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学案8：2.2.1 综合法与分析法

2.2.1 综合法与分析法

学习目标

1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点) 2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点) 基础·初探

教材整理1 综合法 1．直接证明

(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性．

(2)常用的直接证明方法有__________与__________． 2．综合法

(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论． (2)符号表示：P 0(已知)⇒P 1⇒P 2⇒…⇒P n (结论)．预习自测

1.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：

∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，

∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c

>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是__________(填综合法、分析法)．教材整理2 分析法

1．定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． 2．符号表示：

B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知) 预习自测

2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( )

(2)分析法就是从结论推向已知．( )

(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( ) 合作学习

类型1 综合法的应用

例1 (1)在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 的形状一定是__________． (2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为1

2的等比数列，则|m －n |＝

__________.

(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a

b ≥2；④(a 2＋b 2)·(

c 2

＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．名师指导

1．综合法处理问题的三个步骤

2．用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2

＋b

2(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练

1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法

类型2 分析法的应用

例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥2

(a ＋b )．名师点拨

1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．

2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．跟踪训练

2．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >1

1－b

探究共研型

探究点综合法与分析法的综合应用

探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

探究2 综合法与分析法有什么区别？

例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－

1＋(b ＋c )－

1＝3(a ＋b ＋c )－

名师点拨

综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程. 跟踪训练

3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1

y ＋xy .

课堂检测

1．下面叙述正确的是( )

A ．综合法、分析法是直接证明的方法

B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法

C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的

D ．综合法、分析法所用语气都是假定的

2．欲证不等式3－5＜6＜8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)2

3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 2

2≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，

也就是证__________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． 4．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

的最小值为________.

5．已知a＞0，b＞0，求证：a

＋

≥a＋b.(要求用两种方法证明)

参考答案

教材整理1综合法

1.(1)定义公理定理(2)综合法分析法

2.(1)原因结果

预习自测

1. 【答案】综合法

【解析】本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．教材整理2 分析法

【答案】 1.结果原因充分预习自测

2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ 合作学习

例1 【答案】 (1)钝角三角形 (2)3

2 (3)①②④

【解析】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，

∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0，又0

(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝1

2，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.

设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，

∴4＝1

·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，

由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝3

(3)①a 2＋b 2＋3＝

a 22＋32＋

b 22＋32＋a 22＋b 2

≥2a 22×b 2

＋2a 22×32

＋2b 22×3

＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)． ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14. ③当a 与b 异号时，不成立．

④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．跟踪训练 1．【答案】 B

例2 解：当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥

(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥

(a ＋b )，

只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡

⎦

⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥1

2(a 2＋b 2＋2ab )，

即证a 2＋b 2≥2ab .

∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥

(a ＋b )成立．综上所述，不等式成立．跟踪训练

2．证明：由已知1b －1a >1及a >0可知01

1－b ，

只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b

>1，

即1b －1

>1，这是已知条件，所以原不等式得证．探究1 【答案】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．

探究2 【答案】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．例3 证明：法一：(分析法)

要证(a ＋b )－

1＋(b ＋c )－

1＝3(a ＋b ＋c )－

1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，

只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，

化简，得c a ＋b ＋a

b ＋c

＝1，

即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .

因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，

所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1

2，

即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．

∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－

1＝3(a ＋b ＋c )－1

成立．

法二：(综合法)

因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，

有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得

c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c

＝1，所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭

⎫a

b ＋

c ＋1＝3，

即

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

，所以(a ＋b )－

1＋(b ＋c )－

1＝3(a ＋b ＋c )－

1. 跟踪训练

3．证明：因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1

y ＋xy ，

只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，

所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，

从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1

y ＋xy 成立．

课堂检测 1．【答案】 A

【解析】直接证明包括综合法和分析法． 2．【答案】 C

【解析】要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2

＜(6＋5)2成立．

3．【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0

【解析】用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也

就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 4．【答案】 9

【解析】因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，

所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c

≥3＋2

b a ·a

＋2c b ·b c

＋2c a ·a c

＝3＋6＝9.

当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 5．证明：法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以

a b ＋b

a －a －

b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a

＝(a －

b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b .

法二：(分析法) 要证

a b ＋b

≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．

人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.2.1综合法与分析法(含答案)

选修2-2 第二章 2.2 2.2.1 1．(2013·江西理，3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 [答案] A [解析] 由等比中项公式(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0. ∴x ＝－1(舍去) x ＝－3. ∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A. 2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C ．1a ＋1b ＋1c ≥23 D ．abc (a ＋b ＋c )≤13 [答案] B [解析] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋ c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3. 3．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1a 2＋ab ＋b 2得 (a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1，要证a ＋b <43 ，即证3(a ＋b )<4， ∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )，又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)，也就是证明(a －b )2>0. 因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43 成立．综上，得1