初中数学竞赛练习题集
数论部分
1.求满足22
282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .
2.设b a 、为整数，y x 、为整数，
证明：形如by ax +的正整数中，最小值),(b a by ax =+00. 3.求方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解.
4.正整数n 满足当210≥≥k 时，有)(mod k k n 1-≡，求n 的最小值.
5.a 是三位数，b 是一位数，且1
2
2++ab b a b a 、都是整数，求a b +的最大值与最小值. 6.已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，且b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，求b 的值.
7.试求出所有这样的正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.
8.是否存在质数q p 、，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？
9.已知n m 、均为正整数，且n m >，n n m m +=+2220072006. 证明：n m -是为完全平方数.
10.已知k 为常数，关于x 的一元二次方程0864222=+-+-x k x k k )()(的解都是整数，求k 的值.
11.已知n 为自然数，20091092+-n n 能表示为两个连续自然数之积，求n 的最大值.
12.设a 是3的正整数次幂，b 是2的正整数次幂，试确定所有这样的b a 、，使得二次方程20x ax b -+=的根是整数.
13.是否存在这样的正整数n ，使得2371n n +-能整除32
1n n n +++?请说明理由.
14.求使得2(1)(2)(3)12n n n n ++++可表示为2个正整数平方和的自然数n 的个数.
15.证明：存在无穷多对正整数(),m n ，满足方程()2225107m n mn m n +=++. 16.求方程323
652x x x y y ++=-+的整数解.
17.已知b a 、都是正整数，试问关于x 的方程21()02
x abx a b -+
+=是否有两个整数解？ 18.求方程22208()x y x y +=-的所有正整数解. 19.设a 为质数，b 为正整数，且2
9(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ，b 的值.
20.已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和.
21.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程()0122=-+++r x r rx 有根且只有整数根. 22.已知p 为质数，使二次方程01522
2=--+-p p px x 的两根都是整数，求出所有可能的p 的值.
23.求方程[]0514042=+-x x 的解.
