用空间向量解立体几何题型与方法
平行垂直问题基础知识
(1) 线面平行： l ∥α? a⊥u? a·u＝0? a1a3＋ b1b3＋c1c3＝ 0
(2) 线面垂直： l⊥α? a∥u? a＝ku? a1＝ka3，b1＝ kb3，c1＝kc3
(3) 面面平行： α∥β? u∥v? u＝kv? a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4
(4) 面面垂直： α⊥β? u⊥v? u·v ＝ 0? a3a4＋b3b4＋c3c4＝0
例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥底面
ABCD ， 的中点， PA＝AB＝1， BC＝2.
(1) 求证： EF∥平面 PAB；
(2) 求证：平面 PAD⊥平面 PDC.
［证明］ 以 A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E 12，1，12 ，
uuur uuur uuur
1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，
uuur
∥AB ，即 EF∥AB.
又 AB? 平面 PAB， EF? 平面 PAB，所以 EF ∥平面 PAB.
uuur uuur uuur uuur
(2)因为 AP ·DC ＝(0,0,1) (1,0·,0)＝ 0， AD ·DC ＝(0,2,0) (1,0·,0)＝0， uuur uuur uuur uuur
所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP⊥DC，AD⊥DC.
又 AP∩ AD ＝ A，AP? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC?
平面 PDC ， 直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)．平面 α， β的法向量 u＝ (a3，b3，c3)， v＝(a4，b4，c4)
1 uuur 1 uuur F
知识点透视·备战高考
提升突破·战胜高考
专题25.1 空间向量方法--空间的角（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 异面直线所成的角
1.两条异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2．
③向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos|cos|||||||ababrrrr.
【典例1】（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCDABCD中,1ABBC,13AA,则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )
A．15 B．56 C．55 D．22
【典例2】（2019·广西高考模拟（理））在直三棱柱111ABCABC中,3,3,32ACBCAB,14AA,则异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为__________．
【总结提升】
向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量v1,v2； 知识点透视·备战高考
提升突破·战胜高考 (3)代入公式|cos〈v1,v2〉|＝|v1·v2||v1||v2|求解．
提醒：两异面直线所成角θ的范围是0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是两异面直线所成的角．
热门考点02 直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n||e||n|.
【典例3】（2018·江苏高考真题）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点．
专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离
问题
【知识梳理】
（1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线
1l，
2l上的方向向量，
为异面直
线所成角的大小，则coscos,
ab
ab
ab
．
（2）线面角公式：设l为平面
的斜线，a为l的方向向量，n为平面
的法向量，
为l与
所成角的大小，则sincos,
an
an
an
．
（3）二面角公式：
设
1n，
2n分别为平面
，
的法向量，二面角的大小为
，则
12,
nn
或
12,nn
（需要根据具体情况判断相等或互补）
，其中12
12cos
nn
nn
．
（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量
的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线，ab的公垂线的方向向量为n，这时分别在，ab上任取，AB两
点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线，ab的距离．则||
||
||||
nABn
dAB
nn即两
异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝
对值与公垂线的方向向量模的比值．
（5）点到平面的距离
A为平面
外一点（如图），n为平面
的法向量，过A作平面
的斜线AB及垂线AH．|n||n|
||||sin|||cos,|=||
nn
ABAB
AHABABABnAB
AB
||
||
ABn
d
n
（6）点
与点
之间的距离可以转化为两点对应向量
的模
计算．
（7）在直线l
上找一点
，过定点
且垂直于直线l
的向量为n
，则定点
到直线l的距离为
PAn
dPAcosPA,n
n
．
【专题过关】
【考点目录】
考点1：异面直线所成角
考点2：线面角
考点3：二面角
考点4：点到直线的距离
考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离
考点6：异面直线的距离
【典型例题】
考点1：异面直线所成角
1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂
1 §8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角距离
最新考纲 考情考向分析
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解.题型以解答题为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与方程思想、转化与化归思想.
2 1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 0，π2
[0，π]
求法 cosθ＝|a·b||a||b| cosβ＝a·b|a||b|
2.斜线和平面所成的角
(1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).
(2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
3.二面角
(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角.
4.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小
1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉.
3 2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.
概念方法微思考
1.利用空间向量如何求线段长度？
