高考数学总复习之【最值问题】专题

专题 最值问题

【考点聚焦】

考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积.

考点2：解斜三角形.

考点3：线段的定比分点、平移.

考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.

考点5：向量在物理学中的运用.

【自我检测】

1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，

2、求几类重要函数的最值方法；

（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；

（2）),0()(Raaxaxxf:均值不等式法和单调性加以选择；

（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.

3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)

【重点难点热点】

问题1：函数的最值问题

函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.

例1：(02年全国理1) 设a为实数，)(1)(2Rxaxxxf，

（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值．

思路分析：(1)考察)(xf与)(xf是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．

(1)解法一：(利用定义)2)(xxf＋1ax，2)(xxf.1ax 若22),()()(xxfxfxf即为奇函数，则Rxaxax此等式对＋.02

都不成立，故)(xf不是奇函数；

若)(xf为偶函数，则)()(xfxf，即2x＋21xax,1ax此等式对Rx恒成立，只能是0a．

故0a时，)(xf为偶数；0a时，)(xf既不是奇函数也不是偶函数．

解法二：(从特殊考虑),1)0(af 又Rx，故)(xf不可能是奇函数．

若0a，则)(xf1)(2xxxf，)(xf为偶函数；

若0a，则12)(,1)(22aaafaaf，知)()(afaf，故)(xf在0a时，既不是奇函数又不是偶函数．

（2）当ax时，43)21(1)(22axaxxxf，由二次函数图象及其性质知：若21a，函数)(xf在],(a上单调递减，从而函数)(xf在],(a上的最小值为1)(2aaf；若21a，函数)(xf在],(a上的最小值为43)21(f，且)()21(aff．

当ax时，函数43)21(1)(22axaxxxf．

若21a，函数)(xf在),[a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff；

若21a，函数)(xf在),[a上单调递增，从而函数函数)(xf在),[a上的最小值为1)(2aaf．

综上所述，当21a时，函数)(xf的最小值是a43；当2121a时，函数)(xf的最小值为12a；当21a时，函数)(xf的最小值是43a．

点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(xf与)(xf是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．

2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．

3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．

演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,jiAB22(i 、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2－x－6．

(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数)(1)(xfxg的最小值．

点拨与提示：由f(x)> g(x)得x的范围，)(1)(xfxg＝252xxx＝x+2+21x－5，用不等式的知识求其最小值．

演变2：（05年北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a．

（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

点拨与提示：本题用导数的知识求解．

问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题

将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．

例2：（05年上海）点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA．

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于||MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

思路分析：将d用点M的坐标表示出来，

222222549(2)4420()15992dxyxxxx，然后求其最小值．

解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4) 设点P(x,y),则AP={x+6, y},FP={x－4, y},由已知可得

22213620(6)(4)0xyxxy，则22x+9x－18=0, 解得 x=23或x=－6．

由于y>0,只能x=23,于是y=235． ∴点P的坐标是(23,235)

(2) 直线AP的方程是x－3y+6=0．

设点M(m,0),则M到直线AP的距离是26m．

于是26m=6m,又－6≤m≤6,解得m=2．

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

222222549(2)4420()15992dxyxxxx,

由于－6≤m≤6, ∴当x=29时,d取得最小值15

演变3：（05年辽宁）如图，在直径为１的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0xy．

(Ⅰ) 将十字形的面积表示为的函数；

(Ⅱ) 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

点拨与提示：将十字型面积S用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．

问题3：最值的实际应用

在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．

例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？

思路分析：将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后求其最大值． x

y

xyOO

O解：设OO1为xm，则41x

由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx，（单位：m）

故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx，（单位：2m）

帐篷的体积为：

)28(233V2xxx）（]1)1(31[x)1216(233xx（单位：3m）

求导得)312(23V'2xx）（．

令0V'）（x，解得2x（不合题意，舍去），2x，

当21x时，0V'）（x，）（xV为增函数；

当42x时，0V'）（x，）（xV为减函数．

∴当2x时，）（xV最大．

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力

演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1物体质量（含污物）污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(aa．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是)1(18.0axxx．用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy，其中)99.08.0(cc是该物体初次清洗后的清洁度．

（1）分别求出方案甲以及95.0c时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．

（2）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，545(1)cxc，(99100)yac

于是545(1)cxyc+(99100)ac1100(1)15(1)acac，利用均值不等式求最值．

问题4：恒成立问题

不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即min)(xf＞m；f(x)

例4、已知函数xaxxxf2)(2).,1[,x

（1）当21a时，求函数)(xf的最小值；

（2）若对任意0)(),,1[xfx恒成立，试求实数a的取值范围．

思路分析：f(x)＞0恒成立，即min)(xf＞0．

解：（1）当21a时，211)(',221)(zxxfxxxf．

 1x， 0)(/xf．

 )(xf在区间),1[上为增函数．

 )(xf在区间),1[上的最小值为27)1(f．

（也可用定义证明221)(xxxf在),1[上是减函数）

（2）02)(2xaxxxf在区间),1[上恒成立；

 022axx在区间),1[上恒成立；

 axx22在区间),1[上恒成立；

 函数xxy22在区间),1[上的最小值为3

 3a 即 3a

点评：1．（1）中，,221)(xxxf这类函数，若0x，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可．

2．求函数的最小值的三种通法：利均值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本题中都得到了体现．