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动力学基本定律和守恒定律

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1 第2章 动力学基本定律补充题 1. 一质量为m的质点以不变速率v沿T2-2-10图中正三角形ABC

的水平光滑轨道运动．质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大

小为 vm3 ． 2. 一质点受力ixF23(SI)作用, 沿x轴正方向运动. 在从x = 0到x = 2m的过程中, 力F作功为 8 J ． 3. 一个质点在几个力同时作用下的位移为:kjir654(SI), 其中一个恒力为:

kjiF953(SI)．这个力在该位移过程中所作的功为 67 J ．

4. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0jyixFF作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到

)2,0(R位置过程中，力F对它所作的功为=202RF

5. 质量为m = 0.5kg的质点在xOy平面内运动,其运动方程为x = 5t, y = 0.5 t2 (SI), 从t = 2s到t = 4s这段时间内, 外力对质点作的功为 3J ． 6. 一长为l，质量为m的匀质链条，放在光滑的桌面上，若其长度的1/5悬挂于桌边下，将其慢慢拉回桌面，需做功 mgl501 ． 7 一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力2/rkF的作用下，作半径为r的圆周

运动，此质点的速度v mrk ．若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机械能E rk2 ．

T2-2-10图 ABC

XYRO T2-2-14图 2

8. 两小球的质量均为m，小球1从离地面高为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速0v同时竖直上抛．设空气阻力与小球的速率成正比，比例系数为k (常量)．试求两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度．

解：两小球均受重力和阻力的作用．小球1向下运动，速度为负，阻力-kv沿+y向，所受合力为-kv- mg. 小球2向上运动，速度为正，阻力、重力均沿-y向，合力亦为-kv –mg，故两小球的动力学方程具有如下相同的形式

mgktymv2

2

dd

(1)

由动力学方程(1)有 gmktvvdd分离变量 tgmkddv

v (2)

对小球1，其初始条件为t = 0 时，v10 = 0 ，y10 = h ．积分(2)式 ttgmk00d

d1v

vv

得 )e1(-1tmkkmgv (3)对小球2，其初始条件为t = 0 时，v20 = v0 ，y20 = 0．积分(2)式 ttgmk0d

d2

0

v

vv

v

得 kmgkmgtmk-02e)(vv (4) 对小球1，由(3)式有 )e1(dd-1tmkkmgty，利用初始条件积分得 tkmgkgmhytmk)e1(-2

2

1 (5)

对小球2，由(4)式利用初始条件积分得 tkmgkmgkmytmk)e1)((-02v (6)

(1) 两小球相遇时， y1 = y2 ，由(5)、(6)式可得相遇时间

T2-3-2图 10v

y

h2O

A2-3-2图 10v

y

h2O 3

)1ln(0vmkhkmt (7)

(2) 将(7) 代入(5)或(6)式得相遇地点为 )1ln()1(0220vvmkhkgmhkmgy (8)

(3) 将(7)式分别代入(3)和(4)中可得相遇速度：

001)]1(1[vvvghmkhkmg (9)

mkhghkmgmkhkmg)()1)((

00002vvv

vv (10)

9. 已知一水桶以匀角速度 绕自身轴z转动，水相对圆筒静止，求水面的形状(z - r关系)．

解： 以水表面任一小体积隔离体m作为研究对象，m受力为重力mg及水对水面m的作用力N (水面)，稳定时无切向力(见A2-3-6图) m作匀速圆周运动 ra2 Z方向 0cosmgN (1) -r方向 rmN2sin (2)

由(1)、(2) 式有 rzgrddtan2

积分有 rrgzzzrd )(d002 得 022)2(zrgz 水面是旋转抛物面

10. 如T2-3-9图所示，砂子从h＝0.8m高处下落到以3 ms-1的速率水平向右运动的传送带上．取重力加速度g＝10 ms-2，求传送带给予沙子的作用力．

T2-3-7图

h T2-3-9图

水 rO

m

mg

N

0zz

r

z

面 A2-3-7图 4

解：设单位时间内落到传送带上砂子的质量为p．以tttd~时间内落下的砂子dm为研究对象，视为质点tpmdd 根据质点的动量定理，在dm落到传送带上到与传送带一起运动的过程中

0ddddvvmmtFI 式中 101sm48.01022,sm3ghvv

0vv



pF

由A2-3-9矢量图可见，F与水平方向夹角为 5334tgtg01

v

v

11. 矿砂从传送带A落到另一传送带B(如T2-3-10图)，其速度的大小11sm4v，速度方向与竖直方向成30°角；而传送带B与水平线成15°角，其速度的大小12sm2v．如果传送带的运送量恒定，设为1hkg2000mq，求矿砂作用在传送带B上的力的大小和方向．

解：设在极短时间△t内落在传送带B上矿砂的质量为m， 即tqmm，如A2-3-10矢量图所示，矿砂动量的增量 12vvv



mmm

设传送带对矿砂平均作用力为F，由动量定理, tF

12vvv



mmm





75cos221222112vvvvvvmqtmF

N21.275cos242243600200022

方向由正弦定理确定: sin75sin2vvmm → 29 由牛顿第三定律，矿砂作用在传送带B上作用力与F大小相等，方向相反，即大小为2.21N，方向偏离竖直方向1°，指向前下方．

A2-3-9图 0dvm

hmdvmd

tFIdd

A2-3-10图 2vm

1vm

vm

15

30

T2-3-10图

30

1

v

2v

15

B

A 5

12. 高为h的光滑桌面上，放一质量为M的木块．质量为m的子弹以速率v0沿图示方向( 图中 角已知)射入木块并与木块一起运动．求： (1) 木块落地时的速率； (2) 木块给子弹的冲量的大小．

解：(1) m和M完全非弹性碰撞, 水平方向无外力，系统水平动量守恒 vv)(cos0Mmm 

m和M一起由桌边滑下至落地，无外力，只受重力(保守内力)作用，系统机械能守恒 以地面为重力势能零点，

22)(21)()(21VMmghMmMmv 

由、式得m和M落地的速率

ghMmmghV2)cos(2202v

v

(2) 对m用质点的动量定理，M对m的冲量的两个分量为 MmmMmmIxcoscos00

vvv

sin)sin(000vvmmIy

M对m的冲量的大小为 202022)sin()cos(vvmMmMIIIyx

13 一人从10m深的井中提水，起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．

解：如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为y正方向．因为匀速提水，所以人的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置面变化而变化，在高为y处，拉力为 kgymgF

式中 ,kg11)110(m1mkg2.0k． 人作功为

T2-3-14图 m0

v

hM

A2-3-14图 Om

yxvm

0

vm

I

Ohy A2-3-15图

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流体力学的基本定理质量动量能量守恒原理

流体力学的基本定理质量动量能量守恒原理

流體力學的基本定理質量動量能量守恒原理流体力学的基本定理-质量、动量、能量守恒原理引言：流体力学是研究流体静力学和动力学的科学。

在研究流体的运动和行为时，有一些基本的定理被广泛应用，包括质量守恒原理、动量守恒原理和能量守恒原理。

这些原理为我们深入理解和解释流体运动提供了重要的基础。

一、质量守恒原理：质量守恒定律是流体力学中最基本的定理之一，它表明在流体中，质量是守恒的。

简单来说，当流体通过一个封闭系统时，系统内的质量总量不会改变。

这可以用一个简单的数学表达式来表示：∂ρ/∂t + ∇(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇是偏微分算子。

这个方程说明了质量的变化由流体的输运和流动引起。

二、动量守恒原理：动量守恒定律是流体运动研究中的另一个基本原理。

根据牛顿第二定律，当外力作用于一个质点时，它的动量会发生改变。

对于流体，可以将这个定律推广到流体微团上，得到了动量守恒原理。

∂(ρv)/∂t + ∇(ρv⋅v) = -∇p + ∇⋅τ + ρg其中，p是流体的静压力，τ是黏性应力张量，g是重力加速度。

这个方程描述了流体内的动量变化是由压力、黏性应力和重力引起的。

三、能量守恒原理：能量守恒定律是流体运动研究中的第三个基本原理。

在流体中，能量是守恒的，包括内能、动能和位能。

∂(ρE)/∂t + ∇⋅(ρEv) = -p∇⋅v + ∇⋅(k∇T) + ρgv其中，E是单位质量的总能量，k是热传导系数，T是温度。

这个方程表示了流体的能量变化是由压力、热传导和重力引起的。

结论：流体力学的基本定理——质量守恒原理、动量守恒原理和能量守恒原理，为我们研究和理解流体的运动和行为提供了重要的方法和工具。

这些定理在工程实践和科学研究中有着广泛的应用，对于预测和解释自然界中的流体现象至关重要。

正是基于这些基本原理，我们能够更好地理解流体力学的本质，并为实际问题的解决提供科学的依据和方法。

（字数：525字）。

动量定理及动量守恒定律

动量定理及动量守恒定律


20
动量定理及动量守恒定律
oy N1 − m1g = 0 又f1max = N1μ1
以 m2 为隔离体，m2 受重力W = m2 g ;桌面的支持力 N2 ; m1 的压力 N1′ （大小与 N1 相等）; m1 作用在 m2 上的最大静摩擦力 f1max′（大小与 f1max 相等） ;桌面作用在 m2 上的
oA y A W3 − TA′ − TB′ = m3a3
(7)
因为不计滑轮及绳的质量，不计轴承摩擦. 且已知绳不可伸长.
∴ TA = TB = TA′ = TB′ = T
f A ,绳的拉力 TA , A 的动力学方程为

动量定理及动量守恒定律
W1 + N A + f A + TA = m1a1 建立如图 3.5.7（1）所示的坐标系 oA − xA y A .
oA xA TA − f A = m1a1
(1)
oA y A W1 − N A = 0
(2)
且 fA = NAμ
动量定理及动量守恒定律
第三章 动量定理及动量守恒定律
(Momentum and Conservation Law of Momentum)
一、内容简介（Abstract） 1．牛顿第一定律（Newton’s first law)
孤立质点静止或作等速直线运动，即质点在不受力或所受力的合力为零时，将保持静 止或匀速直线运动状态不变.（惯性定律） 2．牛顿第三定律（Newton’s third law）
g
y
x o
N
2
α m2
a2
W2
N1′
图3.5.（5 3）
y′
N1 f∗
m1
万事万物规律

万事万物规律

万事万物规律万事万物都遵循着一定的规律，这些规律反映了自然界的本质和规律性。

人类在长期的实践中，通过自己的认知和总结，不断地发掘和揭示了这些规律。

下面将从物理、化学、生物等多个方面简要介绍一些规律。

1. 物理规律：在物理学中，最基本和最普遍的规律是物质守恒、能量守恒和动力学基本定律。

物质守恒原理指的是物质在任何情况下都不会凭空消失或创造，物质的质量不会变化。

能量守恒原理指的是能量在各种物理过程中之间可以相互转化，而总能量守恒，能量不能凭空消失或创造，不能把物质的永久运动由静止转变为永久运动。

动力学基本定律包括牛顿三定律和能量守恒定律，它们为了解物体的运动提供了一个统一的框架，是研究运动学、力学和物理学的基础。

2. 化学规律：化学基本定律主要包括质量守恒定律、化学变化中能量守恒定律、恒量比例定律，以及电化学中的法拉第定律和电化学电量当量定律等。

质量守恒定律指的是化学反应中反应物的质量等于生成物的质量，质量守恒性是化学反应的基本特征；化学变化中能量守恒定律指的是在化学反应中，反应前后系统的内能相等，所释放或吸收的热量涉及到反应物的热化学能以及反应物的热化学能；恒量比例定律指的是在相同条件下，气体的物理化学性质与气体分子的大小、形状、数目等相关，以及化学反应中物质的分子量和摩尔比等所遵守的规律。

法拉第定律和电化学电量当量定律则是化学反应中电子传递和电极反应的基本性质和规律。

3. 生物规律：在生物领域，基本定律包括生物学中的物种演化定律，以及更具体的生命现象中有关繁殖、遗传、生长、代谢等方面的规律。

例如，生物群体是遵循一定优胜劣汰的演化过程的，适应性强的种群生存和扩散，不利于生存的会被淘汰；在繁殖和遗传过程中，具有遗传优势的基因会被传递，这一过程遵循门捷列夫-门多尔定律；在生长和代谢过程中，营养、环境等因素与生物的内在发展规律相互作用，不同物种的生长和代谢也有不同的规律和特点。

综上所述，万事万物都受到一定的规律性约束，在我们的观察和研究中，可以发掘和总结这些规律，并运用它们来预测、解释和改变自然界的现象和现实。

机械能守恒定律3种表达式_机械能量守恒定律公式汇总

机械能守恒定律3种表达式_机械能量守恒定律公式汇总

机械能守恒定律3种表达式_机械能量守恒定律公式汇总机械能守恒定律的概念在只有重力或弹力做功的物体系统内（或者不受其他外力的作用下），物体系统的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总能量保持不变。

这个规律叫做机械能守恒定律。

机械能守恒定律（lawofconservationofmechanicalenergy）是动力学中的基本定律，即任何物体系统。

如无外力做功，系统内又只有保守力（见势能）做功时，则系统的机械能（动能与势能之和）保持不变。

外力做功为零，表明没有从外界输入机械功；只有保守力做功，即只有动能和势能的转化，而无机械能转化为其他能，符合这两条件的机械能守恒对一切惯性参考系都成立。

这个定律的简化说法为：质点（或质点系）在势场中运动时，其动能和势能的和保持不变；或称物体在重力场中运动时动能和势能之和不变。

这一说法隐含可以忽略不计产生势力场的物体（如地球）的动能的变化。

这只能在一些特殊的惯性参考系如地球参考系中才成立。

如图所示，若不考虑一切阻力与能量损失，滚摆只受重力作用，在此理想情况下，重力势能与动能相互转化，而机械能不变，滚摆将不断上下运动。

机械能守恒定律守恒条件机械能守恒条件是：只有系统内的弹力或重力所做的功。

【即忽略摩擦力造成的能量损失，所以机械能守恒也是一种理想化的物理模型】，而且是系统内机械能守恒。

一般做题的时候好多是机械能不守恒的，但是可以用能量守恒，比如说把丢失的能量给补回来。

从功能关系式中的WF外=△E机可知：更广义的机械能守恒条件应是系统外的力所做的功为零。

当系统不受外力或所受外力做功之和为零，这个系统的总动量保持不变，叫动量守恒定律。

当只有动能和势能（包括重力势能和弹性势能）相互转换时，机械能才守恒。

机械能守恒定律的三种表达式1．从能量守恒的角度选取某一平面为零势能面，系统末状态的机械能和初状态的机械能相等。

2．从能量转化的角度系统的动能和势能发生相互转化时，若系统势能的减少量等于系统。