§3 全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
知识点一 全称量词和全称命题
短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.
知识点二 存在量词与特称命题
短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题叫作特称命题.
【预习评价】
(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？
(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示 (1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.
(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.
题型一 全称量词与全称命题
【例1】 试判断下列全称命题的真假：
(1)任意实数x，使x2＋2>0；
(2)所有自然数x，使x4≥1；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)由于任意实数x，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“对于任意实数x，x2＋2>0”是真命题.
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“所有自然数x，x4≥1”是假命题.
(3)由于任意角α，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.
规律方法 判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.
全称量词与存在量词知识集结知识元全称量词与全称命题
知识讲解1．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）
表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
例题精讲
全称量词与全称命题
例1.存在x>0，3x（x-a）<2，则a的取值范围为（）A．（-3，+∞）B．（-2，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）
例2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列命题错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是函数f（x）的极大值点，则f（x）在（x0，+∞）上是增函数D．函数f（x）可能是R上的增函数
§3 全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
3.3 全称命题与特称命题的否定
1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)
3.能判断含一个量词的命题的真假.(易混点)
教材整理1 全称量词与全称命题
阅读教材P11上半部分，完成下列问题.
“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.
下列命题是全称命题的个数是( )
①任何实数都有平方根；
②所有素数都是奇数；
③有的等差数列是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 ①②④是全称命题，故选D.
【答案】 D
教材整理2 存在量词与特称命题
阅读教材P11下半部分～P12上半部分，完成下列问题.
“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作特称命题.
“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)
【解析】 含的量词是有些，为存在量词.
【答案】 有些 存在
教材整理3 全称命题与特称命题的否定
阅读教材P12下半部分～P13，完成下列问题.
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.
命题“对任意一个实数x，都有x＋1≥0”的否定为________.
【解析】 此命题为全称命题，其否定为特称命题.
【答案】 存在一个实数x0，使x0＋1＜0成立
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
§3 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词与全称命题的定义
[填一填]
(1)在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，像这样含有全称量词的命题叫作全称命题．
(2)在某些全称命题中，有时全称量词可以省略．
[答一答]
将下列不含全称量词的全称命题改写成含有全称量词的命题．
(1)不共线的三点确定一个平面；
(2)平行线不相交；
(3)对顶角相等．
提示：(1)任意不共线的三点都可以确定一个平面．
(2)任意两条平行线都不相交．
(3)每一组对顶角都相等．
知识点二 存在量词与特称命题的定义
[填一填]
在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．
[答一答]
下列各命题中含有的量词分别是什么？
(1)任意实数的平方都是正数；
(2)0乘以任何数都等于0；
(3)任何一个实数都有相反数；
(4)△ABC的内角中有小于60°的角．
提示：(1)任意 (2)任何 (3)任何 (4)有
知识点三 全称命题、特称命题的否定形式
[填一填]
(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．
(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．
[答一答]
1．命题的否定和否命题的区别与联系．
提示：命题的否定是只否定命题的结论，而否命题是条件和结论同时否定，原命题和命题的否定必须一真一假，原命题和否命题没有
固定的真假关系．
2．如何写出含有量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有何变化？
提示：写含有量词的否定，不只是否定命题的结论，还要把全称量词改为存在量词或把存在量词改为全称量词．
