一类含对数函数的欧拉方程的解法

欧拉公式计算【原创版】目录1.欧拉公式的概述2.欧拉公式的计算方法3.欧拉公式的应用案例4.总结正文1.欧拉公式的概述欧拉公式，又称欧拉恒等式，是由瑞士数学家欧拉在 18 世纪提出的一个数学公式。

该公式在数学领域具有极高的地位，被认为是数学中最美丽的公式之一。

欧拉公式的表述为：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，x 是实数。

2.欧拉公式的计算方法欧拉公式的推导过程相对简单。

首先，将复数指数函数 e^(ix) 按照欧拉公式展开，得到：e^(ix) = (cos(x) + i*sin(x)) * e^(ix)。

接着，两边取自然对数，得到：ln(e^(ix)) = ln(cos(x) + i*sin(x))。

由于ln(e^x) = x，所以 ln(e^(ix)) = ix。

将这个结果带回原式，得到：ix = ln(cos(x) + i*sin(x))。

最后，两边求指数，得到：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。

3.欧拉公式的应用案例欧拉公式在数学、物理等科学领域具有广泛的应用。

以下是一个简单的应用案例：假设我们要求解函数 f(x) = e^(ix) 在 x = π/4处的函数值。

根据欧拉公式，我们可以直接将x = π/4代入公式，得到：f(π/4) = e^(i*π/4) = cos(π/4) + i*sin(π/4) = √2/2 + √2/2 * i。

4.总结欧拉公式是一个在数学领域具有重要意义的公式，它将复数指数函数与三角函数联系起来，展现了数学的统一性和美妙性。

含欧拉函数方程φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]的正整数解席小忠【期刊名称】《《上饶师范学院学报》》【年(卷),期】2019(039)006【总页数】4页(P10-13)【关键词】欧拉函数; 不定方程; 正整数解【作者】席小忠【作者单位】宜春学院数学与计算机科学学院江西宜春 336000【正文语种】中文【中图分类】O156设Z+为所有正整数构成的数集，φ(m)是Z+上的欧拉函数。

关于欧拉函数φ(m)与含欧拉函数的方程，许多学者研究了他们的性质，如1935年ERDÖS[1]研究了欧拉函数的计算与若干性质，提出了含欧拉函数的方程，1981年GUY[2]证明了欧拉函数的加性，1960年 MAKOWSKI[3] 讨论了含欧拉函数φ(mn)=φ(m)+φ(n)的正整数解，2010年SUN和CHENG [4]等研究了方程φ(mn)=k[φ(m)+φ(n)]在k为素数时的可解性，张明丽等[5]在2018年讨论了方程φ(mn)=12(φ(m)+φ(n))的正整数解，但漏了许多正整数解，而文献[6-7]也分别研究了一类含欧拉函数的方程的正整数解，得到了较好结果。

本文主要研究方程。

φ(mn)=20[φ(m)+φ(n)]正整数解的存在性等问题，并设计一种有效的初等方法求出了方程在m≤n时的全部119组正整数解，并用此方法可以求出文献[5]中漏了的正整数解。

1 引理引理1[1] 设m=p1α1p2α2…prαr∈Z+，其中pi为互不相同的素数，则φ(m)=p1α1-1p2α2-1…prαr-1(p1-1)(p2-1)…( pr-1)。

引理2[8] 设m∈Z+，若m<3，则φ(m)=1，若m≥3，则φ(m)为偶数。

引理3[9] 设m,n∈Z+，且m|n，则φ(m)|φ(n)。

引理4[9] 设m,n∈Z+，gcd(m,n)=d，则引理5[7] 设m∈Z+，则φ(m)=14无正整数解。

2 主要结论定理含欧拉函数方程φ(mn)=20(φ(m)+φ(n))，当m≤n时共有119组正整数解。

欧拉公式19种证明欧拉公式是数学中的一个重要公式，它的表达式为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中e表示自然对数的底数2.71828…，i表示虚数单位。

欧拉公式有多种证明方法，下面我们将介绍其中19种常见的证明方法。

1. 泰勒级数证明法：利用泰勒级数展开式展开e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)，然后将它们相等的系数进行比较，即可得出欧拉公式。

2. 复合函数证明法：将e^(ix)看作复数函数f(x)=e^x，将cos(x)和sin(x)看作f(x)的实部和虚部，则有f(ix)=cos(x)+i*sin(x)，即e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。

3. 微积分证明法：将欧拉公式两边分别对x求导，得到ie^(ix)=-sin(x)+i*cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。

4. 积分证明法：将欧拉公式两边同时积分，得到e^(ix)/i=-sin(x)/i+cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。

5. 欧拉级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的泰勒级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。

6. 幂级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的幂级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。

7. 矩阵证明法：构造一个2x2矩阵，使其特征值为e^(ix)和e^(-ix)，然后求解该矩阵的本征向量，即可得到欧拉公式。

8. 矩阵幂证明法：将e^(ix)表示为矩阵的形式，然后对该矩阵进行幂运算，即可得到欧拉公式。

9. 极限证明法：将e^(ix)表示为极限的形式，然后通过极限的性质推导出欧拉公式。

10. 解微分方程证明法：将e^(ix)看作微分方程y'=iy的解，并利用欧拉公式将其转化为y=cos(x)+i*sin(x)，即可得到欧拉公式。

11. 解偏微分方程证明法：将e^(ix)看作偏微分方程u_t+iu_x=0的解，并利用欧拉公式将其转化为u=cos(x-t)+i*sin(x-t)，即可得到欧拉公式。

欧拉方程常微分方程例题
欧拉方程是一种常微分方程，形式为：
ax^2y'' + bxy' + cy = 0
其中，a、b、c为常数。

欧拉方程是一种特殊的二阶线性常微分方程，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在18世纪提出。

欧拉方程的解常常涉及到特殊函数，如指数函数、对数函数、幂函数等。

以下是一些关于欧拉方程的例题及其相关参考内容：
例题1：
求解欧拉方程：x^2y'' + 4xy' + 2y = 0
解法：
将欧拉方程的形式转化为特征方程求解。

令y = x^r，则有：y' = rx^(r-1)，y'' = r(r-1)x^(r-2)
将以上表达式代入原始方程得：
x^2r(r-1)x^(r-2) + 4xrx^(r-1) + 2x^r = 0
r(r-1)x^r + 4rx^r + 2x^r = 0
(r^2 + 4r + 2)x^r = 0
由于x^r不能为零，所以上式的系数必须为零，即有：
r^2 + 4r + 2 = 0
解上式得到其特征根：
r = -2 + √2 或 r = -2 - √2
因此，欧拉方程的通解为：
y = c1x^-2+√2 + c2x^-2-√2
其中c1、c2为常数。

参考内容：
1. G.F. Simmons, Differential Equations with Applications and Historical Notes (2nd Edition). Springer, 1991.
2. GeoGebra欧拉方程示意图。

第九节 欧拉方程变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程，因而容易求出其解，欧拉方程就是其中的一种.分布图示★ 欧拉方程★ 例1★例2 ★ 例3 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—9 ★ 返回内容要点形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ (9.1)的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21Λ为常数.欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 t e x = 或 ,ln x t =将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(9.1)化为以t 为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t 换为ln x , 即得到原方程的解.如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算,dtd 则上述结果可以写为 ,Dy y x =' y D D y x )1(2-=''，y D D D y D D D y x )2)(1()23(233--=+-='''， 一般地，有y k D D D y x k k )1()1()(+--=Λ. (9.2)例题选讲例1（E01）求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解. 解 作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dt y d --= 两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=例2（E02）求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解 作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dy dt y d dt y d =-- (1) 方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C x C C ++= 设特解*y t be 2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为 y .2123321x x C x C C -++=例3 设有方程,0)0(),0(),1ln(])1(2[)1(02='≥+-''++=+⎰y x x dx y x y y x x求由此方程所确定的函数).(x y解 将方程两边对x 求导，整理后得y y x y x +'+-''+)1()1(2,11x+=且有,0)0(=y ,0)0(='y 这是欧拉方程,令t e x =+1或),1ln(x t +=将它化为常系数非齐次线性微分方程,222t e y dt dy dty d -=+- 其通解为,41)(21t t e e t C C y -++=故原方程的通解为 ,)1(41)1)](1ln([21x x x C C y +++++= 由初始条件,0)0(=y ,0)0(='y 可求得,411-=C ,212=C 故由题设方程确定的函数为.)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=课堂练习求下列欧拉方程的通解:1.x y y x y x 342='-''+''';2.x x y x y y 22=+'-''; 3.x y y x y x 342='-''+''';4.x y y x y x ln cos 22=+'+''.欧拉（Euler ，1707~1783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家。

欧拉方程的求解精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e表示自然对数的底、f x表示函数、∑表示求和、i表示虚数单位()以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=（1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=.（2）(其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）.对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=.（3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根）(ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根)(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则 11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得 22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则 11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解， 利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+， ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-= 是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=, 其根为： 121K K ==, 所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=, 其根为： 12K =-，24K =， 所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=, 其根为： 1,212K i =-±, 所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =,（5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''',（6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程212(1)0K a K a +-+=（3）的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.（7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根， 于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=, 代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和2K p y y x x'-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰,（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰,（iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dxx x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8）（iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+,2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-,将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==, 所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =， 所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2xx x y xy y -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±, 所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x xx x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x（其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根）(ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根）(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''. （9）（其中1a ，2a ，3a 为常数） （9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10）特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=. （11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ .（12）证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解.设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数），将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x xf x ---+-''''''+++-++++-+-++=（13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=,（15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰.故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则 （i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β= (iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰.证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β= （iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解.解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±.令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816x x x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=.(16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数ky x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P 同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。

欧拉方程欧拉方程是微积分学中经常被用到的一类常微分方程，它的形式是：y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(x)其中，y^(n)表示y对x的n次导数，a1,a2,...,an-1,an为常数，f(x)是已知的函数。

欧拉方程的命名来源于瑞士数学家欧拉，他在1732年的一篇论文中首次研究了这种类型的方程。

欧拉方程的求解方法通常分为两种，一种是通过设定形式解的方式求解，另一种是通过变量替换的方式将欧拉方程转化为常系数线性微分方程来求解。

下面分别介绍这两种求解方法。

一、设定形式解的方式求解欧拉方程通过设定形式解的方式，可以求出欧拉方程的通解，常见的形式解如下：1. 当方程系数满足a1=a2=...=an-1=0时，特解可设为y = C1x^n +C2x^n∙lnx + ... + Cnxln^(n-1)x。

2. 当方程系数满足an≠0时，特解可设为y = x^λ(C1cos(ωlnx) +C2sin(ωlnx))。

二、通过变量替换的方式求解欧拉方程通过对欧拉方程的变量替换，可以将欧拉方程转化为常系数线性微分方程，从而用已知的求解方式进行求解。

通常采用的变量替换方式是x=et，即令t=lnx，y(x)=u(t)∙etλ，然后将y'、y''、...、y^(n)用u(t)、u'(t)、...、u^(n)(t)进行表示，将欧拉方程中的y用u(t)∙etλ来替代，最终得到形如下式的常系数线性微分方程：u^(n) + (a1-λ)a1u^(n-1) + ... + (an-1-λan-1)u' + (an-λan)u = e^(-λt)f(et)其中，f(et)=f(x)是原方程右侧的函数经过变量替换后得到的函数。

最后，在求解出常系数线性微分方程的解后，通过将u(t)∙etλ代入y(x)=u(t)∙etλ中，再将x=et代回到原方程中，就可以得到欧拉方程的通解。

(最新)用欧拉法解一元微分方程1. 引言一元微分方程是数学中非常重要的一个概念，可以用来描述许多自然现象和工程问题。

本文将介绍如何使用欧拉法解一元微分方程。

2. 欧拉法的原理欧拉法是一种数值近似解微分方程的方法。

它基于以下原理：将微分方程转化为差分方程，然后使用离散的步长逐步逼近解。

3. 欧拉法的步骤使用欧拉法解一元微分方程的步骤如下：- 确定微分方程的初始条件：求解微分方程需要一个初始条件，即方程在某个特定点的值。

- 将微分方程转化为差分方程：使用近似方法，将微分方程转化为差分方程，即将微分的概念近似为差分。

- 选择步长：选择一个合适的步长，即离散的间隔大小，用于逐步逼近解。

- 逐步逼近解：从初始条件开始，使用差分方程和步长进行计算，逐步逼近解直到达到所需精度的结果。

4. 示例假设我们要解一元微分方程 dy/dx = -2xy，初始条件为 y(0) = 1。

我们选择步长为 0.1，使用欧拉法进行计算。

根据欧拉法的原理和步骤：- 将微分方程转化为差分方程：我们可以使用差分逼近的方法将微分方程转化为差分方程，得到 y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i))，其中 h 为步长，f(x, y)为微分方程的右侧。

- 计算逼近值：从初始条件 y(0) = 1 开始，逐步计算逼近值，直到 x=1，按照差分方程计算：y(0.1) = 1 + 0.1 * (-2*0*1) = 1，y(0.2) = 1 + 0.1 * (-2*0.1*1) = 0.98，以此类推。

通过以上步骤，我们可以得到一系列逼近值，从而近似解得到一元微分方程的解。

5. 结论欧拉法是一种简单而有效的方法，可以用来近似解一元微分方程。

通过将微分方程转化为差分方程，并逐步逼近解，我们可以得到一个近似的数值解。

以上是关于用欧拉法解一元微分方程的简要介绍，希望对您有所帮助。

数学上最伟大的公式之一：欧拉公式的推导与证明
欧拉公式：
它是最著名的公式之一，它说明了复指数函数和三角函数之间的关系。

它还提供了笛卡尔坐标和极坐标之间的有效转换。

因此，可以在许多数学分支，物理学和工程学中找到欧拉公式。

其中e是自然对数的底，i是虚数单位，并且θ∈C，e^i称为单位复数。

欧拉公式的证明:
欧拉公式的推导是基于指数函数e^z和三角函数sin(x)和cos(x)的泰勒级数展开，其中z∈C, x∈R。

指数函数e^z的泰勒级数展开我们得到:
现在，让z=ix有以下形式:
我们对上式进行化简，并且由于i^2 = -1得到：
重新排列右边的项，将所有i项放在最后，得到:
我们在结合cos和sin的泰勒级数展开式：
因此，它简化为
这就是著名份欧拉公式
最后，当我们计算x = π的欧拉公式时，得到
它对应的几何图形就是
最终得到一个将e,i,π,1,0，联系起来的公式。

欧拉公式的证明和应用work Information Technology Company.2020YEAR数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一 .序言------------------------------------------------------------------------2二.欧拉公式的证明--------------------------------------31.1 极限法 --------------------------------------31.2 指数函数定义法-------------------------------41.3 分离变量积分法-------------------------------41.4 复数幂级数展开法-----------------------------41.5 变上限积分法---------------------------------51.6 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用2.1 求高阶导数-----------------------------------72.2 积分计算------------------------------------8 2.3 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 2.4 求函数级数展开式----------------------------9 2.5 三角级数求和函数----------------------------10 2.6 傅里叶级数的复数形式-------------------------10四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11一．序言欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。

⼀类欧拉函数相关的求和式推导前⾔来源:本⽂中的题与反演与卷积⽆关,题⽬顺序与难度⽆关。

关于欧拉函数1. 定义:φ(x ) 表⽰ [1,x ]⾥的所有整数中,与x 互质的数的个数2. 欧拉函数的两种常⽤求法1. 公式法,单点复杂度为√n ,常⽤于求少量函数值2. 线性筛,复杂度线性,⽤于求⼀个不⼤的数域内全部的函数值进⼊正题题⾯:求出∑n i =1gcd (i ,n )数据范围:1≤n ≤232然后就可以切掉这个问题啦不开ll 见祖宗,中间过程变量也是要开ll 的(2^32卡int 就离谱)inline int phi(int x){int ans=x;for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i)continue;ans=ans*(i-1)/i;while(!(x%i))x/=i;}if(x>1){ans=ans*(x-1)/x;}return ans;}inline void Euler_phi(int n){for(int i=2;i<=n;i++)phi[i]=i;for(int i=2;i<=n;i++){if(phi[i]==i)for(int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]*(i-1)/i;}}//好丑...题⾯:给定⼀个N*N 的⽅阵,⼀个⼈在(1,1),问他最多看到⼏个⼈数据范围:1≤n ≤40000问题转化:gcd (λx ,λy )=λgcd (x ,y )>λ⋅1=λ>1,此时会被遮住。

即⼀个点 (x,y)(x,y) 能被看到，当且仅当gcd (x ,y )=1⼜因为对⾓线上只有⼀个点可以被看到,⼜因为矩形是对称的所以可以只考虑对⾓线下⾯的⼀半,因此我们求出∑n −1i =1φ(i ),画个图,很容易发现我们漏了⼀个点,所以最后的答案是2∗(∑n −1i =1φ(i )+1)+1⼜因为n 可能等于1所以要加特判inline ll phi(ll x){ll ans=x;for(ll i=2;i*i<=x;i++){//这边记得都要开ll 啊if(x%i)continue;ans=ans/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}if(x>1){ans=ans/x*(x-1);}return ans;}inline ll sol(ll x){ll ans=0,i=1;for(i=1;i*i<x;i++){if(x%i==0)ans+=i*phi(x/i)+(x/i)*phi(i);}if(i*i==x)ans+=i*phi(i);return ans;}ll n;int main(){read(n);printf("%lld",sol(n));return 0;}const int N=40005;#define int long longint n,phi[N+105],ans=0;inline void Euler_phi(int n){for(int i=2;i<=n;i++)phi[i]=i;for(int i=2;i<=n;i++){if(phi[i]==i){for(int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}}}signed main(){scanf("%lld",&n);if(n==1){printf("0\n");return 0;}Euler_phi(n-1);for(int i=1;i<=n-1;i++)ans+=phi[i];ans=(ans<<1)+3;printf("%lld",ans);return 0;}题⾯:给定正整数n,求1≤x,y≤n且gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对数据范围1≤n≤1e7const int N=10000005;int cnt,prime[N],phi[N+105];ll sum[N];bool is_prime[N];inline void pre(int n){memset(is_prime,1,sizeof is_prime);phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(is_prime[i]){prime[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){is_prime[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]){phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];}else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}}}}int n;ll ans=0;;int main(){scanf("%d",&n);pre(n+105);for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=n;i++){ans+=(sum[n/prime[i]]<<1)-1;//因为i=j时重复了⼀个}printf("%lld",ans);return 0;}写这道题最⼤的收获是知道了phi[1]=1题⾯:求∑n i=1∑n j=1gcd(i,j)数据范围:n≤1e5和上⼀个题基本⼀致的思路,只是在累计完个数之后要*iconst int N=1e5+5;#define int long long题⾯:求∑n i =1∑n j =i +1gcd (i ,j )数据范围:1<n ≤1e 5,T <=2e 4推了半天推不出来,结果看到了某个题解这么写:f (n )=gcd (1,n )+gcd (2,n )+gcd (3,n )+……gcd (n −1,n )然后可以得到G (n )=f (2)+f (3)+……+f (4)则,G (n )=G (n −1)+f (n )由此观之,我们可以通过递推完成这个任务,但重点是如何快速求出f (n )=∑n i =1gcd (i ,n )∑n i =1gcd (i ,n )然后就可以化简为∑n i =1φ(ni )(x |n )->->双倍经验:->（spoj 前提是你能交上去）update:2021-07-17 07:41:08 星期六。