高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第十一节

[课堂练通考点]1．(2014·宝鸡一模)已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．a ≥3B ．a >3C ．a ≤3D ．a <3解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－a ，又f (x )在(－1,1)上单调递减； ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立， 即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立．∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x 2<3， ∴a ≥3.经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减．2．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 3解析：选C 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm.则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)，∴y ′＝12x 2－104x ＋160. 令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144 (cm 3)．3．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)4．(2013·北京高考)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x ) ＝x 2－1＋ln x x 2.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减； 当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12D ．1 解析：选D 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.2．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0.则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b .即af (b )≤bf (a )．4．(2013·山西诊断)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析：选D 设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12，选D.5．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析：由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； 当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案：406．函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0. 答案：(－∞，0)7．已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数． g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．8．(2014·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)． 令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R)． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a.在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上， f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)， 当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意． 当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 3. 2．(2014·江南十校高三联考)已知函数f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；(2)若函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图像在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e e x－f (0)＋x ，令x ＝1，得f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1， 即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e ，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.显然f ′(x )＝e x －1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)， 单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x －x . 令h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1. 由h ′(x )＝0得x ＝0.所以当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增． 又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e，h (2)＝e 2－2且h (－1)<h (2)．∴两个图像恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，1＋1e . 3．(2014·宁波月考)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)如果函数g (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，1，求函数g (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程； (3)若不等式2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得3x 2＋2ax －1<0的解集是⎝⎛⎭⎫－13，1， 即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－13，1.将x ＝1或x ＝－13代入方程3x 2＋2ax －1＝0，得a ＝－1.∴g (x )＝x 3－x 2－x ＋2.(2)由(1)知，g ′(x )＝3x 2－2x －1，∴g ′(－1)＝4，∴点P (－1,1)处的切线斜率k ＝g ′(－1)＝4，∴函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程为y －1＝4(x ＋1)，即4x －y ＋5＝0. (3)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，即2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1对x ∈(0，＋∞)上恒成立．可得a ≥ln x －3x 2－12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．令h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2.令h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－13(舍)．当0<x <1时，h ′(x )>0； 当x >1时，h ′(x )<0.∴当x ＝1时，h (x )取得最大值， h (x )max ＝h (1)＝－2， ∴a ≥－2.∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．。

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(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
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2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
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故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
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3
考点疑难突破
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指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
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【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
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[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
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2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
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角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
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【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.

2021最新精选高三人教A版数学一轮复习练习：第二章函数、导数及题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始，找出它们，并将这些知识点对应的考题提取出来，研究这些题主要从哪些角度进行考察，这类知识点的题怎样入手解题，容易出错的点有哪些。

归纳完经常错的知识点后，可以翻看一下近几年的高考真题，看看大题一般是考察哪些类型的题目，归纳一下这些题型的解题方法。

在此过程中，如果对某个知识很模糊，立即回归课本，翻看课本知识。

【2021最新】精选高三人教A版数学一轮复习练习：第二章函数、导数及其应用第3节1．(导学号14577113)(2021・长春市二模)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝ex＋e－x C．y＝B．y＝ln(|x|＋1) D．y＝x－x1解析：D [选项A、B中的函数为偶函数；选项C中的函数虽然是奇函数，但是在(0，＋∞)上不是单调递增函数．故选D.]2．(导学号14577114)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：C [因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)・g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D也错．]3．(导学号14577115)(2021・保定市一模)已知函数f(x)＝1 / 8题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始，找出它们，并将这些知识点对应的考题提取出来，研究这些题主要从哪些角度进行考察，这类知识点的题怎样入手解题，容易出错的点有哪些。

【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过 某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也 可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切 忌盲目地认为给出点就是切点．

[关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求 导的基本原则，求导时，不但要重视求导法 则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用，在实施化简时，首先必须注意 变换的等价性，避免不必要的运算失误．




2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与 “过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f(x) 在点P(x0， y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 k ＝ f′(x0) 的切线，是唯 一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指 切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是 切点，而且这样的直线可能有多条．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝ A．0 C．2e B．e D．e2 ( )
C [∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.]
2．曲线 y＝xln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实 数 a 的值为 A．2 1 C.2 B．－2 1 D．－2 ( )

1 1 (2)(2014· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝2x＋b 与曲线 y＝－2x＋ln x 相切，则 b 的值为 A．－2 1 C．－2 B．－1 D．1 ( )
B
1 设切点的坐标为a，－2a＋ln
a，依题意，对于曲线
1 y＝－2x
1 1 ＋ln x，有 y′＝－2＋x ， 1 1 1 所以－2＋a＝2，得 a＝1.