浙江省新昌县实验中学九级数学竞赛试题

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，直径为10的⊙A 山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A ．12B ．34C ．32D ．452．如图，用尺规作图作BAC ∠的平分线AD ，第一步是以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交,AB AC 于点,E F ；第二步是分别以,E F 为圆心，以大于12EF 长为半径画弧，两圆弧交于D 点，连接AD ，那么AD 为所作，则说明CAD BAD ∠=∠的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS3．一元二次方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣2C ．x 1＝2，x 2＝12D ．x 1＝3x 2＝134．已知⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为4.5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．P 在圆内B ．P 在圆上C ．P 在圆外D ．无法确定5．如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 边的中点，点F 在DE 上，CF CD =，过点F 作FG FC ⊥交AD 于点G ．下列结论：①GF GD =；②AG AE >；③AF DE ⊥；④4DF EF =．正确的是（ ）．A ．①②B ．①③C ．①③④D ．③④6．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 727．如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC ＝8，OB ＝5，则OM 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如果2(2)2a a -=-，那么（ ）A ．2a <B ．2a ≤C ．2a >D ．2a ≥9．如图，点C 在反比例函数k y x=()0x >的图象上，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB BC =，AOB ∆的面积为2，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．810．抛物线y =﹣2（x ﹣1）2﹣3与y 轴交点的横坐标为（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣5D ．0二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，连接DE ，要使△ADE ∽△ACB ，还需添加一个条件 （只需写一个）．12．如图所示，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上.已知6AC =，8AB =，10BC =，设EF x =，矩形DEFG 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为______.（不必写出定义域）13．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF 的对称中心与原点O 重合，点A 在x 轴上，点B 在反比例函数k y x=位于第一象限的图象上，则k 的值为 ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，且BE ：CE ＝2：5，连接DE 交AB 于F ，则ADF BEF :S S =_____________15．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接 CP ，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E ，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．16．若关于x 的一元二次方程2(2)x m +=有两个相等的实数根，则m 的值为_________．17．如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个根是1,x =-则a b -=_______________________．18．在一个不透明的盒子里有2个红球和n 个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后 随机摸出一个，摸出红球的概率是15，则n 的值为__________． 三、解答题(共66分)19．（10分）定义：将函数C 1的图象绕点P (m ，0)旋转180°，得到新的函数C 2的图象，我们称函数C 2是函数C 1关于点P 的相关函数。

2024年首届中学生科学素养大赛数学试题卷一、选择题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻1R （W ）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数0U 换算为人的质量m （kg ），已知0U 随着1R 的变化而变化（如图2），1R 与踏板上人的质量m 的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）A ．在一定范围内，0U 越大，1R 越小B ．当03V U =时，1R 的阻值为50WC ．当踏板上人的质量为90kg 时，02VU =D ．若电压表量程为0~6V （006U ££），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg2．已知1110a b c ++=，222100a b c ++=，则a b c ++的值等于（ ）A ．10B ．10-C ．0D ．10或10-3．如图所示的矩形ABCD 内放置5个大小相同的正方形，且E ，F ，G ，H 四个顶点分别在矩形的四条边上，为求AD AB -的值，只要量出下面哪一条线段即可？（ ）A ．CGB ．FC C ．BFD ．GD4．如图，在四边形ABCD 中()AB CD >，90ABC BCD Ð=Ð=°，3AB =，BC =，把Rt ABC D沿着AC 翻折得到Rt AEC D ，若tan AED Ð=DE 的长度为（ ）A B C D 二、填空题（本大题共4小题，每题7分，共28分）5．如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将AD 涂成红色，BF 涂成黄色，GH 涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有 ．6．8120AB AC BAC ==Ð=°，，点P 是边AB 上的动点，以PC 为边，在AC 上方构造等边三角形PCQ △，连接BQ ．则BPQ V 面积的最大值是 ．7．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：(1,0)A 、(2,2)B -都是“整点”．抛物线()24420y tx tx t t =-+->与x 轴交于点M 、N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t 的取值范围是 ．8．如图，ABC V 中， ,40=Ð=°AB AC A ，射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角(0α70)°<<°，与AB 相交于点 D ，将ACD V 沿射线CP 翻折至处,A CD CA ¢¢△与 AB 相交于点 E ．若A DE ¢V 是等腰三角形，则αÐ的度数为 ．三、解答题（本大题共5小题，共64分）9．挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题：(1)22x =，求x 的值；(2)已知a ，b 是实数，且1b >．10．定义运算：(,0)*(,0)b a a a b a a b b a b b ì<¹=í>¹î，若(1)*(4)1x x --=，试求x 的值．11．如图1，C ，D 是半圆ACB 上的两点，若直径AB 上存在一点P ，满足APC BPD Ð=Ð，则称CPD Ð是 CD的“美丽角”．(1)如图2，AB 是O e 的直径，弦CE AB ^，D 是 BC上一点，连结ED 交AB 于点P ，连结CP ，CPD Ð是 CD的“美丽角”吗？请说明理由；(2)如图3，在（1）的条件下，若直径10AB =， CD的“美丽角”为90°，当DE =时，求CE 的长．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ^轴于点Q ，交AB 于点M ，求56PM AM +的最大值及此时点P 的坐标．13．若干名工人装卸一批货物，每名工人装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时完成，现在改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t 小时(t 为整数）增加一个人，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的四分之一．问：（1）改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的工人有多少名？1．C【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图像即可判断选项A 、B ，根据函数图象得当02V U =时，1R 的阻值为90W ，根据1R 与m 之间计算即可判断选项C ，当06V U =时，1R 的阻值为10W ，此时m 有最大值，即102240m =-+，进行计算即可判断选项D ，综上，即可得结论．【详解】解：根据图2得，在一定范围内，0U 越大，1R 越小，当03V U =时，1R 的阻值为50W ，故选项A 、B 说法正确，当02V U =时，1R 的阻值为90W ，根据1R 与m 之间的关系得902240m =-+，解得75m =，即当02V U =时，踏板上人的质量为75kg ，故选项C 说法错误；当06V U =时，1R 的阻值为10W ，此时m 有最大值，即102240m =-+，解得115m =，即电压表量程为0~6V ，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg ，故选项D 正确，故选：C ．2．D【分析】此题考查了完全平方公式，求平方根，代数式求值等知识，解题的关键是将式子正确变形．首先由1110a b c++=变形得到2220bc ac ab ++=，然后计算()2222222100a a b c ab ac b b c c +++=++++=，然后求平方根即可．【详解】解：∵1110a b c++=∴0bc ac ab ++=∴2220bc ac ab ++=∵222100a b c ++=∴()2a b c ++()()222a b a b c c =++++222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc=+++++100=∴10a b c ++=或10-．故选：D ．3．A【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键．如图，记以E ，G 为顶点的边的交点为P ，过P 作MN AB ^于M ，交CD 于N ，则四边形ADNM是矩形，AD MN =，证明PME GNP V V ∽，则ME MP PE NP NG GP ==，即32ME MP NP NG ==，设33ME a MP b ==，，则22NP a NG b ==，，32AD MN MP NP b a ==+=+，同理，PNG GCF V V ∽，可求CG a CF b ==，，如图，作HQ BC ^于Q ，则四边形ABQH 是矩形，则AB QH =，同理，FQH GCF V V ∽，可求33QF a QH b ==，，则3AB b =，32322AD AB b a b a CG -=+-==，然后判断作答即可．【详解】解：如图，记以E ，G 为顶点的边的交点为P ，过P 作MN AB ^于M ，交CD 于N ，则四边形ADNM 是矩形，∴AD MN =，∵90EPG Ð=°，∴90MPE MEP MPE NPG Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴MEP NPG Ð=Ð，又∵90PME GNP Ð=°=Ð，∴PME GNP V V ∽，∴ME MP PE NP NG GP ==，即32ME MP NP NG ==，设33ME a MP b ==，，则22NP a NG b ==，，∴32AD MN MP NP b a ==+=+，同理，PNG GCF V V ∽，∴NP NG GP CG CF FG==，即21NP NG CG CF ==，∴CG a CF b ==，，如图，作HQ BC ^于Q ，则四边形ABQH 是矩形，∴AB QH =，同理，FQH GCF V V ∽，∴QF QH HF CG CF FG==，即31QF QH CG CF ==，∴33QF a QH b ==，，∴3AB b =，∴32322AD AB b a b a CG -=+-==，∴只要量出CG 的长，即可求AD AB -的值，故选：A ．4．B【分析】根据已知，易求得AC =CD 交AE 于F ，可得2AF CF ==，则=1EF ，再过点D 作DG EF ^，设DG =，则2GE x =，ED =，12FG x =-，在t R FGD V 中，GD =，代入数值，即可求解．【详解】解：如图∵ 90B Ð=°，BC =，3AB =，∴30BAC Ð=°，∴AC =∵90DCB Ð=°，∴//AB CD ，∴30DCA Ð=°，延长CD 交AE 于F ，∴ 2AF CF ==，则=1EF ，=60EFD а ，过点D 作DG EF ^，设DG ，则2GE x =，ED =，∴12FG x =-，∴在t R FGD V GD =)12x -，∴ED =故选B ．【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．5．AB DH FG，，【分析】本题考查了正方体框架的涂色问题．先由正方体的特点得出可能涂红色的铅丝，进一步确定涂成红色的铅丝，同理得出涂成蓝色，黄色的铅丝，最后可得涂成白色的铅丝．【详解】解：∵要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色，且AD 涂成红色，∴涂成红色的只可能为EF CG FG AD 、、、，∵EH DH AE BF GH CD AB ，，，，，，，都不能为红色，∴若FG 为红色，则面CDHG 不可能有一条边涂成红色，∴涂成红色的只有EF CG AD、、同理可知涂成涂成蓝色的只有GH AE BC ，，，涂成黄色的有EH CD BF ，，，∴涂成白色的有AB DH FG ，，，故答案为：AB DH FG ，，．6．【分析】如图，延长BA 到E ，使AE AC =，连QE ，过Q 作QF AE ^交AE 于点F ，证出()SAS ACP ECQ V ≌得出30FQE Ð=°，然后利用勾股定理得出QF =，用含QE 的式子表示出BPQ V 面积，最后利用二次函数的性质即可得解．【详解】如图，延长BA 到E ，使AE AC =，连QE ，过Q 作QF AE ^交AE 于点F ，∵120BAC Ð=°，∴60CAE Ð=°，∴ACE △为等边三角形，∴CE AC =，60CAE CEA ECA Ð=Ð=Ð=°，∵PCQ △为等边三角形，∴60PCQ ACE Ð=Ð=°，CP CQ =，∴PCA QCE Ð=Ð，∴()SAS ACP ECQ V ≌，∴120PAC QEC Ð=Ð=°，PA QE =，∴1206060QEF QEC AEC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴906030FQE Ð=°-°=°，∴12FE QE =，∴QF ===，∵8AB AC ==，∴8BP AB PA QE =-=-，∴())2118422BPQ S BP QF QE QE =×=´-=-+ ，∵0<，∴当4QE =时，V BPQ S 有最大值，最大值为故答案为：【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．7．112t <£【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键．由题意知，224(2)422y tx tx t t x =-+-=--，0t >，则该抛物线开口向上，顶点坐标为()2,2-，对称轴是直线2x =．点(2,0)，()2,1-，()2,2-必在该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求t 值，根据t 的值越大，抛物线的开口越小，t 的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可．【详解】解：由题意知，224(2)422y tx tx t t x =-+-=--，0t >，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为()2,2-，对称轴是直线2x =．∴点(2,0)，()2,1-，()2,2-必在该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围成的区域（包括边界）内．①当该抛物线经过点()1,1-和()3,1-时，如图1．将()1,1-代入2442y tx tx t =-+-得，1442t t t -=-+-，解得1t =，∴此时抛物线解析式为242y x x =-+．当0y =时，2420x x -+=，解得，2x =，∴x 轴上的点(1,0)，(2,0)，()3,0符合题意．∴当1t =时，恰好有 (1,0)，(2,0)，()3,0，()1,1-、()3,1-，()2,1-，()2,2-，共7个整点符合题意．∵t 的值越大，抛物线的开口越小，t 的值越小，抛物线的开口越大，∴1t £．②当该抛物线经过点()0,0和点()4,0时，如图2．此时x 轴上的点 (1,0)，(2,0)，()3,0符合题意．将()0,0代入2442y tx tx t =-+-得，042t =-，解得12t =．∴此时抛物线解析式为2122y x x =-．当1x =时，312y =-<-．∴()1,1-符合题意．当3x =时，得312y =-<-．∴()3,1-符合题意．综上可知：当12t =时，点()0,0，(1,0)，(2,0)，()3,0，()4,0，()1,1-，()3,1-，()2,1-，()2,2-，都符合题意，共有9个整点符合题意，∴12t =不符合题．∴12t >．综上所述，当112t <£时，该函数的图象与x 轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，故答案为：112t <£．8．15°或30°或60°【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论和数形结合思想是解题的关键．由折叠的性质知40A A ¢Ð=Ð=°，ACP A CP a ¢Ð=Ð=，再根据题意画出所有可能得图形，并分别利用三角形的外角性质列式计算即可解答，【详解】解：由折叠的性质知40A A ¢Ð=Ð=°，ACP A CP a ¢Ð=Ð=，当A D DE ¢=时，40DEA A ¢¢Ð=Ð=°，由三角形的外角性质得22DEA A ACE A ACD A a ¢=+=ÐÐÐÐ+Ð=Ð+Ð即，40402a °=°+，此情况不存在；当A D EA ¢¢=时，40A ¢Ð=°∴()118040702DEA EDA Ð=Ð=°¢-°=¢°，由三角形的外角性质得22DEA A ACE A ACD A a ¢=+=ÐÐÐÐ+Ð=Ð+Ð，即70402a °=°+，解得：15a =°；当EA DE ¢=时，40EDA A ¢¢Ð=Ð=°，∴180100EDA A DEA ¢=°-=°¢¢ÐÐ-Ð，由三角形的外角性质得22DEA A ACE A ACD A a ¢=+=ÐÐÐÐ+Ð=Ð+Ð，即100402a °=°+，解得30a =°；当A D EA ¢¢=时，则A DE A ED ¢¢Ð=Ð，∵40CA B A ¢Ð=Ð=°，,∴A DE A ED CA D ¢¢¢Ð+Ð=Ð，即20A DE A ED ¢¢Ð=Ð=°，∴()118020802ADC A DC Ð=Ð=°-°=¢°，∴408080061ACD a а-°°=Ð=-=°；综上，15°或30°或60°．故答案为：15°或30°或60°．9．(1)12x =(2)3b -【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件．（1）由根号内的数据大于等于0，得20x -³，，解得2x £，再根据22x =，去根号，化简求解即可；（2）由根号内的数据大于等于0，得20a -³，且20a -³，解得2a =，将a 的值代入式子1-+，得b 【详解】（1）解：由题意，得20x -³，2x \£，30x \-<，\23(2)322x x x x x=---=--+=\12x =，解得12x =．（2）解：由题意，得 20a -³，且20a -³，\2a ³且2a £，2a \=，Q 1b >-111=+=，\1b >，10b ->，\123b b ==--=-．10．1或3或5【分析】本题考查幂的运算与新定义问题，熟练掌握一个数的幂的形式为1，可分二种情况：①底数为1；②幂为0是解题的关键，根据14x x ->-，由新定义可得()141x x --=，则41x -=或10x -=，即可求解．【详解】解：∵14x x ->-，(,0)*(,0)b a a a b a a b b a b b ì<¹=í>¹î，∴(1)*(4)1x x --=可变形为()141x x --=，∴41x -=或4010x x -¹ìí-=î或41x -=-且1x -为偶数，解得：5x =或1x =或3x =，∴x 的值为：1或3或5．11．(1)CPD Ð是 CD的“美丽角”，理由见解析(2)CE 的长为6或8【分析】（1）根据垂径定理得出AB 垂直平分CE ，根据垂直平分线的性质得出CP EP =，根据“三线合一”的性质得出APC APE Ð=Ð，利用对顶角相等，结合“美丽角”的定义即可得答案；（2）如图，连接OC 、OD ，根据“美丽角”的定义得出90CPD Ð=°，45APC BPD Ð=Ð=°，即可得出90CPE Ð=°，45CED Ð=°，根据圆周角定理可得90COD Ð=°，利用垂径定理结合等腰直角三角形的性质得出CD =PC PE x ==，在Rt CPD V 中，利用勾股定理列方程可求出x 的值，根据等腰直角三角形的性质即可得答案．【详解】（1）解：CPD Ð是 CD的“美丽角”，理由如下：如图，设AB 、CE 交于点F ，∵AB 是O e 的直径，弦CE AB ^，∴CF EF =，∵AB 垂直平分CE ，∴CP EP =，∴APC APE Ð=Ð，∵APE BPD Ð=Ð，∴APC BPD Ð=Ð。

2024.11 嘉兴 “南中杯” 数学学科素养与创新能力竞赛一、选择题 (每小题 3 分, 共 24 分)1.已知 xy =23 ,则下列等式中正确的是( )A. 2x =3y B. x +yy=52 C. y x =32 D. x =2,y =32. 若把抛物线 y =3x 2−1 向右平移 2 个单位,所得抛物 线的表达式为( )A. y =3x 2−3 B. y =3x 2+1 C. y =3(x +2)2−1 D. y =3(x −2)2−13.如图,已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O ,若 ∠AOC =140∘ , 则 ∠ADC 等于( )A. 100∘ B. 110∘ C. 120∘ D. 130∘4.从长度为 1 cm,1 cm,2 cm,2 cm 的 4 条线段中任意选 3 条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 165. 已知关于 x 的二次函数 y =ax 2−4ax (a >0) . 若 P (m , n ) 和 Q (5,b ) 是抛物线上的两点,且 n >b ,则 m 的取值范围为( )A. m <−1B. m >5C. m <−1 或 m >5D. −1<m <56.如图,四边形 ABCD 是菱形,边长为 42,∠A =45∘ . 点 P 从点 A 出发,沿 A →D →C 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,同时点 Q 沿射线 BA 的方向以每秒 1 个长度单位的速度运动,当点 P 运动到达点 C 时,点 Q 也立刻停止运动,连接 PQ ,△APQ 的面积为 y ,点 P 运动的时间为 x (0≤x ≤8) 秒,则能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的图像是 ( )题3 题6A. B. C. D.7.抛物线 y =ax 2+bx +c 交 x 轴于点 A (−1,0),B (3 ,0) ,交 y 轴的负半轴于点 C ,顶点为 D ,下列结论:① 2a +b =0 ；② 2c <3b ；③当 m 为任意实数时, a +b <am 2+bm ；④ 方程 cx 2+bx +a =0 的两个根为 x 1=−1,x 2=13 ;⑤ 抛物线上有两点 P (x 1,y 1) 和 Q (x 2,y 2) ,若 x 1<1<x 2 ,且 x 1+x 2>2 ,则 y 1<y 2 . 其中正确的有( )个.A. 2B. 3C. 4D. 5题7 题8 题118.如图, △ABC 中, ∠ACB =90∘ ,点 D 在 CA 上, CD =1,AD =4,∠BDC =3∠BAC ,则 BC = ( )A.41111B.51111C.577D.677二、填空题 (每小题 4 分, 共 24 分)9.有两辆车按 1,2 编号, 洪、杨两位老师可任意选坐一辆车,则两位老师同坐 2 号车的概率为_____.10.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着 “黄金分割”, P 为 AB 的黄金分割点 (AP >PB ) ,如果 AB 的长度为 8 cm ,那么 AP 的长度为_____cm.11.如图, OA 是 ⊙O 的半径,弦 BC ⊥OA 于点 D ,连结 OB . 若 ⊙O 的半径为 5 cm , BC 的长为 8 cm ,则 OD 的长是_____ cm .12.已知,二次函数 y =4x 2−4ax +a 2+2a +2 在 0≤x ≤2 上有最小值 4,则 a = _____.13.已知: 如图,二次函数y=−49x2+4的图象与y轴交于点A ,与x轴正半轴交于点B ,点P在以A点为圆心,2 个单位长度为半径的圆上, Q点是BP的中点,连接OQ ,则OQ 的最小值为_____.题13 题1414. 数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点,这类图形称为“诺模图”. 如图是关于x,y ,z三者关系的诺模图,它是由点O出发的三条射线OA,OB,OC组成,每条射线上都有相同的刻度,且射线端点刻度为 0,其中∠AOC=∠BOC=60∘ . 点A、B、C对应的刻度值是x ,y,z ,且A、B、C三点共线.(1)若x=20,y=12 ,则z的值是_____；(2)若x=2y ,则zy= _____.三、解答题 (共 6 题, 第 15-18 题每题 8 分, 第 19、20 题每题 10 分, 共 52 分)15.已知抛物线y=x2−4x−5 .(1)求该图象的顶点坐标和对称轴.(2)自变量在什么范围内时, y随x的增大而增大.16.第 19 届亚运会在杭州举行, 小聪和小明都是志愿者,他们被随机分配到A、B、C、D四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.(1)小明被分配到D场馆做志愿者的概率是多少?(2)利用画树状图或列表的方法,求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率.17.如图,在直角坐标系中, △ABC各顶点的坐标如下:A(−1,1),B(2,3),C(0,3) .(1)以原点O为位似中心,在x轴上方作与△ABC的位似比为 2 的位似图形△A′B′C′ .(2)顶点A′的坐标为_____, △A′B′C′与△ABC的面积之比为_____.18.在如图所示的方格纸中存在△ABC ,其中,点A,B , C均在格点上.(1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心O .(2)若方格纸中每个小正方形的边长为 1,求△ABC外接圆半径R的长.(3)在(2)的条件下,求出弧AB的长度.19.某超市购进甲、乙两种商品,已知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品, 需 60 元; 购进 2 件甲商品和 3 件乙商品, 需 65 元.(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？(2)设甲商品的销售单价为x (单位:元/件),在销售过程中发现,当11≤x≤19时,甲商品的日销售量y (单位: 件) 与销售单价x之间存在一次函数关系, x、y之间的部分数值对应关系如表:销售单价x (元/件)1119日销售量y (件)182请写出当11≤x≤19时, y与x之间的函数关系式.(3)在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为w元,当甲商品的销售单价x (元/件) 定为多少时, 日销售利润最大? 最大利润是多少?20.如图 1, △ACE,△ACD均为直角三角形, ∠ACE=90∘,∠ADC=90∘,AE与CD 相交于点P ,以CD为直径的⊙O恰好经过点E ,并分别于AC,AE交于点B和点F ,连接DF .(1)求证: ∠ADF=∠EAC；(2)如图 2,过O作OG//CE ,交BC于点G ,连接DE ,若BC=12,OG=8 ,则DE⋅AC的值是多少?(3)如图 3,在此图情况下,若AEOC =x,AFPF=y ,试用含x的代数式表示y .图1 图2 图3解析1.选C2.依据“左加右减”选D3.由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得 ∠ABC =12∠AOC =70∘ ,又由圆内接四边形 ABCD 得 ∠ABC +∠ADC =180∘ ,故 ∠ADC =110∘ ,选 B.4.从四条线段中任意取三条等价于从四条线段中拿出一条作为没被取的, 故总共有 4 种取法, 要满足所取线段能构成等腰三角形就需要所取的三条线段中有两条 1 cm 的线段或两条 2 cm 的线段,而取两条 1 cm 的线段时所取的第三条线段一定是 2 cm ,而 1+1=2 ,所以此时无法组成三角形,故所取的三条线段能组成等腰三角形的概率 P =24=12 ,选 A.5.由题意得: 抛物线开口向上,对称轴 x =−−4a2a =2 ,根据二次函数的对称性,当 n =b 时, m =−1 或 5,故当 n >b 时, m <−1 或 m >5 ,选 C.6.显然点 D 到 AB 的距离 ℎ=ADsin45∘=4 ,①当 0≤x ≤4 时,此时 AP =2x,AQ =42− x,S △APQ =12AP ⋅AQsin45∘=−x 22+22x ,② 当 4<x ≤42 时,此时 AQ =42−x,S =12ℎ⋅(42−x )=82−2x ,③当 42<x ≤8 时,此时 AQ =x−42,S =12ℎ⋅(x−42) =2x−82 ,故能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的图像是 D.7.由于抛物线经过点(-1,0)和(3,0),则其对称轴为直线 x =1 ,即 b−2a =1 ,故 2a +b =0 ,故①正确; 由抛物线的对称轴为直线 x =1 知其在 x =1 时取到最小值,故对任意 m,a+b +c ≤am 2+bm +c ,即 a +b ≤am 2+bm ,故③错误; 由两点式得 y =a(x +1)(x−3)=ax 2−2ax−3a ,故 {b =−2ac =−3a ,故 2c =−6a =3b ,故②错误,故 cx 2+bx +a =−a (x +1)(3x−1) ,即 x 1=−1,x 2=13 ,故④正确; 由 x 1<1<x 2 知点 P 在直线 x =1 左侧,点 Q 在直线 x =1 右侧,又 x 1+x 2>2 ,故 x 2−1>1−x 1 ,又抛物线开口向上,且对称轴为直线 x =1 ,由轴距法得 y 1<y 2 ,故⑤正确,所以正确的一共有 3 个,选 B.8.设 BC =x ,显然 tan∠BAC =x5,tan∠BDC =x ,由合角公式得: tan2∠BAC =2x 51−x225=10x25−x 2 ,tan∠BDC =tan(∠BAC +2∠BAC )=x 5+10x25−x 21−10x 2125−5x 2,解得 BC =x =577,选 C.9.1410.由黄金分割点定义知 AP =5−12AB =(45−4) .11.312.显然,二次函数开口向上,且对称轴为 x =a 2 ,当 a2≤0 时,即 a ≤0 ,当 x =0 时,y min =a 2+2a +2=4 ,解得 a =−1−3 或 −1+3 (舍);当 0<a2<2 时,即 0<a <4 ,当 x =a2 时, y min =2a +2=4 ,解得 a =1 ;当 a2≥2 时,即 a ≥4 ,当 x =2 时, y min =a 2−6a +18=4 ,方程无解;故答案为 1 或 −1−3 .13.连结 AP,AB ,取 AB 中点 C ,连结 CQ,CO ,因为 OA =4,OB =3 ,因此 AB =5,OC =52,CQ =12AP =1 ,OQ ≥CO−CQ =52−1=32 ,当且仅当 O 、C 、Q 三点共线时取等号.14.方法一: 对于 (1),过点 B 作 AO 的垂线交 AO 延长线于点 D ,x =20,y =12,OD =6,BD =63,AD =26 ,因此 BA =28 ;∵OC 为 ∠AOB 的角平分线,∴BO AO=BC CA =35 ,∴BC =212,AC =352,由斯特瓦尔特定理,当 OC 为 ∠AOB 的角平分线时,OC 2=OB ×OA −BC ×CA =2254,因此 OC =152;对于 (2),同 (1) 可得 z =23y .方法二: 过点 C 作 CD //OB 交 OA 于点 D ,依题意得, ∠BOC =∠AOC =60∘,OA =x ,OB =y ,OC =z ,∵CD //OB ,∴∠OCD =∠BOC =60∘ .∴∠OCD =∠AOC =60∘ ,∴△OCD 为等边三角形.∴CD =OD =OC =z ,∴AD =OA −OD =x −z ,∵CD //OB ,∴△ACD ∽△ABO ,∴AD OA =CD OB ,即x −z x=zy ,得 xz +yz =xy .(1)当 x =20,y =12 时,代入上式得 z =152;(2) x =2y 时,即 3yz =2y 2 ,从而 zy =23 .15.(1) (2,−9),x =2;(2)x >2分析: 主要考察抛物线的基本知识和图像.16.(1) 14;(2) 1417.(1)略；(2)(一2,2),4:1分析: 主要考察位似三角形的基本定义.18.(1) 略; (2) 10; (3)102π分析: (1) (2) 问主要考察外心的简单性质以及勾股定理.(3)问主要考察“一线三等角模型”发现弧 AB 所对圆心角为 90∘ 19. (1) 10,15 ;(2) y =−2x +40 ;(3) w =(−2x +40)(x −10)=−2(x −15)2+50(11≤x ≤19) ,当 x =15 时,利润最大, 最大利润为 50 元.20. (1)见解答；(2)400；(3) y =14x 2−1分析: 本题主要考察圆中角的关系, 导角即可.(1)证明: ∵∠ACE =∠ADC =90∘ ,∴∠ADF +∠PDF =90∘,∠EAC +∠E =90∘ ,∵∠PDF=∠E ,∴∠ADF=∠EAC .(2)分析: 本题主要考察相似关系,由题意把着眼点放在DE和AC上,不难发现包含这两条边的△CDE和△ACD具有相似关系,进而可以得到DE⋅AC=CD2 ,题目就转化为求CD的长,这样就容易解得了. (当然读者也可以分别求出DE和AC的长,不过这样就显得有些繁琐了, 这应该并不是出题人想看到的) 过程如下:∵OG//CE ,∴∠CGO=180∘−∠ACE=90∘ ,∴OG⊥BC ,∵BC=12,OG=8 ,∴CG=BG=12BC=6 ,∴CD=2OC=20,∠CED=90∘ ,∴∠CED=∠ADC,∠CDE=∠ACD=90∘−∠DCE ,∴△CDE∽△ACD ,∴DECD =CDAC,∴DE⋅AC=CD2=202=400 ,∴DE⋅AC的值是 400.(3)分析: 本题主要考察相似关系的综合运用. 粗看x和y ,其形式似乎并不好,我们不太能找到相应的相似三角形将他们挂钩起来,但是如果把AEOC 转化为2AECD,考虑边AE和CD关系就会好做一些.过程如下:连结CF ,则∠CFD=90∘ ,∵∠DCF+∠PDF=90∘,∠EAC+∠E=90∘,∠PDF=∠E ,∴∠EAC=∠DCF ,∵∠ACE=∠CFD ,∴△ACE∽△CFD ,∴∠EAC=∠DCF,CEFD =AECD,∴△PCF∽△PAC ,∴PCPA =PFPC,∵∠E=∠PDF,∠EPC=∠DPF ,∴△EPC∽△DPF ,∴CEFD =PCPF,∴EADC =PCPF=x2,∴PC2=PF⋅PA=PF(PF+AF)=PF2+PF⋅AF ,∴PC2PF2=PF2+PF⋅AFPF2=1+AFPF=1+y ,∴y=14x2−1 .。

浙江省新昌县实验中学2021-2021学年八年级数学竞赛试卷共 26 题一、单选题1、已知下列命题：①若a﹥b则a＋b﹥0；②若a≠b则a2≠b2；③角的平分线上的点到角两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分。

其中原命题和逆命题都正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列计算正确的是（）A. B.C. D.3、为使有意义，x的取值范围是（）A.x＞B.x≥C.x≠D.x≥ 且x≠4、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（）A.10%B.15%C.20%D.25%5、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有10个不同的点，，…… , 记（i ＝ 1，2，……，10），那么的值为（）A.4B.14C.40D.不能确定7、如图．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个8、如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（）A.-3B.-2C.-1D.09、如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）A.-5B.1C.13D.19-4k10、如图，在 ABCD中，BC=7厘米，CD=5厘米，∠D=50°，BE平分∠ABC，下列结论中错误的是（）A.∠C=130°B.∠BED=130°C.AE=5厘米D.ED=2厘米二、填空题11、已知，那么代数式的值为________.12、已知，则 ________.13、已知，则一元二次方程的根的情况是________.14、如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；……依此类推，这样做的第n个菱形的边的长是________.15、如图，矩形OABC中，O是原点，OA＝8，AB＝6，则对角线AC和BO的交点H的坐标为________.16、一元二次方程可以配方成 ________.17、 ________.18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=________.19、如图，矩形ABCD两邻边分别为3、4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF为________.20、如图，在△ABC 中，∠1=∠2= ∠B=20°，则∠ADE=________.三、解答题21、解方程22、如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于E.求证：AC=CE.23、如图（1），在ΔABC中，AB=BC=5，AC=6，ΔABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。