高一数学《映射与函数》习题

[A基础达标]1．下列各个对应关系中，能构成映射的是()解析：选D.A、B中原像集合中的元素2无像；C中原像集合中元素1有两个元素与之对应，所以A、B、C均不符合映射的定义，故选D.2．若A为含三个元素的数集，B＝{－1，3，5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于()A．{－1，2，3}B．{－1，0，2}C．{0，2，3} D．{0，1，2}解析：选C.由映射的概念，A中的元素在关系x→2x－1下，成为－1，3，5，则A＝{0，2，3}．3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是()A．M＝N＝R，f：x→y＝－1x，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝1|x|＋x，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N解析：选D.A中集合M的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.4．设集合A＝{a，b}，B＝{0，1}，则从A到B的映射共有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选C.如图．5．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a ，0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选C.因为f ：x →x ，所以M ＝N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以a ＋b ＝1. 6．在映射f ：A →B 中，集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则B 中的元素(－1，3)在集合A 中的原像为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即原像为()1，2. 答案：()1，27．已知从A 到B 的映射是x →2x ＋1，从B 到C 的映射是y →y 2－1，其中A ，B ，C ⊆R ，则从A 到C 的映射是________．解析：设x ∈A ，y ∈B ，z ∈C ，则y ＝2x ＋1，z ＝y 2－1， 所以z ＝12(2x ＋1)－1＝x －12.所以从A 到C 的映射是x →x －12. 答案：x →x －128．设M ＝{a ，b }，N ＝{－2，0，2}，则从M 到N 的映射中满足f (a )≥f (b )的映射f 的个数为________．解析：当f (a )＞f (b )时有三种：f (a )＝0，f (b )＝－2；f (a )＝2，f (b )＝0；f (a )＝2，f (b )＝－2.当f (a )＝f (b )时，有f (a )＝f (b )＝0，2，－2，共3种可能．综上所述，满足条件f (a )≥f (b )的映射有6个．答案：69．设集合P ＝Q ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，从集合P 到集合Q 的映射为f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )．求(1)集合Q 中与集合P 中元素(3，2)对应的元素；(2)集合P 中与集合Q 中元素(3，2)对应的元素．解：(1)由3＋2＝5，3×2＝6可得到集合Q 中与集合P 中元素(3，2)对应的元素为(5，6)．(2)设集合P 中与集合Q 中元素(3，2)对应的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 所以集合P 中与集合Q 中元素(3，2)对应的元素为(2，1)或(1，2)．10．(1)若A ＝{a ， b ，c }，B ＝{1，2}，从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射？从集合B 到集合A 呢？(2)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{－1，－2}，设映射f ：A →B ，如果B 中的元素都是A 中的元素在f 下的像，这样的映射有几个？解：(1)A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1，2}，则从A 到B 的映射共有：23＝8个．反过来从B 到A 的映射共有：32＝9个．(2)由题意知，从集合A 到集合B 的映射总个数是25＝32个，因为B 中的元素都是A 中的元素在f 下的像，所以要除去A 中1，2，3，4，5都对应－1和1，2，3，4，5都对应－2这两个，故满足题意的映射共有32－2＝30个．[B 能力提升]1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{5，1，19}的“孪生函数”共有( )A ．4个B ．6个C ． 8个D ．9个解析：选D.当2x 2＋1＝5时，x ＝±2，当2x 2＋1＝1时，x ＝0，当2x 2＋1＝19时，x ＝±3，定义域中含3个元素时有4种，定义域中含4个元素时有4种，定义域中含5个元素时有1种．综上，“孪生函数”共有4＋4＋1＝9个．2．若A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1，2}，从A 到B 建立映射，使f (a )＋f (b )＋f (c )＝4，则满足条件的映射个数是________．解析：由题意知a 、b 、c 中有两个像为1，一个像为2，所以这样的映射有3个． 答案：33．已知：集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}．对应关系f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．解：①当a ≥0时，由－2≤x ≤2得－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a ，2a ]⊆[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－1，2a ≤1，所以0≤a ≤12. ②当a ＜0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a .若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，－2a ≤1，所以－12≤a ＜0.综合①②可知－12≤a ≤12. 4．(选做题)已知A ＝{1，2，3，4}，B ＝{5，6}，取适当的对应关系．(1)以集合A 为定义域、B 为值域(注意：值域为B ，而不是B 的子集，即B 中元素都有原像)的函数有多少个？(2)在所有以集合A 为定义域、B 为值域的函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数有多少个？解：(1)根据映射与函数的定义，集合A 中的元素均可与B 中的两个元素对应，故从A 到B 可建立24＝16个函数，但在1，2，3，4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B ，应予以排除，所以以集合A 为定义域、B 为值域的函数有14个．(2)在上述14个函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数具体为：f (1)＝5，f (2)＝f (3)＝f (4)＝6；f (1)＝f (2)＝5，f (3)＝f (4)＝6；f (1)＝f (2)＝f (3)＝5，f (4)＝6.所以满足条件的函数共有3个．。

分段函数与映射一、选择题1．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选A ①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3，a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x ≥6，f (x ＋2)， x ＜6，则f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A f (3)＝f (3＋2)＝f (5)， f (5)＝f (5＋2)＝f (7)． ∵f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.4．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A 、B 、C ，故选D.5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧3.71，0<m ≤4，1.06(0.5×[m ]＋2)，m >4，其中[m ]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )A ．3.71B ．4.24C ．4.77D ．7.95解析：选C f (5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77.二、填空题6．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是________．解析：由f (a )＝0，f (b )＝0得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝1，f (b )＝－1得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝－1，f (b )＝1得f (a )＋f (b )＝0.共3个．答案：37．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．解析：由f (－4)＝f (0)⇒(－4)2＋b ×(－4)＋c ＝c ，f (－2)＝－2⇒(－2)2＋b ×(－2)＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1，即当x ≤0时，有两个解．当x >0时，有一个解x ＝2.综上，f (x ) ＝x 有3个解．答案：3 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数的图象．解：(1)∵5>4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4， ∴f (f (f (5)))＝f (1) ＝12－2×1＝－1， 即f (f (f (5)))＝－1. (2)图象如右图所示．10.在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从B 点开始，沿折线BCDA 向A 点运动(如图)，设P 点移动的距离为x ，△ABP 的面积为y ，求函数y ＝f (x )及其定义域．解：如题图，当点P 在线段BC 上，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当P 点在线段CD 上，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当P 点在线段DA 上，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12，且f (x )的定义域是[0,12]．11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值． 解：(1)函数的定义域为(0,12)． 当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈(0，4]，8，x ∈(4，8]，24－2x ，x ∈(8，12).(2)图象如图所示．从图象可以看出f (x )max ＝8.12．设A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，对应关系f ：x →y＝px ＋q ，已知m ，n ∈N *,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p ，q ，m ，n 的值．解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应关系为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断A 中元素3对应的元素要么是n 4，要么是 n 2＋3n .若n 4＝10，则n ∈N *不成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝－5(舍去)或n ＝2.因为集合A 中的元素m 对应的元素只能是n 4，等于16， 所以3m ＋1＝16， 所以m ＝5.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。

人教版高中数学必修一《分段函数与映射》精选习题（含答案解析）一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：每间房定价100元90元80元60元住房率65%75%85%95%要使每天的收入最高，每间房的定价应为()A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x 二、填空题 7．已知，则f (7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S 为常数)．参考答案与解析∴d ＝12500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－34<0， ∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12. 而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入， 则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知， 函数f (x )的定义域为R . 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]． 11．解 当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.] 13．解 根据题意可得d ＝kv 2S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中， 解得k ＝12500.。

卜人入州八九几市潮王学校第二章函数§映射与函数例1．A={x|lg(x －1)2=0}B={y|(21)y －3≥1，且y ∈N *}，C={(x,y)|x ∈A,y ∈B}，D=(1,2,3,4,5)， 从C 到D 的对应f:(x,y)→x+y ，那么f 是否是从C 到D 的映射？例2．y=f(x)表示过〔0，－2〕点的一直线，y=g(x)表示过〔0，0〕点的另一值线，又 f[g(x)]=g[f(x)]=3x －2，求这两条直线的交点坐标.例3．设f(x)为定义在R 上偶函数，当x ≤－1时，y=f(x)的图象是经过点〔－2，0〕，斜率为1 的射线，又在y=f(x)的图象中有一局部是顶点在〔0，2〕，且过点〔－1，1〕的一段抛物 线，试写出函数f(x)的表达式，并作出其图象.例4．如图，在坐标平面内△ABC 的顶点A 〔0，2〕，B 〔－1，0〕， C 〔1，0〕，有一个随t 变化的带形区域，其边界为直线y=t 和y=t+1，设这个带形区域覆盖△ABC 的面积为S ，试求以t 为自变量的函数S 的解析式，并画出这个函数的图象. 【根底训练】 1．设f:A →〕A ．A 中不同元素必有不同的象B ．B 中每一个元素在A 中必有原象C ．A 中每一个元素在B 中必有象D ．B 中每一个元素在A 中的原象唯一2．给定映射f:(x,y)→(x+2y,2x －y),在映射f 下，(3,1)的原象为〔〕A ．〔1，3〕B ．〔1，1〕C ．〔3，1〕D ．21,21(3．函数①442++=x x y ②y=x 2－4x+1(x ≤0)③y=lgx ④⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-)0()0(12x x x x y那么是从定义域到值域的一一映射的有〔〕A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④4．集合A={a 、b},B={c 、d 、e},那么可建立从A 到B 的映射的个数是__________，从B 到A 的映射的个数是___________.5．x x x f 2)1(+=+，那么f(x)=_________________. 【拓展练习】1．下面集合P 到集合M 的对应f 是映射的是〔〕A ．P={自然数}M={整数}f ：求算术平方根B ．P={整数} M={奇数}2:x x f →C ．P={整数}M={有理数}f ：求倒数D ．P={正整数}M={实数}f ：取常用对数 2．以下四组函数，表示同一函数的是〔〕A ．f(x)=log a a x,g(x)=xa alog (a>0,a ≠是1)B ．f(x)=332)(,x x g x =C ．f(x)=2x －1(x ∈R),g(x)=2x+1(x ∈Z)D ．24)(,24)(22--=--=t t t g x x x f 3．设集合A 和B 都是正整数集合N *，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元 素2n+n ，那么在映射f 下，象20的原象是〔〕A ．2B ．3C ．4D ．5 4．曲线C 是y=f(x)(x ∈R)的图象，那么〔〕A ．直线x=1与C 可能有两个交点B ．直线x=1与C 有且只有一个交点 C ．直线y=1与C 有且只有一个交点D ．直线y=1与C 不可能有两个交点5．集合A={正整数}，集合B={x|x=1212:},,1212+-=→∈+-a a b a f Z n n n 是集合A 到集合B 的映射， 那么1715的原象是______________. 6．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(0)0()0(1)(x x x x x f π，那么f{f[f(－1)]}=______________.7．设A 到B 的映射f 1:x →2x+1，B 到C 的映射f 2:y →y 2－1，那么A 到C 的映射f 3:____________.8．1992年世界人口到达5亿，假设人口的年平均增长率为x%，到2000年底，世界人口数为y亿，那么y 与x 的函数关系为_________________.9．设f(x)的图象是抛物线，并且当点〔x,y 〕在f(x)图象上任意挪动时，点〔x,y 2+1〕在函数g(x)=f[f(x)]的图象上挪动，求g(x)的表达式.10．△ABC 中，|AB|=4，|AC|=2，P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足S △APQ =ABC S 21，假设 设|AP|=x ，|AQ|=y.〔1〕写出x 的取值范围；〔2〕求y=f(x)的解析式；〔3〕作出y=f(x)的图象11．一轮船航海时单位时间是燃料费与航速平方成正比，比例系数为k ，该轮船每小时其它经费为 m 元〔与航速无关〕，假设航程l 海里，试建立航速v 与航行总费用y 间的函数关系式，并 求总费用的最小值.12．渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能到达最大养殖 量，必须留也适当的空闲量。