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欧拉方程 (刚体运动)
莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
静态的定义
三个欧拉角： () 。蓝色的轴是 xyz-轴，红色的轴是 XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线
(N) 。
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。 zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:
α 是 x-轴与交点线的夹角，
β 是 z-轴与Z-轴的夹角，
γ 是交点线与X-轴的夹角。 精品资料
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很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。
[编辑] 角值范围
值从 0 至 2π 弧度。
β 值从 0 至 π 弧度。
对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：
两组欧拉角的 α ，一个是 0 ，一个是 2π ，而 β 与 γ 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
两组欧拉角的 γ ，一个是 0 ，一个是 2π ，而 α 与 β 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
[编辑] 旋转矩阵
前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵 是由三个基本旋转矩阵合成的：
单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，
最里面的(最右的) 矩阵代表绕着 z 轴的旋转。
最外面的(最左的) 矩阵代表绕着 Z 轴的旋转。
在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。
经过一番运算,
的逆矩阵是： 精品资料
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[编辑] 别种顺序
在经典力学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x 顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有 12 种顺规。例如，y 顺规，第二个转动轴是 y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz 顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryan angles。
欧拉运动定律（Euler's laws of motion）是牛顿运动定律的延伸，可以应用于多粒子系统运动或刚体运动，描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪，于1750年，莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。[1][2]
刚体也是一种多粒子系统，但理想刚体是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到作用力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会改变。 精品资料
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欧拉运动定律也可以加以延伸，应用于可变形体（deformable body）内任意部分的平移运动与旋转运动。
角动量守恒定律
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在一个旋转系统中，力(F)与力矩(τ)；动量(p)与角动量(L)的关系 。
角动量守恒定律 是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。
当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。
角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性。例如，当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时，由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行星绕太阳公转单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的原因。另外，角动量守恒定律也是陀螺效应的原因。
需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。
在古典力学中，转动惯量又称惯性矩，通常以 I 表示，国际单位制基本单位为[kg]·[m2]。转动惯量用以描述一个物体对于其旋转运动的改变的对抗，是一个物体对于其旋转运动的惯性。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，描述角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。 精品资料
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对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
对于一个有多个质点的系统，。
若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。
如果一个质量为 m 的物件，以某条经过 A 点的直线为轴，其转动惯量为 IA。在空间取点 B，使得 AB 垂直于原本的轴。那么如果以经过 B、平行于原本的轴的直线为轴，AB
的距离为 d，则 IB = IA + md2。
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力矩
在直线运动，F = ma。在旋转运动，则有τ = Iα，其中τ是力矩，α是角加速度。
[编辑] 动能
一般物件的动能是。将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：
得出
，
简化得
。
如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。
[编辑] 惯性张量
对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角坐标系 Qxyz ，一个刚体的惯性张量 是
。(1) 精品资料
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这里，矩阵的对角元素 、 、 分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。设定 为微小质量 对于点 Q 的相对位置。则这些转动惯量以方程式定义为
，
，(2)
。
矩阵的非对角元素，称为惯量积, 以方程式定义为
，
，(3)
。 精品资料
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[编辑] 导引
图 A
如图 A ，一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的直角座标系 Gxyz 的角动量 定义为
。
这里， 代表微小质量 在 Gxyz 座标系的位置， 代表微小质量的速度。因为速度是角速度 叉积位置，所以，
。
计算 x-轴分量， 精品资料
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相似地计算 y-轴与 z-轴分量，角动量为
，
，
。
如果，我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量 ，让角速度 为
，那么，
。(4)
[编辑] 平行轴定理
主条目：平行轴定理
平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量 ，而质心 G 的位置是 ，则刚体对于原点 O 的惯性张量 ，依照平行轴定理，可以表述为
，
，(5)
， 精品资料
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，
，(6)
。
证明：
图 B
a) 参考图 B ，让 、 分别为微小质量 对质心 G 与原点 O 的相对位置：
， 。
依照方程式 (2)，
。 精品资料
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所以，
相似地，可以求得 、 的方程式。
b) 依照方程式 (3)，
。
。
因为 ， ，所以
相似地，可以求得对于点 O 的其他惯量积方程式。 精品资料
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[编辑] 对于任意轴的转动惯量
图 C
参视图 C ，设定点 O 为直角座标系的原点，点 Q 为三维空间里任意一点，Q 不等于
O 。思考一个刚体，对于 OQ-轴的转动惯量是
。
这里， 是微小质量 离 OQ-轴的垂直距离， 是沿着 OQ-轴的单位向量， 是微小质量 的位置。
展开叉积，
。
稍微加以编排，
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特别注意，从方程式(2)、(3)，这些积分项目，分别是刚体对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量与惯量积。因此，
。(7)
如果已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。那么，对于 OQ-轴的转动惯量，可以用此方程式求得。
[编辑] 主转动惯量
因为惯性张量 是个实值的三维对称矩阵，我们可以用对角线化，将惯量积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵[1]。所得到的三个特征值必是正实值；三个特征向量必定互相正交。
换另外一种方法，我们需要解析特征方程式
。(8)
也就是以下行列式等于零的的三次方程式：
。
这方程式的三个根 、 、 都是正实的特征值。将特征值代入方程式 (8)，再加上方向余弦方程式，
，
我们可以求到特征向量 、 、 。这些特征向量都是刚体的惯量主轴；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量。
假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为
、 、 ，角速度是 。那么，角动量为
。
