f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：f（﹣x）=f（x），可得f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，可得0≤x＜1时，f（x）=1﹣x2递减，f（x）∈（0，1]；当x≥1时，f（x）递减，且f（1）=0，f（x）∈（﹣∞，0]，f（x）在x≥0上连续，且为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，可得f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，可得：（2m﹣1+m）（m+1）≤0，且（2m+2﹣1+m）（m+1）≤0，即为﹣1≤m≤且﹣1≤m≤﹣，即有﹣1≤m≤﹣，则m的最大值为﹣，故选：C．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，若a2+b2=5c2，则cosC的取值范围为（）A． B． C．D．【分析】不妨将c看作定值，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求得A，B的坐标，设C（x，y），由条件可得C的轨迹，讨论C 在y轴上和当CB⊥AB时，运用余弦定理和余弦函数的定义，可得范围．【解答】解：不妨将c看作定值，以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（﹣，0），B（，0），设C（x，y），则+y2++y2=5c2，∴x2+y2=c2；∴点C在以（0，0）为圆心，c为半径的圆上，又△ABC是锐角三角形，当C在y轴上时，AC2=BC2=+=c2，∴cosC==为最小；当CB⊥AB时，代入B（，0），∴C（，c），∴BC=c，AC2=c2+2c2=3c2，即AC=c，∴cosC==（取不到），则cosC的取值范围为[，），故选：C．【点评】本题考查余弦定理的应用，注意运用坐标法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，若，则x=﹣4．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式求解．【解答】解：∵=（2，1），=（x，﹣2），由‖，得2×（﹣2）﹣x=0，解得x=﹣4．故答案为﹣4．【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示，是基础的计算题，属会考题型．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13=52，则a4+a8+a9=12．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，即a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故答案为：12．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，若，，则2a+c的最大值为2．【分析】由正弦定理，将边的问题转化为角的问题，由两角和的正弦公式将其化简，借助辅助角公式，得到一角一函数，由此得到最值．【解答】解：由，，根据正弦定理，=2，∴a=2sinA，c=2sinC且A+C=，∴2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin（﹣A）=5sinA+cosA=2sin（A+φ）其中tanφ=∴2a+c≤2．故答案为2．【点评】本题考查正弦定理，两角和差正弦公式，辅助角公式．16．（5分）已知数列{a n}满足，（n≥2，n∈N*），则a n=．【分析】等式两边同除以n，再取倒数，b n=，可得b n=1+b n﹣1，即有b n﹣2=﹣2），运用等比数列的定义和通项公式，可得b n，即可得到a n．（b n﹣1【解答】解：数列{a n}满足，（n≥2，n∈N*），可得=，取倒数可得=1+•，设b n=，可得b n=1+b n﹣1，即有b n﹣2=（b n﹣2），﹣1则b n﹣2=（b1﹣2）•=（3﹣2）•=，即b n=2+，可得a n=，故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造数列法，考查变形和运算化简能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是公差不为0的等差数列，满足a3=7，且a1、a2、a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），运用等比数列中项性质和等差数列通项公式，解方程可得公差d，进而得到所求通项；（2）求得，由裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），a1、a2、a6成等比数列，有，即，因为a3=7，所以（7﹣d）2=（7﹣2d）（7+3d），解得d=3或d=0（舍），所以a n=3n﹣2；（2）由题意有，所以．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若，，a＞b，求a．【分析】（1）由正弦定理，将边的问题转化为角的问题，由此能求出B．（2）由余弦定理．b2=a2+c2﹣2accosB，即可得到a．【解答】解：（1）因为，由正弦定理，将其转化为：=所以，而sinA≠0，故，所以．（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，得7=12+a2﹣6a，解得a=5或a=1，∵a＞b∴a=1（舍）取a=5．【点评】本题考查△ABC的面积的求法，考查BM长的求法，考查sin∠AMB的值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．19．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【分析】（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．【解答】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．【点评】本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．20．（12分）如图，△ABC中，，D是边AB上一点，BD=2AD，（Ⅰ）若，求BC；（Ⅱ）求△BCD面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin∠ACD的值，由正弦定理可求AD，CA的值，进而可求AB的值，在△ABC中，由余弦定理可求BC的值．（Ⅱ）记∠ACD=α，设AD=x，AC=y，可求，由余弦定理，基本不等式进而可求△BCD面积最大值．（Ⅰ）在△ACD中，由，，得：，【解答】解：所以=，由正弦定理，，．因为BD=2AD，所以AB=3AD=3．△ABC中，由余弦定理，，所以．（Ⅱ）记∠ACD=α，则，且．因为BD=2AD，=2S△ACD，所以△BCD面积S△BCD设AD=x，AC=y，所以，在△ACD中，，，所以△BCD面积取得最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和且满足S n=2a n﹣2，在数列{b n}中满足a2=4b1，（1）求数列{a n}的通项公式，并证明为等差数列；（2）设，令T n为{P n}的前n项的和，求T n．【分析】（1）S n=2a n﹣2，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n﹣1．当n=1时，S1=2a1﹣2，解得a1．利用等比数列的通项公式可得a n，可得b1=1，由题，可得，利用等差数列的通项公式可得b n．（2），利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）S n=2a n﹣2，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1．当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2．综上，{a n}是公比为2，首项为的2等比数列，．∵a2=4b1，∴b1=1，由题，∴，∴是等差数列，∴．（2），∴T n=3+7×4+11×42+……+（4n﹣1）•4n﹣1，∴4T n=3×4+7×42+……+（4n﹣5）•4n﹣1+（4n﹣1）•4n，上述两式相减得，解得．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在△ABC中，BC=1，AC=2，以边AB为一边长向外作正方体ABEF，O为方形ABEF的中心，M，N分别为边BC，AC的中点．（1）若，求CO的长．（2）当∠BCA变化时，求OM+ON的最大值．【分析】（1）由已知可得∠OBC+∠OAC=π，可求cos∠OBC=﹣cos∠OAC，由余弦定理进而解得CO的值．（2）取AB的中点为H，连接MH，设∠BCA=α．在△ABC中，由正余弦定理可求，在△MHO中，由余弦定理可得OM2=+sinα﹣cosα，同理：，设，可得，由函数的单调性得OM+ON的最大值．【解答】解：（1）因为，所以：∠OBC+∠OAC=π，可得：cos∠OBC=﹣cos∠OAC，由余弦定理，可得：CO2=BO2+BC2﹣2BO•BCcos∠OBC，CO2=AO2+AC2﹣2A O•ACcos∠OAC，解得：．（2）取AB的中点为H，连接MH，设∠BCA=α．在△ABC中，由正余弦定理，，在△MHO中，由余弦定理，=，同理：．设，所以，由函数的单调性得OM+ON的最大值为．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

重庆市大学城第一中学校2021-2021学年高一数学下学期期中试题文〔含解析〕一、单项选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1.1.a,b为非零实数，且，那么以下不等式成立的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】此题考察不等式的性质及推理能力.因为，当时，所以A错误；当时，所以B错误；所以C正确；当时，2.2.数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，那么a2为〔〕.A. －2B. －3C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】用表示，利用求出.【详解】.因为成等比数列，故即，解得，应选D.【点睛】等差数列中，是根本量，一般地，我们可把等差数列的问题归结为两个根本量的方程或方程组.需要注意的是等差数列的任意两项都可以作为根本量.中，分别是内角的对边，假设，，，那么〔〕A. 14 B. 6 C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，，∴，应选D．【考点】此题主要考察解三角形．4.4.?九章算术?“竹九节〞问题:现有一根节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面节的容积共升,下面节的容积共升,那么第节的容积为〔〕A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】设该等差数列为，公差为．由题意得，即，解得．∴．选B．5.5.实数x，y满足条件，那么3x＋5y的最大值为〔〕.A. 12B. 9C. 8D. 3【答案】A【解析】【分析】画出可行域，平移动直线可得最大值.【详解】可行域如下图：令，当动直线过时，有最大值且，应选A.【点睛】一般地，二元一次不等式组条件下二元线性目标函数的最值，可以利用线性规划来求解，注意动直线的斜率与直线斜率的大小关系.满足，那么A. -2B. -1C. 2D.【答案】C【解析】因为数列满足，同理可得，数列是周期为的数列，那么，应选C. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，假设a cos B＋b cos A ＝c sin C，S＝ (b2＋c2－a2)，那么B等于〔〕.A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin〔A+B〕=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=〔b2+c2-a2〕，解得a=b，因此∠B=45°．考点：正弦定理的应用.视频中，假设，那么的形状是( )A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】题设中的边角关系可以转化为，故可判断三角形的形状.【详解】有正弦定理有，因，故化简可得即，所以或者，.因，故或者，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.应选A.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，那么实数m的取值范围是〔〕.A. (－2,2]B. (－2,2)C. (－∞，－2)∪[2，＋∞)D. (－∞，2]【答案】A【解析】【分析】原不等式可以转化为在上恒成立，分三种情形讨论即可.【详解】原不等式可整理为〔★〕.当时，★对应的二次函数的开口向下，其在上不可能恒成立.当时，★恒成立，故符合.当时，有，解得.综上，，应选A.【点睛】上的含参数的不等式的恒成立问题，可先确定不等式的类型，在根据不等式对应的函数图像得到相应的判断条件即可.中，，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，那么抽走的项是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为，故可确定抽走的是哪一项.【详解】因为，所以即.有得，设抽去一项后余下的项的和为，那么，故抽取的一项的大小为，所以抽走的项为，应选A.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，那么有性质：〔1〕假设，那么；〔2〕且；〔3〕且为等差数列；〔4〕为等差数列.，距离为海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，那么此时灯塔C位于游轮的( )A. 正西方向B. 南偏西方向C. 南偏西方向D. 南偏西方向【答案】C【解析】【分析】根据题设中的方位角画出，在中利用正弦定理可求出的长，在中利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求的大小〔即灯塔的方位角〕.【详解】如图，在中，，由正弦定理有，.在中，余弦定理有，因，，，由正弦定理有，，故或者.因，故为锐角，所以，应选C.【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差异.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.中,,,分别是角,,的对边,=,那么的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由求出，然后可把化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数的性质得取值范围.详解：由得，即，∴，∴，从而，∴，又，∴，∴，，∴.应选B.点睛：求三角函数的取值范围及其他性质问题，一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即的形式，其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等，掌握这些公式是解题的根底.填空题，本大题共4个小题，每题5分，总分值20分.13.13.不等式的解集是________.【答案】〔-7,3〕【解析】【分析】分式不等式转化为一元二次不等式后再求解即可.【详解】原不等式等价于，故不等式的解为，故填.【点睛】一般地，等价于，而那么等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.中，假设，那么＝ _______．【答案】1【解析】【分析】先利用正弦定理计算出，利用内角和为得到，最后利用等腰三角形求出．【详解】因，所以，故为锐角.由正弦定理有，故，故，所以，因此，所以，填1.【点睛】三角形中共有七个几何量〔三边三角以及外接圆的半径〕，一般地，知道其中的三个量〔除三个角外〕，可以求得其余的四个量.〔1〕如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；〔2〕如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三条边〕；〔3〕如果知道两角及一边，用正弦定理.的前项和为，假设，那么______________【答案】【解析】因为等比数列的前n项和为，那么构成等比数列，那么利用关系式可知16.16.在等差数列｛a n｝中，S n为它的前n项和，假设a1＞0，S18＞0，S19＜0，那么当S n最大时，n的值为________________.【答案】9【解析】【分析】利用等差数列的性质可得，，从而，所以最大.【详解】因为是等差数列，所以，所以.又，故，因此，所以，填.【点睛】〔1〕一般地，数列的前项和的最值取决于项何时开场变号.〔2〕如果等差数列的前项和为，那么，，解题中应用这个性质可快速得到中间项的性质.三、解答题，本大题共6个小题，第17题10分，其余均为12分每题，总分值共70分为等差数列，且，．〔1〕求的通项公式；〔2〕假设等比数列满足，，求数列的前项和公式．【答案】(1);(2).【解析】本试题主要是考察了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。