2015届高考数学第一轮基础巩固训练题61.doc

第5讲 指数与指数函数基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·樟树模拟)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x解析 由条件可知在(0，＋∞)上，函数f (x )递增，所以选C. 答案 C2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图像可能是( )．解析 当a ＞1时单调递增，且在y 轴上的截距为0＜1－1a ＜1时，故A ，B 不正确；当0＜a ＜1时单调递减，且在y 轴上的截距为1－1a ＜0，故C 不正确；D 正确．答案 D3．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( )． A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b ，选A. 答案 A4．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )．A ．10B ．10C ．20D ．100解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10. 答案 A5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )．A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图像与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，所以a b ∈(0,1)． 答案 C 二、填空题 6.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________． 解析a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a 45＝a 3－12－45＝a 1710. 答案 a 17107．(2013·宝鸡模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a ＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0,1)8．函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析 当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)． 当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32. 答案 12或32 三、解答题9．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？ (2)若f (x )是偶函数，求a 的值．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ， ∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋ae x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫e －xa ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0，显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e x a ＋a e x ＝e －xa ＋a e－x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x )＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a ＝0，得a ＝±1.10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解 令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·赣州模拟)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系式中一定成立的是( )．A ．3c ＞3bB ．3b ＞3aC ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析 作f (x )＝|3x －1|的图像如图所示，由图可知，要使c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0且a ＞0，∴3c ＜1＜3a ，∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1， 又f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1， 即3a ＋3c ＜2，故选D. 答案 D2．(2014·吉安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤13， 611C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611. 答案 B 二、填空题3．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 解析 由图像平移知识及函数f (x )＝a x 过定点(0,1)知，m ＝9. 答案 9 三、解答题4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )．由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4a ＋3＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a的值等于1.。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解椭圆及其性质考点要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长 短轴长为2b ，长轴长为2a焦点 F 1(－c ,0)，F 2(c ,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率e ＝ca (0<e <1)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2常用结论 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大． (2)12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．(×) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A ．4B ．5C ．8D ．10 答案D解析依椭圆的定义知， |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1 答案A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一 椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16，∴|F 1P |·|PF 2|＝163， ∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4. 教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为() A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为()A ．7 B.74 C.72 D.752答案C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x24＋y23＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋ 5 B．6 C．25＋2 D．8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________． 答案x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎨⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为() A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝8，a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)， 所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4， 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8， 所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5， 所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为() A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义， 得|AF 1|＝2a －32.①在Rt△AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1离心率例4(1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55 B.12 C.33 D.22答案A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ,0)，由点到直线距离公式， 得c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2， 解得c a ＝55. (2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1答案B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的范围(最值)例5(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， 所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.教师备选1．嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列选项中正确的是()A．焦距长约为400公里 B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为75 994答案D解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为12×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150,2c＝300，椭圆的离心率约为e＝ca＝1501988＝75994，可得D正确，A，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8 答案C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1 B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形， ∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ， ∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34答案A 解析如图，当P 在上顶点时，∠APB 最大， 此时∠APB ≥120°，则∠APO ≥60°，所以tan∠APO ≥tan60°＝3， 即a b≥3，a 2≥3b 2，a 2≥3(a 2－c 2)， 所以2a 2≤3c 2，则c a ≥63， 所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1D.x 29＋y 25＝1 答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9， 所以b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24 答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2] 答案C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )， 则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]．4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是()A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4， 由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ， 由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.5．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为() A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1.6．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法不正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案B解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上， 所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |， 又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b >1,2b >2， 所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b2<1，即b 2＋a 2－a 2b 2<0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2， 所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)<0， 化简可得a 4－3a 2＋1>0(a >1)， 解得a 2>3＋52或a 2<3－52(舍去)， 则椭圆C 的离心率e ＝ca<13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12， 所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点， 而P (1,1)，F 1(－1,0)， 所以Q (－3，－1)， |QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2 ＝5＋17＝2a ， 所以D 正确．7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8. 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎨⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程． 解(1)由题意得，A (－a ,0)，EF 2：x ＋y ＝c ， 因为A 到直线EF 2的距离为62b ， 即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)， 所以2c 2＋ac －a 2＝0， 因为离心率e ＝c a， 所以2e 2＋e －1＝0， 解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3， 则12|PF 1||PF 2|sin60°＝3， 所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是() A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为453答案C解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当P 在椭圆上、下顶点时， cos∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误； 若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4，2PA k ＝y ′x ′－4，有1PA k ·2PA k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)， 即有1PA k ·2PA k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27， 即2c ·|y ′|2＝27， 故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 错误． 12．2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论不正确的是()A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案C解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案D解析设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得 |PF 2|＝|F 1F 2|， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 答案25555解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e (0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________． 答案[1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1. ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3， ∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a|PF 1|(2a －|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4， 即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)， 所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2， 所12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2， 所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

高考数学复习考点知识讲解与专题练习抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A.2B.3C.4D.8解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为()±2p ，0， 所以p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8. 答案 D5.(2020·山东名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54 D.74解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C. 答案 C6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案[－1，1]考点一抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】(1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x(2)(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为()A.2B.3C.－ 2D.－ 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析(1)由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).＝2，设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.(2)如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为3；当点B在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为－ 3.(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案(1)D(2)BD(3)y2＝4x规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练1】(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4B.x＝－3C.x＝－2D.x＝－1(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.解析 (1)直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4，0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4，0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |，∴在直角三角形PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，∴⎩⎨⎧py 0＝8，y 0＋p2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，y 0＝2. 答案 (1)A (2)2考点二 与抛物线有关的最值问题多维探究角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|PA |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|PA |－|PF |的最小值为________，最大值为________.解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF |＝|PH |，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PH |，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.答案(1)3(2)－2 2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.角度2到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P 到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案 5规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解. 角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C.1 D.2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 答案 D规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解. 角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 由题意知F (1，0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案 2规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】(一题多解)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.解析 法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 答案 43规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到 A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1，0).根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.答案 (1)A (2)17－1考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l 的方程为：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13. 所以A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0).∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2).∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2).数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5 D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ， 设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( ) A.5 B.6 C.163D.203[一般解法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 CA 级 基础巩固一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·福州调研)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B. 答案 B3.(2020·烟台调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x解析 因为AB ⊥x 轴，且AB 过焦点F ，所以线段AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D. 答案 D4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.答案 C5.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355 B.2 C.115 D.3解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案 B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝ －2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.(2020·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|的值为________. 解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案 38.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，由于p >0，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .答案 x 2＝16y 三、解答题9.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.10.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值. 解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.B 级 能力提升11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A.1∶2B.1∶3C.1∶ 2D.1∶ 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，∵直线l 过点F 和点M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1）得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A.答案 A12.(2020·长沙调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解析 由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B13.(2020·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.解析 由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN →得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，∴x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.答案 7414.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.C 级 创新猜想15.(多选题)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则下列结论正确的有( )A.若AB 的斜率为1，则|AB |＝8B.|AB |min ＝4C.若AB 的斜率为1，则x M ＝2D.x A ·x B ＝－4解析 由题意得，焦点F (0，1)，对于A ，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立， 得⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则A 正确；对于B ，|AB |min ＝2p ＝4，则B 正确；对于C ，当AB 的斜率为1时，因为y ′＝x 2，则x M 2＝1，∴x M ＝2，则C 正确；设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，则D 正确；答案 ABCD16.(多填题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，则抛物线C 的方程是________；若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则|FN |＝2(1＋2)＝6. 答案 y 2＝8x 6。

一轮复习综合验收题精讲(二)主讲教师：王春辉 北京数学特级教师选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一：计算120x dx =⎰（ ）． (A)2(B) 1(C)13(D)14题二：圆1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的极坐标方程是（ ）． (A)cos ρθ= (B) 2cos ρθ= (C)sin ρθ= (D) 2sin ρθ=题三：若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）． (A)3- (B) 13- (C) 3 (D)13题四：下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出 //AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）．(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④题五：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =．若a 2-b 与c 共线，则k =（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4题六：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）．（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C ）丙地：中位数为2，众数为3 （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3题七：ABC ∆中，3||=→AB ，1||=→BC ， =→B AC cos ||A BC cos ||→，则=⋅→→BC AB （ ）．(A)23-或1- (B) 32或1 (C) 23-或2- (D)23或2题八：在ABC ∆中，3,2==AC AB ，D 是边BC 的中点，则=⋅→→BC AD ( )． (A) 5 (B) 25 (C) 23(D) 4题九：函数)(x f )(log 3ax x a -=)1,0(≠>a a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）．(A))1,41[ (B))1,43[ (C)),49(+∞ (D))49,1(题十：设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(,3)D t ()t ∈R ．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（ ）． （A ）}9,8,6{（B ）}9,8,7{（C ）}8,7,6{（D ）}9,8,7{填空题题一：设不等式组2220x y a x y -⎧⎪⎨⎪+-≥⎩≤≤≤≤0(0)a >确定的平面区域为U ．在区域U 内任取一个点(,)M s t ，已知s t +的最大值为4，则此点到坐标原点的距离不大于2的概率是 .题二：直线1:2)l y x =-关于直线:l y kx =对称的直线2l 与x 轴平行，则k = ．题三：中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日）的对角线走．例如马从方格中心点O 走一步，会有8种走法．则从图中点A 走到点B ，最少需______步，按最少的步数走，共有______种走法．题四：把函数:(1,2,,)k f k i k n →=称为1,2,,n 这n 个整数的一个“置换”，记作：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i i i n ,,,,2,121，其中},,2,1{n ={n i i i ,,,21 }．置换f 与g 的积（记作g f ）仍为置换，且)]([)(k g f k g f = ，n k ,,2,1 =． （1）1,2,,n 这n 个整数的不同“置换”共 个；（2）求置换的积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= ．解答题题一：(理)在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小；（2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.题二：(文)已知：点P 到定点)0,1(-M 、)0,1(N 的距离之比为2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．题三：某村子有1000人，因附近工厂有毒物质泄漏，现要对每个人的血液进行化验。