椭圆中的最值问题(知识点)

椭圆的十个“最”◎李远敬 （辽宁省本溪市机电工程学校 117022）【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到椭圆的一些“最”值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了椭圆十个“最”值问题，供师生们参考。

【关键词】椭圆；焦点；最大值；最小值1．椭圆弦长的最大值、最小值（1）椭圆的最长弦长是椭圆的长轴的长。

椭圆上的最大弦长是否是椭圆的长轴的长？看起来似乎是显然的。

但证明起来也挺繁琐，具体见参考文献[1]。

（2）椭圆过原点的最短弦长是椭圆的短轴的长。

在椭圆12222=+by ax （0>>b a ）内构造内接圆222b y x =+，由图形结合易证。

（3）椭圆过焦点的弦通径最短ab l 2min 2=。

教学参考书上有证明。

2．椭圆的一焦点与椭圆上点的距离最大值、最小值 已知P (0x ,0y )是椭圆12222=+by ax （0>>b a ）上的点，)0,(2c F 是椭圆的右焦点，则2PF 的最大值是c a +，最小值是c a -。

证明：由焦半径公式得2PF =0ex a -。

当0x =a -时，max 2PF =c a +，当0x =a 时，min 2PF =c a -。

3．x 轴正半轴上的点到椭圆的最短距离 已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ），c 为半焦距长，则点（t ，0）t ＞0到椭圆的最短距离为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-+act a t a ct c a t b t 22222220证明：设点A （t ，0）t ＞0,点P (y x ,)为椭圆上任意一点，则有22)(y x t AP +-=，由12222=+by ax 得)(222222x f bt tx x acAP=++-=的对称轴为22cta x =，由于a x a ≤≤-，结合图像可得：①当a cta ≤22，即0＜act 2≤时22cta x =⇒时，AP 取得最小值22222ca tb t -+②当22cta ＞a ,即t ＞ac2时⇒a x =时，AP 取得最小值a t -4.椭圆上的点与椭圆内一定点、焦点的距离和的最大值及最小值 已知点A (0x ,0y )为椭圆12222=+by ax （0>>b a ）内一定点，)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆的左、右焦点，则1PF PA +的最大值为2a ＋2020)(y c x +-，最小值为2a －2020)(y c x +-。

以椭圆的蒙日圆有关的面积最值问题证明引言在数学领域中，椭圆是一种具有神奇性质的形状。

它的美妙之处在于它与其他几何形状之间存在许多有趣的关系。

本文将要讨论的是以椭圆的蒙日圆有关的面积最值问题，并给予其证明。

椭圆与蒙日圆的关系首先，让我们来回顾一下椭圆的定义和特性。

椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点的轨迹。

这两个固定点被称为焦点，而常数被称为离心率。

椭圆的数学表达式如下：$$\f ra c{{x^2}}{{a^2}}+\f ra c{{y^2}}{{b^2}}=1$$其中，$a$和$b$分别表示椭圆的半长轴和半短轴的长度。

椭圆上的任意一点都满足这个方程。

蒙日圆是指在椭圆上可以与一个切线及椭圆的两个焦点构成一个等腰三角形的圆。

蒙日圆经常出现在与椭圆相关的几何问题中，而我们将要解决的面积最值问题即与蒙日圆有关。

面积最值问题的提出我们的问题是寻找以某个椭圆的蒙日圆为内切圆的矩形的面积最大值和最小值。

换句话说，我们希望找到这个矩形的最佳形状，使其面积达到最大或最小。

面积最值问题的求解为了解决这个问题，我们需要先确定矩形的底边长度。

根据蒙日圆的定义，我们知道焦点到切点的距离等于蒙日圆的半径。

因此，矩形的底边长度等于椭圆的长轴长度减去蒙日圆的半径。

即：$$a-r=b$$其中，$r$表示蒙日圆的半径。

由此，我们可以得到蒙日圆的半径表达式：$$r=a-b$$接下来，我们需要确定矩形的高度。

根据椭圆的性质，我们知道切线与椭圆的切点的连线垂直于椭圆的长轴。

因此，矩形的高度等于蒙日圆的直径，即：$$d=2r=2(a-b)$$由此，我们可以得到矩形的面积表达式：$$S=bh=(a-b)(2(a-b))=2(a-b)^2$$为了求解面积最值问题，我们需要对上述表达式进行求导。

首先，我们对面积表达式关于$a$进行求导：$$\f ra c{{d S}}{{da}}=4(a-b)$$令上式等于0，我们可以求得$a=b$。

椭圆最大值与最小值公式说到最大值和最小值，嘿，你有没有想过，生活中也是有高有低的？就像一个人在比赛中追求最佳成绩一样，椭圆也在追求它的极限。

想象一下，最大值就像你人生中的巅峰时刻，可能是升职加薪，或者是人生大事；而最小值呢，可能就是你那一段小小的低谷，没关系，这都是生活的一部分。

我们可以从椭圆中学到一个道理，不管怎样，起起伏伏才是人生的常态。

再说说椭圆的公式，听上去很复杂，但其实就像我们的日常生活一样，越简单越好。

椭圆的标准方程就是 ( frac{x^2{a^2 + frac{y^2{b^2 = 1 )，这其中的 ( a ) 和 ( b ) 就像是你生活中的目标。

把 ( a ) 想象成你的梦想，越大就越能包容更多的可能性；而 ( b ) 就像是你身边的支持者，给你鼓励，帮你实现梦想。

这两个值的搭配，决定了你在这个椭圆上最亮眼的位置，也就是你的最大值和最小值。

哎呀，听起来是不是有点儿抽象？没关系，咱们换个角度来看。

就拿生活中的某个选择来说。

比如，你在决定吃什么的时候，有时候你想吃个大汉堡，那是你的最大值；有时候你又想来点清淡，那就是最小值。

椭圆就像这个选择的过程，左右摇摆，追求平衡。

最大值和最小值就像人生中的选择，难免会有犹豫和挣扎，但最终总会找到适合自己的那条路。

椭圆的最大值和最小值不仅仅在数学上重要，在现实生活中也经常能见到。

比如，你在锻炼的时候，想要达到最佳效果，你需要找到自己的极限。

这种极限就好比是椭圆的最大值，努力去追求，而过程中也会有疲惫的时刻，那就是最小值。

我们都知道，运动员在比赛中，往往会经历各种考验，但每一次的挑战，都是他们突破自我的机会。

就像椭圆的每个点，都是不断追求完美的过程。

说到这里，可能有人会觉得，哦，这数学真的好无聊。

可是呢，当你了解它背后的意义，发现它和生活的关系后，便会觉得这不是在说数学，而是在说人生的智慧。

我们的人生就像那条椭圆，虽然外形优雅，但每一个环节都需要我们用心去探索。

椭圆上的点到直线距离最值问题作者：饶雄来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期在解析几何中，椭圆上的点到直线的最短（长）距离或求动点到定直线的最短（长）距离，是我们经常遇到的问题，要解决它可以从多个方面入手.如归结为数形结合判别式法、参数方程法和柯西不等式法，以下我们举例说明.数形结合判别式法例1 求椭圆[x24+y212=1]上一点到直线l∶y=x-5的距离的最小值.分析作出直线[l]及椭圆（如图），观察图形，可以发现，利用平行直线与椭圆只有一个交点，可以求得相应的最小距离.[F1][F][O][x][y][y=x-5]解如图，虚线为与椭圆相切且与直线[y=x-5]平行的直线，而此直线与[y=x-5]之距即为所求.设虚线的直线方程为y=x+b，[∴x24+y212=1，y=x+b.]化简得[4x2+2bx+b2-12=0].∵相切，∴Δ=0.∴b=±4，由图可知b=-4，[∴]图中两直线之距为[d=-4+52=22].[∴dmin=22.]点拨数形结合判别式法用到了直线与椭圆位置关系的相关知识，即：联立椭圆方程与直线方程得到的一元二次方程判别式等于0时，直线与椭圆相切，然后两平行直线间的距离即为椭圆上的点到直线的最短（长）距离. 此方法的优点是用图形的直观化难为易，化抽象为具体，从而达到简洁明了的解题效果. 能提高数形结合的灵活性，有助于思维能力的培养，有利于解题能力的提高.[参数方程法]例2 已知定点Q（0，-4），P（6，0），动点C在椭圆[x29+y24=1]上运动，求[△QPC]面积的最大值和最小值.分析椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的参数方程是[x=acosθ，y=bsinθ]（θ为参数，且0≤θ解依题设易求得PQ的方程为2x-3y-12=0，|PQ|=[213]，已知椭圆的参数方程为[x=acosθ，y=bsinθ]（θ为参数，且0≤θ则椭圆上点[C（3cosθ，2sinθ）]到直线PQ的距离[d=6cosθ-6sinθ-1213=62sin（π4-θ）-1213].显然，当[θ=34π]时，d最大，且[d最大值=62+1213]，此时[SΔPQC]的最大值是[12×d最大值×|PQ|][=12×62+1213×213][=12+62]，当[θ=74π]时，d最短，[d最小值=12-6213]，此时[SΔPQC]的最小值为[12-62].点拨参数方程法将点到直线的距离转化为求三角函数问题，通过辅助角公式求三角函数的最值. 方法的优点是把椭圆问题划归为我们所熟知的三角函数问题，进而避免了复杂的运算，并使解题过程得到优化.[柯西不等式法]例3 在已知椭圆[x24+y29=1]上求一点P，使得P到直线[3x+4y+20=0]的距离[d]取最大值.[x][P][D][y][O]分析像这种类型的题目用常规方法来解较为繁琐，假如巧用柯西不等式，问题会变得比较简单.二维柯西不等式：若[a，b，c，d]都是实数，则[（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2]，当且仅当[ad=bc]时，等号成立.解设[P（x0，y0），则d=3x0+4y0+205]，由柯西不等式得：[∴（3x0+4y0）2=（6⋅x02+12⋅y03）2≤（62+122）（x204+y209）=180.][∴-65≤3x0+4y0≤65，][∴20-65≤3x0+4y0+20≤20+65.][∴20-655≤3x0+4y0+205≤20+655.][即20-655≤d≤20+655.]等号成立[⇔y0=3x0].联立[x204++y209=1，y0=3x0，][解得x0=255，y0=655或x0=-255，y0=-655.]验证可知，点[（255，655）]到直线的距离达到最大，[dmax=20+655].点拨柯西不等式法，另辟蹊径用不等式的方法解决函数的最值问题，此方法的不足是柯西不等式属于选修内容，同学们掌握起来有一点的难度.总之，椭圆上的点到直线的最值问题，既可以用代数方法，也可以用几何方法，当然也可以用到数形结合方法和不等式方法. 而要掌握这些方法，就需要我们在平时学习中不断积累学习经验.。