《数列的概念与简单的表示法》说课稿
一、教材分析
1、教材的地位和作用
“数列数列的概念”这节课的教学内容是高一数学教学模块⑤第二章《数列》的第一节，是本章的开启课。
数列是高中数学的重要内容之一,它的地位作用可以从三个方面来看:
（1)数列有着广泛的实际应用。如堆放物品总数的计算要用到数列前n项和公式；又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理;再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识。
（2）数列起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型，人们往往通过离散现象认识连续现象.另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备.因此就有必要研究数列。
（3）数列是培养学生数学能力的良好题材。学习数列,要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。
2、教学重点与难点
教学重点：数列的概念及理解数列是一种特殊的函数
教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
由于这是《数列》这一章的开启课,以后所学的等差数列、等比数列都是本节所学数列的特殊情况，故如何根据数列的前几项推导出数列的一个通项公式是本节课要突破的一个教学难点。
二、教学目标
知识目标：通过枚举归纳：
① 认识数列的特点，掌握数列的概念及表示方法。
②了解数列通项公式的意义及数列分类。
③能由数列的通项公式求出数列的各项，反之, 能由数列的前几项写出数列的一个通项公式。
能力目标：通过对数列通项公式的探究和应用，帮助学生通过问题解决获得数学知识;在交流过程中，养成表述、抽象、类比、概括、总结的思维习惯。
情感目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材激发学生的学习兴趣和热爱生活的情感.
三、教学方法
根据本节课的内容和学生的实际情况，本节课主要采用“提问法、观察法、发现法、启发式法相结合的方法”引导学生发现问题，探索问题，并解决问题。
四、教学过程
五、设计说明:
1、板书说明
2、时间安排
课题引入约5分钟；概念建构约7分钟，公式形成与感悟约12分钟；例题与练习约18分钟,小结与作业约3分钟
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第8课时 数列的递推公式 知识点一 利用数列的递推公式求数列的项 1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3，且a 1＝0，则此数列第5项是( ) A ．15 B ．255 C ．16 D ．63 答案 B 解析 a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255． 2．已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则数列{a n }的第4项是( ) A ．116 B ．117 C ．110 D ．125 答案 C 解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝17 37 ＋1＝110 ． 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N * )，则a 1000＝( ) A ．1 B ．1999 C ．1000 D ．－1 答案 A 解析 a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1， a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)． 4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 答案 C 解析 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3． ∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30． 5．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a ＜0，n ∈N * )，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________． 答案 2 解析 ∵? ???? 2＝a ＋m ， 4＝a 2 ＋m ，∴? ?? ?? a ＝－1， m ＝3， ∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3 ＋3＝2． 6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N * ，则a 2011＝________；a 2018＝________．
"高中数学必修5 《数列通项公式求法》导学案 " 【学习目标】 1.会在各种条件下，选用适当的方法求数列的通项公式。 2.掌握定义法、公式法、累加法、累乘法、构造数列法在求通项公式中的应用。 【重点难点】 重点：由递推公式求数列的通项公式 难点：累加法、累乘法、构造数列法 【学习过程】 知识点一：定义法（教材链接：等差数列和等比数列的定义） 直接用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数 列{}n a 的通项公式. 例2.已知数列{} n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且有332-=n n a S ， （1）求数列{}n a 的通项公式。 （2）设数列{}n b 的通项公式是1 33log log 1+?= n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正整数n ，总有n T <1. 知识点三：由递推式求数列通项 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+（教材链接：第37页等差数列通项公式的探究）
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+（教材链接：第50页等比数列通项公式的探究） 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：通过对系数q 的分解，把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1。 例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 类型4 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（教材链接：第69页第6题） 解法：通过对系数p 的分解，转化为)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，得等比数列}{1--n n ka a ，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,。
《数列的概念与简单的表示法》说课稿 一、教材分析 1、教材的地位和作用 “数列数列的概念”这节课的教学内容是高一数学教学模块⑤第二章《数列》的第一节，是本章的开启课。 数列是高中数学的重要内容之一,它的地位作用可以从三个方面来看: （1)数列有着广泛的实际应用。如堆放物品总数的计算要用到数列前n项和公式；又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理;再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识。 （2）数列起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型，人们往往通过离散现象认识连续现象.另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备.因此就有必要研究数列。 （3）数列是培养学生数学能力的良好题材。学习数列,要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。 2、教学重点与难点 教学重点：数列的概念及理解数列是一种特殊的函数 教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 由于这是《数列》这一章的开启课,以后所学的等差数列、等比数列都是本节所学数列的特殊情况，故如何根据数列的前几项推导出数列的一个通项公式是本节课要突破的一个教学难点。 二、教学目标 知识目标：通过枚举归纳：
① 认识数列的特点，掌握数列的概念及表示方法。 ②了解数列通项公式的意义及数列分类。 ③能由数列的通项公式求出数列的各项，反之, 能由数列的前几项写出数列的一个通项公式。 能力目标：通过对数列通项公式的探究和应用，帮助学生通过问题解决获得数学知识;在交流过程中，养成表述、抽象、类比、概括、总结的思维习惯。 情感目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材激发学生的学习兴趣和热爱生活的情感. 三、教学方法 根据本节课的内容和学生的实际情况，本节课主要采用“提问法、观察法、发现法、启发式法相结合的方法”引导学生发现问题，探索问题，并解决问题。 四、教学过程
数列的递推关系（教学设计） 一、教学目标： 1. 能从实际问题抽象出数列模型，学生通过探究经历数学抽象，观察发现、归纳猜想等过程，培养学生的观察素养以及数学抽象核心素养. 2．能从数、形两个角度发现数列规律，并写出相应递推公式，构建学生解决问题的基本思路方法，并体会数形结合、从特殊到一般、整体与局部、观察联想等数学思想方法，培养逻辑推理等核心素养. 3. 学生了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据数列的递推公式写出数列的前几项. 二、教学重点与难点： 重点: 应用数形结合的思想求出数列的递推公式，并能写出数列的前几项 难点: 从图形或数列特殊几项抽象归纳出递推公式 三、教学过程设计 1 复习回复，引入课题 对数列的研究源于现实生产生活的需要，在上一节课中我们也列举了很多生活中数的序列，归纳出： （1）数列的概念：按照一定顺序排列的一列数 （2）数列与函数：定义在正整数集或其有限子集上的函数 （3）数列的表示方法：通项公式、列表法、图像法 数列源于生活，也要用于生活，那下面就用数列知识解决生活中的问题。 2 源于生活，创设情境 例1：“切披萨饼”的学问 一家披萨饼店的员工乔治喜欢将披萨饼切成形状各异的小块以便出售。他发现一刀能将饼切成2块，两刀最多能切成4块，请你帮他算算看，三刀、四刀， ，n 刀最多能将饼切成几块？ 设计目的：创设生活中的数列问题，激发学生探究的兴趣。 师：按照一刀、两刀、三刀这样顺序切下去得到饼的最多块数，这样的一列数是否为数列？ 生：是。 师：记刀数为n ，饼的块数最多为n a ，不妨用列表法表示该数列，显然有 4,221==a a .请大家动手操作一下，将披萨饼抽象成圆，切一刀相当于画一条线段 将圆分成两块，依次下去，数一数，完成下列表格。
2.1数列的概念与简单表示法 （第1课时） ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 5 1413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决 数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累 乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。 例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+①求它的通项n a 。 变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？ 变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？ 挑战高考题： 1.(2015.某某.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+， )*∈N n （。 （1）求n a 2.（2008.某某.5）在数列{}n a 中，)1 1ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？
《建立数列模型解决实际问题》说课稿 一、为了回答第一个问题—要把学生带到哪里？我做了以下分析： 学习目标分析 学习目标是教学中最先要考虑的问题，明晰学习目标，做到有的放矢，是课堂教学的第一要素。我从以下几个方面考虑来制定本节课的学习目标：（1）明确《课程标准》要求；（2）分析教材；（3）分析学情。 1、本节课的《课程标准》要求： 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 2、分析教材 人教A版《数学5》中的第二章《数列》，是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列（等差数列、等比数列）的通项公式及前n项和公式的研究。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，在日常生活中有着广泛的应用。本节课的主要内容是通过对日常生活中两个实例的分析，得到等差、等比两种数列模型以及建立数列模型的具体步骤。目的是让学生感受到这两种数列模型应用的广泛性，并能够利用它们解决生活中的实际问题，它是等差、等比数列在实际应用中的一节整合课，是这两种数列知识的再认识和再应用，是本章内容的升华。 3、分析学情 有利因素：学习本节课之前，学生已经对等差、等比数列的概念、通项公式及其前n项和公式有了较深的认识，这对建立这两种数列模型做好了知识储备。从认知结构方面，大量的数学思维方法如类比思想、归纳思想、数形结合思想、方程思想等已为学生所习知。 不利因素：学生在分析问题的实际背景、明确问题的复杂条件、考虑问题的实际意义、解决问题的常规方法等方面都存在一定的不足，尤其是用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，学生还没有形成思维习惯，所以“建模”和“解模”两步对学生来说还是个难点。 依据教材分析，本节课的重点是：建立数列模型的步骤，解决有关等差、等比数列模型的实际问题。依据学情分析，本节课的难点是：从生活背景中提炼出相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决。 基于以上分析，本节课的学习目标如下： （1）学会解决有关等差数列模型的实际问题。 （2）学会解决有关等比数列模型的实际问题。 （3）明确建立数列模型的步骤。 二、怎样把学生带到那里？ 为了回答好第二个为题,我进行了评价任务分析、教学方法分析和教学流程分析： 1 、评价任务分析 （1）针对目标1，设计例1第（Ⅰ）问，引导学生建构等差数列模型；设计阶段性小结和目标检测题1，使学生学会抓关键信息、构造等差数列模型。 （2）针对目标2，设计例1第（Ⅱ）问,引导学生建构等比数列模型；设计阶段性小结、例2、目标检测题2，使学生学会抓关键信息、构造等比数列模型，解模过程采用小组讨论形式。 （3）目标3包含在目标1、目标2的达成过程中。 2 、教法分析 为了突出重点，突破难点，我采用了问题串引导、学生自主探究与合作交流相结合的教学模式。通过情境预设，抛出问题，逐步引导，启发探究，检测反馈,引起学生对建立数列模型、解决实际问题的注意和兴趣，进而激发学生的探究欲望。本节课始终以学生为主体，教师为主导,探究为主线。 3 、教学流程设计分析 依据“评价指导教学活动、目标引领教学过程”这一理念，我把教学流程分成七个环节来进行，
. 2.1.2 递推公式 一、教课目的： 1、能力要求： ①认识数列递推公式的定义并依据数列的递推公式写出数列的前几项； ②可以依据递推数列的前n 项概括通项公式； ③可以依据数列的递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法： ①介绍递推公式的定义； ②依据数列的递推公式写出数列的前几项的方法解说； ③依据递推数列的前n 项概括通项公式的方法解说； ④依据数列的递推公式求数列的通项公式的方法解说。 二、教课要点、难点： 要点：由数列的递推公式写出数列的前几项； 难点：依据递推数列的前n 项概括通项公式；依据数列的递推公式求数列的通项公式。 三、例题解说： 例 3、数列a n中， a1 2 且知足 a n3a n 1 2 n N *且 n 1, ，写出数列a n的前 5 项。 [ 变式 ]数列a n中，a11, a2 2 ，此后各项知足 a n a n 1 a n 2 n 3 ， （1）求出数列 a n 的前 5项； （2）经过公式 b n a n 结构一个新的数列b n，写出数列b n 的前 4项。 a n 1 例 4、数列a n中， a10 ， a n 1a n2n 1，写出数列a n的前4项，并概括猜想它
. 的通项公式。 [ 变式 1]数列a n 中， a1 1 ， a n 1 2a n n N *，写出数列a n的前5项，并概括猜 a n 2 想它的通项公式。 [ 变式 2] 数列a n中，a12, a2 3 ， a n 2 3a n 1 2a n n N *，写出数列 a n的前 5 项，并概括猜想它的通项公式。 例 5、设a n是首项为1的正项数列，且n 1 a n21na n2a n 1 a n0 n N *，求数列a n的通项公式。 四、小结： 1、数列的递推关系求数列的项时，只要挨次将项数n 的值带入即可； 2、求通项公式时，常用察看剖析法、特别数列法、概括递推法等，但概括猜想不过一种思 维方法，结果的正确性还需进一步的证明。 3、由递推关系直接求通项公式的方法众多，在此后的学习中我们将对其进行深入研究。
2019-2020年高中数学第二章数列数列复习小结教案新人教A版必修5教学目的： 1．系统掌握数列的有关概念和公式。 2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。 3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。 授课类型：复习课 课时安排：2课时 教学过程： 一、本章知识结构 二、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法． 三、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思
想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 四、知识精要： 1、数列 [数列的通项公式] [数列的前n项和] 2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 [等差数列的判定方法] 1．定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。 [说明]该公式整理后是关于n的一次函数。 [等差数列的前n项和] 1． 2. [说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，
2.2等差数列（一） 我要进行说课的课题是必修五的2.2.等差数列（一），下面我将从教学内容分析，重点、难点分析，学情分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析；教学评价分析七个方面来陈述我对本节课的设计方案。 一、教学内容分析 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》第二章《数列》2.2等差数列（一）。通过实例，理解等差数列的概念，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、重点、难点分析 教学重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式。 教学难点：等差数列通项公式推导。 重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，自主探究，并通过师生合作交流的办法来实现重难点突破。 三、学情分析 本课之前，学生已经学习了数列的有关概念，在此基础上利用实际的例子探索等差数列的概念，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，对于高一的学生，数列是首次学习。 让学生成为学习的主人，这节课，学生采用了自主探究、类比联想、归纳总结的学习方法来获取知识，始终贯彻自主学习的原则，让学生亲身体验、合作探究，在和谐、创新的学习环境中充分发挥自主性，让学生主动参与课堂。正如杜威所说：“让学生从做中来学”。使学生进一步感受数学的无穷魅力，其主要活动是：亲身体验→主动探究→合作交流→巩固提高→自我评价。 四、教学目标分析 1、知识与技能： （1）通过实例，理解等差数列的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列; （2）探索并掌握等差数列的通项公式，及通项公式的简单应用。 （3）了解等差数列的函数特征。 2、情感态度与价值观： 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。 3、过程与方法
第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 双基达标 (限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是 ( )． A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列⎩⎨ ⎧⎭ ⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1 k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)． 答案 C 2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项 解析 令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.
答案 C 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于 ( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C 4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24 5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1 2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递 减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝1 2a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1 2a n <0， ∴{a n }是递减数列． 答案 递减 6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1 3， (2) 53，( )，1715，2624，3735 ，… (3)2,1，( )，1 2，… (4)32，94，( )，65 16 ，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数 912 812 712 ( ) 512 4 12 于是括号内填6 12，而分子恰为10减序号． 故括号内填1 2，通项公式为a n ＝10－n 12. (2) 53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1 ，
m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --=--= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列 二、等差数列 知识要点 1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系 ∑==++++=n i i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨ ⎧≥-==-2 1 1 1 n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式 () 1(),(), ,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数 (),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列． 3．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n += ； 2 )1(1d n n na S n -+= 221(),()22 n n d d S n a n S f n An Bn = +-==+特征：即 2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列． 5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(* ∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2； ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：( )( )1n n a a d n N * +-=∈常数 ⇒{}n a 是等差数列
第二课时数列的通项公式与递推公式 预习课本P30～31，思考并完成以下问题 (1)什么叫数列的递推公式？ (2)由数列的递推公式能否求出数列的项？ [新知初探] 数列的递推公式 定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式． [点睛](1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项． (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项() (2)有些数列可能不存在最大项() (3)递推公式是表示数列的一种方法() (4)所有的数列都有递推公式() 解析：(1)正确．只需将项数n代入即可求得任意项． (2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的． (3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法． (4)错误．不是所有的数列都有递推公式．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． 答案：(1)√(2)√(3)√(4)× 2．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是() A．1,2,3,4，…B．1，2，2,22，…
C.2，2，2，2，… D ．0，2，2,22，… 解析：选B B 中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式a n ＝2a n －1. 3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 解析：选D 由a n ＋1＝a n ＋2－a n ，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1， 则a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12，a 5＝a 3＋a 4＝19. 4．已知a 1＝1，a n ＝1＋1 a n －1 (n ≥2)，则a 5＝________. 解析：由a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1，得a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53，a 5＝8 5. 答案：8 5 由递推公式求数列的项 [典例] 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n ，求{a n }的前5项． [解] 由 a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n ，得 a n ＋2＝a 2n ＋1－(－1)n a n ，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 22－(－1)1a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－(－1)2a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－(－1) 3 a 3＝332＋110 ＝109.∴数列{a n }的前5项为1,3,10,33,109. 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． [活学活用] 已知数列{a n }满足a n ＋1 ＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n <1 2， 2a n －1，1 2 ≤a n <1，若a 1＝6 7 ，则a 2 018＝________. 解析：计算得a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37，a 4＝2a 3＝6 7 .故数列{a n }是以3为周期的
2.2等差数列 2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新 知的创新意识 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子 (1)0，5，10，15，20，25， (2)48，53，58，63， (3)18，15.5，13，10.5，8， (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366， 请你们来写出上述四个数列的第7项 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7
《数列通项公式的方法》教学设计 一、教学内容的地位和作用 在高考中数列部分是必考内容，近四年的高考中，2010、2011年在17题的位置考查了数列的解答题，2012、2013年均考查了2—3道数列的小题，数列部分在高考中所占分值均在10—15分之间，可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。 二教学目标： 知识与技能：1、要求理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法； 2、掌握并能熟练应用数列通项公式的常用求法:公式法、累加法、累乘法、由和求通项以及加数构造等比的方法。 过程与方法：通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法。 情感态度与价值观：感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点。 三、教学重难点： 重点：数列通项公式的常见求法 难点：加数构造等比的方法的归纳和应用，以及针对形式的不同恰当选择通项公式的求法。 四、教学手段与方法 教学采用导学案教学模式，启发、引导、归纳的方法。突出学生的主体地位，充分发挥学生的学习自主性，教师引导学生分析例题及变式，并由学生归纳得到相应方法适用的形式特点，从而形成解决该类问题的通法，多媒体辅助教学，规范学生的答题过程。 五、教学过程 （一）考情分析 2012、2013年均考查了2—3道数列的小题，数列部分在高考中所占分值均在10—15分之间，可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。 设计意图：使学生明确本节教学的重要性，并为本章的复习打下良好的思想基础。 （二）基础知识梳理 1、数列{}n a的常用表示方法：，。 2、通项公式：。 即项与项数间的关系。 3、等差数列的通项公式：。
高中数学 第二章数列第2讲求数列的通项公式与数列求和教 学案 新人教A 版必修5 （一）求数列的通项公式 1、观察法 一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。 【基础例题】写出下列各数列的一个通项公式： ①2，－6，18，－54，162，－486，…; ②111111111 1223344556-----，，，，，…； ③15，25，35，45，55，…。 解答与提示： ①这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：()132--=n n a ②观察规律：……… …6 1515141413131212115 4 3 2 1 -----==n a n 归纳得出：1 1 1+-=n n a n ③仔细观察，数列各项间有：21324310a a a a a a -=-=-==…——是等差数列：()51010115+=-+=n n a n 。 2、利用前n 项和S n 法 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a ，我们一般利用n a 与n S 的关系：11S a =，()21≥-=-n S S a n n n 【基础例题】已知数列{}n a 的前n 项的和13-+=n n S n 求它的通项公式。 解：111111=-+==S a ，()()()[]23311112331+-=--+---+=-=-n n n n n n S S a n n n 此时a 1＝2≠S 1，∴a n ＝⎩⎨⎧≥+-=2 23311 2n n n n 为所求数列的通项公式。 3、公式法 （1）形如d a a n n +=+1（d 为常数）且已知1a ——等差数列 ∵d a a n n =-+1，d 为常数，由等差数列的通项公式得()d n a a n 11-+=。 【基础例题】已知数列{}n a 中()N n a a a n n ∈+==+3,211，求{}n a 的通项公式。 解：∵31+=+n n a a ， ∴31=-+n n a a ，则{}n a 是以21=a 为首项，3为公差的等差数列。 ∴()13312-=-+=n n a n 为所求的通项公式。 （2）形如1n n a q a +=·（q 为常数且0≠q ）且1a 已知——等比数列 ∵1n n a q a +=，∴{}n a 是以a 1为首项，q 为公比的等比数列。∴11-=n n q a a ·。 4、构造阶差数列求通项——形如a n ＋1＝a n ＋f （n ） 该形式中，只要f （1）＋f （2）＋f （3）…＋f （n －1）可以求出，就可以由a n ＋1＝a n ＋f （n ）以n ＝1， 2，3，…，n －1代入递推公式得到n －1个等式，然后累加求得a n ＋1－a 1＝()1 n k f k =∑，从而a n ＝()1 1 n k f k -=∑＋a 1。 【基础例题】已知a n ＋1＝a n ＋n 2 ＋2n －1，a 1＝1，试求数列{a n }的通项公式。 解：由a n ＋1＝a n ＋n 2＋2n －1得，a n ＋1－a n =n 2 ＋2n －1 设b n = a n ＋1－a n =n 2＋2n －1，则数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2 ＋2n －1， 设{b n }的前n 项和为T n ，则 【变式练习】 （1）已知数列{}n a 的前n 项的和S n ＝3n 2 －2n ，求它的通项公式。 （2）已知数列{}n a 的前n 项的和S n ＝ n n 4 12+，求它的通项公式。 【基础知识总结】 【方法与技巧总结】 【基础知识总结】 等差数列的通项公式； 等比数列的通项公式； 【方法与技巧总结】 【基础知识总结】 【方法与技巧总结】 注意项数与项之间的关系，以及符号变化。
最新人教版数学精品教学资料 （新课标）高中数学第二章数列（一）教学设 计新人教A版必修5 从容说课 本章通过生产实际和社会生活中的实际引入了等差数列与等比数列这两种特殊数列的概念、有关知识和方法.重点研究了等差数列与等比数列的通项公式、基本性质、前n项和公式以及用上述知识解决生产实际与社会生活中有关的实际问题 数列在现实世界中无处不在，等差数列与等比数列是其中的两种特殊的数列，发现数列的 等差关系或等比关系是首先遇到的问题，也是学习中需要培养的最基本的能力.只有在观察和思考过程中迅速发现等差关系或等比关系，才能进一步地建立等差数列或等比数列的数学模型，接下来再用等差数列或等比数列的通项公式和有关的性质分析问题和解决问题数列实际上是特殊的函数，是定义在正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})上的函 数.数列的项实际上是定义域为正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习中学会用函数的观点认识数列，是理解数列的概念和性质的有效途径.尤其对等差数列与等比数列这两种特殊数列，更需要清楚地认识到它们与一次函数与指数函数的对应关系.进而，还可以将知识拓展到等差数列的前n项和与二次函数的关系 数列的通项公式描述的是数列的第n项与序号n之间的函数关系，它是研究数列性质的载 体，也是联系问题的已知条件与所要解决的问题的桥梁.它是分析问题与解决问题过程中最受关注的目标 等差数列与等比数列的通项公式的推导，采用了不完全归纳法；等差数列与等比数列的前n项和公式的推导分别采用了“倒序相加”和“错位相减”的方法；本章在有关的问题的探索过程中还蕴含着更多的数学思想方法，如函数与方程的思想、数形结合的思想、转化与化归的思想、算法的思想、分类讨论的思想方法等等.所有蕴含这些思想方法的问题，都是培养和提高学生的数学素养的极好素材，需要我们潜心探究，以更好地体现新课程标准的理念学习过程中，用数列这个数学模型研究和解决生产实际与社会生活中的现实问题，是本章 的一个重要内容，通过对“教育储蓄问题”“住房贷款问题”等问题的探究，既巩固了数学知识，又培养了学生的人生观和价值观，收到的效果是不可估量的，这类问题值得我们高度重