2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题五：开放探索问题
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2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题五：开放探索问题
一、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
1．（3分）（2011•天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为
．
2．（3分）（2011•郴州）写出一个不可能事件 ．
3．（3分）（2011•山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形．
4．（3分）（2011•潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为 ．（写出一个即可）
二、解答题（共4小题，满分0分）
5．（2011•张家界）先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值：．
6．（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
7．（2014•永嘉县校级模拟）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
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8．（2001•广州）已知点A（1，2）和B（﹣2，5）．试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．
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2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题五：开放探索问题
参考答案与试题解析
一、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
1．（3分）（2011•天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为
y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数） ．
【分析】先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．
【解答】解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过点（0，1），
∴b=1，
∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．
2．（3分）（2011•郴州）写出一个不可能事件 明天是三十二号 ．
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
【解答】解：一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件．
【点评】关键是理解不可能事件的概念．
3．（3分）（2011•山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ∠ABC=90°或AC=BD ，可使它成为矩形．
【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．
【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
【点评】此题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．
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4．（3分）（2011•潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为 如：y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等 ．（写出一个即可）
【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．
【解答】解：符合题意的函数解析式可以是y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等，（本题答案不唯一）
故答案为：y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等．
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．
二、解答题（共4小题，满分0分）
5．（2011•张家界）先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值：．
【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x的取值不能使原式的分母、除式为0．
【解答】解：原式=[﹣]•
=•
=•
=，
∵原式中，x=2或x=﹣2时，分母为0，分式无意义，故x≠2且x≠﹣2，
同时，x=0时，无意义．
当x=6时，原式=1．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
6．（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
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【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解；
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα=，
即sin60°==，
解得CE=5；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△DFC中，，
∴△AFG≌△DFC（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF=AD=BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
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∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，
∵由①知CF=GF，
∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x，
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+，
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值，
此时，EG=10﹣x=10﹣=，
CE===，
所以，tan∠DCF=tan∠G===．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要．
7．（2014•永嘉县校级模拟）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
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【分析】（1）过点A作AD⊥BC，求出AD的长，利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（3）本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，则S△ABC=×BC×AB•sin60°=×3×3×=；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3﹣t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
3﹣t=t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=，
∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），
∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），
∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×（3﹣t）
=t2﹣t+，
