6高等数学课件(完整版)详细

(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o

2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )

第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18

1 x
0
1
1

1 t4

1 t2
d
t

t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4

1 2


0 1
d
x x4

x2
0 1 x4
d
x

1
2
1 01

x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分

F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式


arcsin x a

a 0

arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01

x2

高 等 数 学第一章 函数与极限第一节 函数一、常量与变量1）、集合：集合是数学中的一个基本概念，广义来讲把一些事物放在一起就构成一个集合。

在数学中我们把具有某种特定性质的事物的总体叫集合。

如某班所有学生；全体自然数等等。

当集合中的元素抽象地用数表示时这个集合就变成了数集，如某班学生都用学号代替这个集合就变成数集了。

高等数学中我们都考虑数集。

邻域：设a 为任意实数以a 中心的开区间就叫做a 的邻域，记为()a U 。

设δ为任一正数开区间()δδ+-a a ,为a 的邻域，我们记为(){}δδδ+<<-=a x a x a U |,。

去心邻域：有时我们考虑a 的邻域时需要把a 点去掉，这样的邻域叫去心邻域，记为(){}δδ<-<=a x x a U0|, 。

2）、常量和变量：在一变化过程中保持一定的数值叫常量；在一变化过程中可以变化的数值叫变量。

高等数学是研究变量的数学。

二、函数的概念及其性质世界上的事物是普遍联系的，任何事物都不是孤立的，总是和其周围的事物发生各种各样的联系。

联系的形式也是纷繁复杂的，其中一种有代表性的情形就下面我们要讨论的函数。

定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。

如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记为()x f y =。

其中数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫自变量，y 叫因变量（函数），数集(){}D x x f y y W ∈==,|叫函数的值域如图1。

注1：函数()x f 的定义域一般是指能使该算是有意义的所有x 取值所构成的集合。

注2：连函数相同，不但要对应法则一致，还要定义域一致。

例1：求函数()()xx x x x f 412ln 22+--+=定义域。

解:定义域为{}{}0401222>+-⋂>-+x x x x x x ，即{}413<<-x x 1）函数的表示方法① 列表法：当定义域是由有限个数构成的数集时可以考虑这种方法。

取典型小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 看作均匀薄片， 所有小块质量之和
(ξi ,ηi )
•
∆σi
λ→0
o x n 近似等于薄片总质量 M = lim∑ρ(ξi ,ηi )∆σi .
i =1
2、二重积分的定义 、
上的有界函数， 定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 ∆σ1 ， 个小闭区域， ∆σ 2 , L ∆σ n，其中 ∆σ i 表示第 i 个小闭区域， ， 也表示它的面积， 也表示它的面积， 的面积 在每个 ∆σ i 上任取一点(ξi ,ηi )， 作乘积 并作和
2 2
解 当r ≤ x + y ≤ 1时，< x2 + y2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1, 0
故 ln( x + y ) ≤ 0
2 2
ln( 又当 x + y < 1时， x2 + y2 ) < 0,
于是
r ≤ x + y ≤1
∫∫
ln( x + y )dxdy < 0
2 2
三、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
o
D
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质） 二重积分与定积分有类似的性质）
α 数 性质１ 性质１ 当 ，β为常 ，则
∫∫ [α f ( x, y) + β g( x, y)]dσ
= α∫∫ f ( x, y)dσ + β ∫∫ g( x, y)dσ .

1
微积分基本定理
微积分基本定理的概念和推导，描述定积分和不定积分之间的关系。
2
带变限积分
带变限积分的计算方法和几何解释，通过例题演示如何求解带变限积分。
极限和连续
深入介绍极限和连续的概念、性质和运算法则，帮助学生理解和掌握这两个重要概念。
极限
数列极限和函数极限的定义和性质，常见的极限计 算方法和极限存在准则。
连续
函数连续的定义和判定条件，连续函数的性质和运 算法则。
函数及其图像
介绍函数的概念和性质，以及如何通过绘制函数图像来更好地理解函数。
函数
函数的定义、定义域、值域和性质，常见函数类型 和函数之间的关系。
图像
绘制函数图像的方法和技巧，通过观察图像认识函 数的特点和变化趋势。
导数和微分
介绍导数和微分的概念、性质和计算方法，以及它们在几何和物理中的应用。
1 导数
导数的定义和性质，导数的计算方法和常见 函数的导数公式。
2 微分
微分的概念和计算方法，微分在几何和物理 中的应用。
《高等数学课件PPT》-完整详 细版
一份完整详细的高等数学课件PPT，深入介绍高等数学的各个知识点，帮助 学生更好地理解和掌握这门重要学科。
课程目标和重要性
通过介绍高等数学课程的学习目标和重要性，帮助学生明确学习目标，激发学习兴趣，并认识到 高等数学在现实生活和学科发展中的广泛应用。
学习目标
深入理解高等数学的各个概念和方法，提高解决数学问题的能力。
不定积分与牛顿-莱布尼茨公式
深入研究不定积分的概念、性质和计算方法，以及牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用。
1 不定积分
不定积分的定义和计算方法，常见函数的不 定积分公式。

且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A

一、直线方程的定义
方向向量的定义：
如果一非零向量平行
于一条已知直线，这个
向量称为这条直线的方
向向量．
x
z
s
L
M
M0
o
y
二、直线方程的类型
1.空间直线的对称式方程与参数方程
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
M L, M0M// s
s {m, n, p},
x
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
的图形
情形5
Ax By 0
特征 平面过 z 轴
左图为
x y 0 5
的图形
情形6
Ax Cz 0
特征 平面过 y 轴
左图为
x z 0 5
的图形
情形7 By Cz 0
特征 平面过 x 轴
左图为
y z 0 5
的图形
情形8 Ax By Cz 0
特征 平面过原点
左图为
2x y z 0 5
z y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7 和
3 x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,1},

(3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程 s 的近似值，即
s v( i )ti ;
i 1 n
(4)取极限 当 max ti 0 时，上述总和的极限 就是 s 的精确值，即 s lim v( i )ti .
0
1i n n
二、定积分的概念

b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx .
a c
c
b
注： 对于 a, b, c 三点的任何其他相对位置， 上述性 质仍成立，譬如： a b c ，则

c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ,
1i n
再在每个小区间[ x i 1 , x i ] 上任取一点 i ，作乘积 f ( i ) xi 的和式：
f ( )x ,
n i 1 i i
如果 0 时,上述极限存在 （即， 这个极限值与 [ a , b ] 的分割及点i 的取法均无关） ，则称此极限值为函数 f (x) 在 区间[ a , b ] 上的定积分，记为
A lim f (i ) xi .
0
i 1 n
2．变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是时间间 隔[T1 ,T2 ]上的连续函数， v(t ) ≥0， 且 要计算这段时间内 所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似： (1)分割 任取分点T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ，把 [T1 ,T2 ]分成 n 个小段，每小段长为 ti ti ti 1 （i 1,2, , n ）; (2)取近似 把每小段[ ti 1 , ti ]上的运动视为匀速， 任取时刻 i t i 1 , t i ，作乘积v ( i ) ti ，显然这小段时间 所走路程 si 可近似表示为 v ( i ) ti （i 1,2, , n ）;

得: n g ( ) 取 N [ g ( )]
n 1 （ lim 用定义证明： 1） n 2 n 1 2 1 n （2） lim 2 sin 0 n n 3
lim xn a
n
0,
自然数N
lim 一般地：若数列{yn}有界， xn 0 n
小
结（二）
3.数列极限的性质： （1）唯一性 （2）有界性 （3）不等式性质 （4）有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量
4.常用的结论：
（ lim C C 1）
n
（其中C为常数）
1 （2） lim p 0, （其中p为大于零的常数） n n
（3） q n 0, 其中 q 1. lim
重要极限Ⅱ
(e 2.71828)
例4 求下列极限
1 n (1) lim(1 ) n n 2 1 ( n 2 ) 2 lim(1 ) n n 2
1 n 2 (1 ) n 2 lim n 1 2 (1 ) n 2
1 n 2 lim(1 ) e n n 2 e 1 2 1 lim(1 ) n n 2
1 n ( 2) lim(1 ) n n n1 n n n 1 lim( ) lim( ) n n n 1 n n n lim ( ) n n 1 1 1 1 n 1 n 1 1 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) n n n n1 n1 n1 1 e
n sin n! (4) lim 2 n n 1
n 1 3 n 4 ( 3) lim( ) n n
6n n (5) lim n （ n cos ） n 7 5 2

则窄曲边形的面积近似为
从而面积元素为
于是得面积
《高等数学》第六章第一节
1. 直角坐标系 例1 求由曲线 及 所围成平面图形的面积.
Байду номын сангаас
解 面积元素 (如图) , 在积分区间 [0, 2] 上作定积分, 即所求的面积是
《高等数学》第六章第一节
思考题: 求由星形线 所围成图形的面积.
《高等数学》第六章第一节
2.极坐标情形
线 所围成的曲边扇形，求其面积公式.
问题:设平面图形 是由曲线 ( )与射
, 且当x由0变到a时, 由
变到0, 则有
可得
一般地，当曲边梯形的曲边 y = f (x) ( f (x) 0 , x[a, b] )
由参数方程 给出时, 若
(1) 在 (或 )上具有连续导数，且
《高等数学》第六章第一节
(2) 连续,
则曲边梯形的面积为
《高等数学》第六章第一节
例4 求摆线第一拱 与
轴围成的面积.
解 上图为摆线形成的过程，所求面积为：
《高等数学》第六章第一节
应用定积分来计算平面图形面积, 对于 在不同坐标系下的情况我们分别加以介绍.
6.1.2 平面图形面积
《高等数学》第六章第一节
1.直角坐标情形
问题： 设曲边形由两条曲线 及直线
《高等数学》第六章第一节
思考题:求由 围成的面积.
如果平面区域是由曲线 , 及 直线 所围成 ,它的面积是定积分
解 由于椭圆关于两个坐标轴都对称 , 故椭圆面积为 A = 4A1, 其中A1为椭圆在第一象限的面积, 因此
利用椭圆的参数方程
, 0 2,
x
y
a