RC电路的瞬态和稳态过程

RC 电路的瞬态和稳态过程季峻仪，物理系一、 引言RC 电路的瞬态过程呈指数形式变化，电子线路设计中经常会用相移电路移相和测量两正弦波电压之间的相位差，这利用了RC 电路的稳态过程的特性。

而瞬态稳态过程都和RC 电路的时间常数τ有密切关系。

本实验利用示波器研究RC 电路的瞬态和稳态过程，测量RC 电路放电的半衰期，利用直接计算、半衰期法、半电压法、李萨如图法、双踪法等五种方法求RC 电路的时间常数τ并用后三种方法测RC 电路电容电压对输入电压的相移φ。

二、 实验原理1．RC 电路的瞬态过程图1 RC 电路的瞬态过程电路图图2 RC 电路充放电示意图电阻R 与纯电容C 串联接于内阻为r 的方波信号发生器中，用示波器观察C 上的波形。

方波电压U =U 0时，充电U c =U 0[1−e−t(R+r )C ]方波电压U =0时，放电U c =U 0e−t(R+r )C(R +r )C 称为电路的时间常数(或弛豫时间)。

U c 由U 0减至U02时，经过时间称为半衰期T 1。

T 12=(R +r )Cln2=0.693(R +r )C2．电阻R 与纯电容C 串联电路图3 RC 电路相移示意图以电流i 为参考矢量，作电阻两端电压U R ，电容器两端电压U C 及输出电压U i 的矢量图，U C 与U i 之间的相位差φ满足 {tanφ=ωCRU C U i=cosφ3．用李萨茹图形法测电路相移φ图4 李萨茹图用RC 串联电路中的U C 作横轴，U i 作纵轴，得到李萨茹图，解析式为 {x =x 0cos⁡(ωt −φ)y =y 0cos⁡ωtsinφ=BA ,通过测量李萨茹图的A 与B 即可算得相移4．用双示踪示波器显示波形测量电路的相移图5 双踪法图为两同频率待测正弦波，l 为一个周期时间在示波器上显示的水平长度，△l 为两正弦波到达同一相位的时间差(以屏上水平长度表示)，则两正弦波相位差φ=△l l×360°三、 实验装置及过程实验装置：示波器GOS--6021578B 型、SG1010A 函数信号发生器、电容箱RX7-OA 型、电阻箱ZX21A 型、同轴电缆线 实验内容：1. 观察方波信号下，RC 电路的充放电过程，并分析实验现象。

① 固定f 、C 不变，观察不同的R 所对应的充放电过程的波形。

② 固定f 、R 不变，观察不同的C 所对应的充放电过程的波形。

③ 固定C 、R 不变，观察不同的f 所对应的充放电过程的波形。

2. 对充放电充分和不充分的情况，分别选取一个典型波形，利用数字示波器的存储功能，获得数据，并进行拟合。

3. 测量RC 电路的时间常数。

a. 使用方波信号①用半偏法测量信号发生器的内阻r 。

②选择合适的R 、C 值。

③测量RC 电路的半衰期T 12，并计算电路的时间常数。

b. 使用正弦信号①观察RC 串联电路中Uc 随输入正弦信号频率的变化情况。

②测量U C =U 02时的信号频率f ，并计算电路的时间常数。

③用李萨如图测量Uc 与Ui 的相位差φ，用最小二乘法计算的时间常数。

④用双踪法显示Ui 和Uc 的波形，测量相位差φ，并计算电路的时间常数。

c. 比较上述四种测量方法的结果，并分析各自的优缺点。

四、 实验结果及分析1. 观察方波信号下，RC 电路的充放电过程，并分析实验现象。

① 固定f=1.000000kHz 、C=0.5000μF 不变，电阻R 由10000.0Ω逐渐减小至10Ω,Uc 的波形由三角波逐渐拱起，变为两边弯曲的三角波再变为方波，振幅先增大后不变。

② 固定f=1.000000kHz 、R=500.0Ω不变，电容C 由1.0000μF 逐渐减小至0.0001μF ，Uc 的波形由三角波逐渐拱起，变为两边弯曲的三角波再变为方波，振幅先增大后不变。

③ 固定C=0.5000μF 、R=500.0Ω不变，频率f 由1.00000kHz 逐渐减小至50.000Hz ，Uc 的波形由三角波逐渐拱起，变为两边弯曲的三角波再变为方波，振幅先增大后不变。

分析：e^-10=4.54*10^-5,所以12f 比τ大一个数量级时就可完全充放电前两种情况：由于完全充放电时间τ=(R +r )C ，τ越小充放电越快，所以τ远小于方波的半周期时，波形与方波差别不大，τ与方波半周期接近时，显示为充放电的e 指数曲线，τ很大时，e 的指数趋于零，由泰勒展开知半个方波周期内曲线平直近似于一次函数，故显示为三角波；后一种情况：R 、C 不变则τ不变，与f 直接相关的是方波的半周期12f ，进而改变12f 与τ的相对大小关系：f 越小，τ相对于12f 越小，故波形变化类似于前两种情况。

2. 测量RC 电路的时间常数。

a.使用方波信号用半偏法测量信号发生器的内阻r=52.0Ω,选择R=5000.0Ω、C=0.0100μFτ=(R +r )C =50.52μsu (r )=50×0.2%+2×0.5%=0.11Ω,⁡u (R )=5000×0.1%=5Ωu(R+r)=u(r)+u(R)=5.11Ω,⁡u(C)=0.01×0.65%=0.000065μFu(τ)=τ√(u(C)C )2+(u(R+r)R+r)2=0.332μsτ±u(τ)=(50.5±0.3)μs，相对误差0.4%表1 RC电路的半衰期T1数据记录表T1̅̅̅=∑T ii=13=35.1μs,⁡τ=T1̅̅̅÷ln2=50.6μsu A(T12)=√∑(T i−T12̅̅̅̅)23i=13×2=0.58μs,⁡u B(T12)=√3=0.12μsu(T12)=√u A2(T12)+u B2(T12)=0.6μs,⁡u(τ)=u(T12)ln2=0.9μsτ±u(τ)=(50.6±0.9)μs，相对误差0.16%b.使用正弦信号①频率小于1kHz时，U C几乎不变；频率大于1kHz时，f越大，U C越小。

②半电压法：测得U C=U02时的信号频率f=5.460000kHz计算电路的时间常数τ=tan60°2πf=50.49μs，相对误差0.06%③李萨茹图法：表2 用李萨如图测量Uc与Ui的相位差φ数据记录表图6 李萨茹图tanφ~f 线性拟合用origin 作tanφ~f 函数图，线性拟合(固定截距为零)得到tanφ~f 关系式为tanφ=(0.313±0.003)fR 2=0.9995τ±u (τ)=tanλ=(49.8±0.5)μs η=u (τ)τ=1.0%，相对误差1.4%④双踪法：电阻R=50000.0Ω、C=0.0100μF 、f=1.000000kHz 测得L=1010μs ，△L =202.0μs ,φ=⁡△L L×360°=72.00°⁡τ=tanλ2πf=489.8μs ,与标准值的500.52μs 相对误差2.1%3. 充放电不充分的情况图7 充分放电波形图及其分段拟合R=5000.0Ω，C=0.0100μF τ=(R +r )C =50.52μs f=0.700000kHz ，12f =714.29μs Τ比12f 小了一个数量级，所以放电充分上升部分与下降部分分别选取数据作图并用y = xp (−)+y 0拟合 上升部分R 2=0.9962t =50.6±0.3μs相对误差0.16% 下降部分R 2=0.9972t =51.2±0.3μs相对误差1.4%充放电不充分的情况图8 不充分放电波形图及其分段拟合R=15500.0Ω，C=0.0100μF τ=(R +r )C =155.52μs f=1.000000kHz ，12f =500.00μs Τ与12f 处在同一个数量级，所以放电不充分上升部分与下降部分分别选取数据作图并用y = xp (−)+y 0拟合 上升部分R 2=0.9996t =155.4±0.6μs 相对误差0.08% 下降部分R 2=0.9997t =155.4±0.6μs相对误差0.08%各种方法的比较：半衰期法在本次测量中得到的结果相对误差极小，但尽管多次测量，仍然存在较大的不确定度；半电压法得到的相对误差也极小，但实际在调节频率的过程中，由于“半”是由肉眼判断，所以可以作为半电压的频率范围较大，一般来说误差也会较大；李萨茹图，经过多次测量，不确定度较小，可靠性高，但由于测量A 、B 时读数为估读，其相对误差较大；双踪法中，由于波形抖动，必须固定波形测量，故偶然误差较大，且测量△L 与L 时，零点选取也均会产生较大误差。

五、 实验结论1.研究了RC 电路瞬态过程与稳态过程的充放电特性2.用半偏法测得信号发生器内阻为52.0Ω，依次用半衰期法、半电压法、李萨茹图法、双踪法测得τ值：(50.5±0.3)μs 、50.49μs 、(49.8±0.5)μs 、489.8μs六、 参考文献沈元华，陆申龙. 基础物理实验. 北京：高等教育出版社. 2003，182～189。