在此处键入公式。欧拉方程组——守恒形式：
∂U∂t+∂F(U)∂x=0，U= 𝜌𝜌𝑢E ，F U = 𝜌𝑢ρ𝑢2+𝑃(𝐸+𝑃)𝑢 。
令m=ρu，则
P= γ−1 ρe= γ−1 E−12ρ𝑢2 =(γ−1)(E−12𝑚2𝜌)，
且U= 𝜌𝑚E ，F U = 𝑚 γ−1 E+3−𝛾2𝑚2𝜌𝛾𝑚𝐸𝜌−𝛾−12𝑚2𝜌 。
进一步有：
( γ−1 E+3−𝛾2𝑚2𝜌)𝑥= 𝛾−1 𝐸𝑥+(3−𝛾)𝑚𝜌𝑚𝑥− 3−𝛾 𝑚22𝜌2𝜌𝑥=0,
(𝛾𝑚𝐸𝜌−(𝛾−1)𝑚32𝜌2)𝑥=𝛾𝑚𝜌𝐸𝑥+ 𝛾𝐸𝜌−3 𝛾−1 𝑚22𝜌2 𝑚𝑥− 3−𝛾 𝑚22𝜌2𝜌𝑥=0.
所以有，
∂∂t 𝜌𝑚E +𝐴∂∂x 𝜌𝑚E =0，
其中
A= 010(𝛾−3)𝑚22𝜌2(3−𝛾)𝑚𝜌𝛾−1(𝛾−1)𝑚3𝜌3−𝛾𝑚𝐸𝜌2𝛾𝐸𝜌−3(𝛾−1)𝑚22𝜌2𝛾𝑚𝜌 .
又𝑚𝜌=𝑢,𝐸𝜌=𝜌𝑒+12𝜌𝑢2𝜌𝑃= 𝛾−1 𝜌𝑒,𝑐= 𝛾𝑃𝜌 𝑐2𝛾(𝛾−1)+12𝑢2
则 A= 010(𝛾−3)𝑢22(3−𝛾)𝑢𝛾−1𝛾−22𝑢3−𝑐2𝑢𝛾−1𝑐2𝛾−1+3−2𝛾2𝑢2𝛾𝑢
计算特征值： 𝜇𝐸−A = 𝜇−103−𝛾2𝑢2𝜇+ 𝛾−3 𝑢1−𝛾𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢32𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1𝜇−𝛾𝑢
= 𝜇−𝛾𝑢 𝜇2+ 𝛾−3 𝑢𝜇+3−𝛾2𝑢2
+ 𝛾−1 2𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 𝜇+𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢3
=𝜇3−3𝑢𝜇2+ 3𝑢2−𝑐2 𝜇+ 𝑐2𝑢−𝑢3
=(μ−u)(μ−(u+c))(μ−(u−c))
其特征值为：𝜇1=𝑢−𝑐，𝜇2=𝑢，𝜇3=𝑢+𝑐。
计算右特征向量：𝑟= 𝑟1,𝑟2,𝑟3 = 𝑟11𝑟12𝑟13𝑟21𝑟22𝑟23𝑟31𝑟32𝑟33
当𝜇1=𝑢−𝑐时，有：
𝑢−𝑐−103−𝛾2𝑢2 𝛾−2 𝑢−𝑐1−𝛾𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢32𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 1−𝛾 𝑢−𝑐 𝑟11𝑟21𝑟31 = 000
进一步得 u−c 𝑟11−𝑟12=03−𝛾2𝑢2𝑟11+ 𝛾−2 𝑢−𝑐 𝑟12+ 1−𝛾 𝑟13=0
所以可得𝑟1= 1u−c12𝑢2−𝑢𝑐+𝑐2𝛾−1 = 1u−cH−𝑢𝑐 ,
同理可得𝑟2= 1u12𝑢2 ，𝑟3= 1u+cH+𝑢𝑐 ，其中H=𝐸+𝑃𝜌=𝑐2𝛾−1+12𝑢2.
计算左特征向量：l=(𝑙1,𝑙2,𝑙3)𝑇= 𝑙11𝑙12𝑙13𝑙21𝑙22𝑙23𝑙31𝑙32𝑙33 当𝜇1=u−c时，有：
(𝑙11,𝑙12,𝑙13) 𝑢−𝑐−103−𝛾2𝑢2 𝛾−2 𝑢−𝑐1−𝛾𝑐2𝛾−1𝑢−𝛾−22𝑢32𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 1−𝛾 𝑢−𝑐
= 000
进一步可得 −𝑙11+ 𝛾−2 𝑢−𝑐 𝑙12+ 2𝛾−32𝑢2−𝑐2𝛾−1 𝑙13=0 1−𝛾 𝑙12+ 1−𝛾 𝑢−𝑐 𝑙13=0，
令𝑙13=1,则有𝑙11=12𝑢2+𝑐𝑢1−𝛾，𝑙12=𝑐1−𝛾−𝑢。
所以𝑙1= 12𝑢2−𝑐𝑢1−𝛾𝑐1−𝛾−𝑢1 。
同理可得𝑙2= 12𝑢2+𝑐21−𝛾−𝑢1 𝑙3= 12𝑢2+𝑐𝑢1−𝛾−𝑐1−𝛾−𝑢1
欧拉方程组——非守恒形式
∂U∂t+∂F(U)∂x=0，U= 𝜌𝜌𝑢E ，F U = 𝜌𝑢ρ𝑢2+𝑃(𝐸+𝑃)𝑢 ，
E=ρe+12𝜌𝑢2=𝑃𝛾−1+12𝜌𝑢2. U=(𝜌,𝑢,𝑃)𝑇.
则通过计算得到：
∂∂t 𝜌𝑢P + 𝑢𝜌00𝑢1𝜌0𝜌𝑐2𝑢 𝜕𝜕𝑥 𝜌𝑢P =0
其特征值为：𝜇1=u−c，𝜇2=u，𝜇3=u+c.
计算右特征向量：r= 𝑟1,𝑟2,𝑟3 = 𝑟11𝑟12𝑟13𝑟21𝑟22𝑟23𝑟31𝑟32𝑟33
当𝜇1=u−c时，有： −𝑐−𝜌00−𝑐−1𝜌0−ρ𝑐2−𝑐 𝑟11𝑟21𝑟31 = 000
所以𝑟1= −𝜌𝑐1−𝜌𝑐
同理可得𝑟2= 100 ，𝑟3= 1𝑐𝜌𝑐2
其对应的左特征向量为𝑙1= 0−ρc1 ，𝑙2= 𝛾0−1 ，𝑙3= 0𝜌𝑐1 .
