大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 设 f ( X )cos x (x sin x )，则在 x 0 处有( (A) f(0)2(B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x » 则当 x1 时(2. 1X(A)g 与M是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是等价无穷小；(C)(X )是比(x)高阶的无穷小；(D)无穷小・(A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值；(C) 函数F(x)在xo 处没有极值，但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点；(D)函数F”)在xO 处没有极值，点(：F (o ))也干是曲线YF(x)的拐点。
4设f (x)是连续函数，且 "X )22XX、僅產题(本夫龊右4小题'28. 斥曰二 ' 解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)exy sin(xy)19.设函数y y (x)由方程确定，求y (x)以及y (0). 求I X10.x(心3•若Ff(x)(X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且)・(D) MX)不可导.)(B) (X)与(X)(X )是比(x)高阶的2of(t)dt,则 f(x)((D)®4分，共16分)5.lim (1 3x)办x0\/6.已知沪空是f(X)的一个原函数XI r COSX则7.limn —(cos 2— n ncos3 ) n2x arcsin x i dxx 21 V1A2xy四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线yy （x ）（xo ），过点®），且曲线上任一点M （Xo,yo ）处切线斜率 数值上等于此曲线与X 轴、y 轴、直线X X 。
所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线y"x 的切线，该切线与曲线yin X 及X 轴围成平面图形D.（1 ）求D 的面积A ；⑵求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数“）在“上连续且单调递减，证明对任意的q 【o, J ，q1f （x ） d x q f （x ）dx 0 0f （ x ） d x 0 f （x ）cos x dx 017. 设函数”x ）在0,上连续，且。
高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、11lim()ln(1)x x x →-+ 2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xye x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰ 3、40⎰ 4、2201dx a x +⎰ 四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数24lg(1)y x x =-+-的定义域是 ； 2、设函数sin 0()20xx f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)xx x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++，且a b ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。
高等数学上册教材答案北大第一章：微积分基础1.1 极限与连续1.1.1 极限的定义根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。
在数学中，我们需要明确了解极限的定义。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.1.2 连续的概念与性质连续是微积分中的另一个重要概念。
对于函数 f(x)，如果在某一点a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。
连续性具有以下性质：- 连续函数的和、差、积均为连续函数；- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数。
1.2 导数与微分1.2.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果函数在某一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。
导数的计算公式包括函数的基本运算法则、常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
1.2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分为 dy=f'(x)dx。
微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。
第二章：函数与极限2.1 函数概念与基本运算2.1.1 函数定义与表示法函数是数学中最基本的概念之一。
函数可以通过函数定义域、值域以及对应关系进行定义。
常见的函数表示法有显式函数表示法、隐式函数表示法、参数方程表示法等。
2.1.2 函数的基本运算函数的基本运算包括函数的和、差、积、商运算。
通过研究函数的基本运算，可以帮助我们理解函数之间的关系以及求解函数的性质。
2.2 极限的思想与性质2.2.1 函数的极限函数的极限是函数概念的核心之一。
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共30 分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ） 2f x ln x 和g x 2ln x （B）f x | x|和2 g x x（C）f x x 和2g x x（D）f x| x |x 和g x 1 sin x 4 2f x ln 1 x x 02．函数在x 0 处连续，则a （） .a x 0（A ）0 （B）14（C）1（D）23．曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程为（） .（A ）y x 1 （B）y (x1) （C）y ln x 1 x 1 （D）y x4．设函数 f x | x|，则函数在点x 0处（）.（A ）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微5．点x 0 是函数4y x 的（）.（A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线y1|x|的渐近线情况是（）.（A ）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线1 1 7． 2fdxx x 的结果是（）.（A ）1f Cx（B）1f Cx（C）1f Cx（D）1fCx8．dxx xe e的结果是（）.（A ）arctan x e C （B）arctan xe C（C）x x x x e e C （D）ln( e e ) C9．下列定积分为零的是（）.（A ） 44 arctan x1 2 x dx （B） 4x a rcsin x dx （C）4xx ee112dx （D）112x x sin x dx10．设f x 为连续函数，则 10 f 2x dx 等于（）.（A ）f 2 f 0 （B）12f 11 f 0（C）12f f （D）f 1 f2 0二．填空题（每题 4 分，共20 分）2 1xef x x x 01．设函数在x 0 处连续，则a .a x 02．已知曲线y f x 在x 2 处的切线的倾斜角为56 ，则f2 .3．yx2 1x的垂直渐近线有条.4．dx2x 1 ln x.5． 2 4 x sin x cosx dx .2三．计算（每小题 5 分，共30 分）1．求极限①limx 1 xx2x②limx 0x sin x2xx e12．求曲线y ln x y 所确定的隐函数的导数y .x 3．求不定积分①dxx 1 x 3 ②dx2 2x aa 0 ③xxe dx四．应用题（每题10 分，共20 分）1．作出函数3 3 2y x x 的图像.2．求曲线 2 2y x和直线y x 4所围图形的面积.《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C二．填空题 1．22．33 ３． ２４． arctan ln x c５．２三．计算题 １① 2 e② 1 62. yx1x y13. ① 1 x 1 ln | |2x 3C ②2 2xln | x a x | C③e x 1C四．应用题 １．略 ２． S 18《高数》试卷 2（上）一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内 , 每题 3 分, 共 30 分) 1.下列各组函数中 ,是相同函数的是 ( ). (A) f x x 和 2g xx(B)f x2 1 xx 1和 y x 1 (C)f xx 和 2 2gx x(sin x cos x)(D)2f x ln x 和g x2ln xsin 2 x 1 x 1 x 1 f x2x 12.设函数，则2x 1x 1l im x 1f x （）.(A)(B)1(C)2(D)不存在3.设函数 y f x 在点 x 0 处可导，且 f x >0, 曲线则 y f x 在点 x 0, f x 0 处的切线的倾斜角为 {}.(A)(B)(C) 锐角 (D) 钝角24.曲线 y ln x 上某点的切线平行于直线 y 2x 3 ,则该点坐标是 ( ).(A)2,ln 1 2(B)2, ln1 2 (C) 1 2 ,ln 2 (D) 1 2 , ln 25.函数2 xy x e 及图象在 1,2 内是().(A) 单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6.以下结论正确的是 ( ). (A) 若 x 0 为函数 y f x 的驻点 ,则 x 0 必为函数 y f x 的极值点 .(B) 函数 y f x 导数不存在的点 ,一定不是函数 yf x 的极值点 .(C) 若函数 y f x 在 x 0 处取得极值 ,且 f x 0 存在,则必有 f x 0 =0. (D) 若函数 yf x 在 x 0 处连续 ,则 f x 0 一定存在 .17.设函数 y f x 的一个原函数为 2 xx e ,则 f x=().1111(A)2x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D) 2 x e x8.若 f x dx F xc ,则 sin xf cos x dx ().(A)F sin x c (B) F sin xc (C) F cos x c (D) F cosx c9.设 F x 为连续函数 ,则1x fdx=().2(A)f 1 f 0 (B) 2 f 1 f 0 (C) 2 f 2f 0(D)1 2 f f210.定积分 b adxa b 在几何上的表示().(A) 线段长 b a (B) 线段长 a b (C) 矩形面积 a b 1 (D) 矩形面积 b a 1二. 填空题 ( 每题 4 分, 共 20 分)2ln 1x f xx1 cosx 01.设, 在 x 0连续,则a =________.ax 02.设 2y sin x , 则dy _________________ d sin x .x3.函数21yx 1的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分x ln xdx ______________________.5. 定积分1 12x sin x 1 dx21 x___________.三. 计算题 ( 每小题 5 分, 共 30 分)1.求下列极限 : ① 1lim 1 2x x②x 0lim x2 a rctan x 1xy2.求由方程y 1 xe 所确定的隐函数的导数 y x .3.求下列不定积分 :① 3tan x s ec xdx②dx22xaa 0③ 2 xx e dx四. 应用题 ( 每题 10 分, 共 20 分)1.作出函数 13 y x x 的图象 .(要求列出表格 )32.计算由两条抛物线：2, 2yx y x 所围成的图形的面积 .《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题： 1.－2 2. 2sin x 3.3 4. 1 12 2x ln x x c5.2 42三.计算题：1. ①2e ②12.yx yye23.①3sec3xc②2 2ln x a x c ③ 2 2 2 xx x ec四.应用题：1.略2. S 13《高数》试卷3（上）一、填空题( 每小题3 分, 共24 分)1. 函数y 9 12x的定义域为________________________.sin 4xf x x , x 02. 设函数, 则当a=_________时, f x 在x 0处连续.a, x 03. 函数f (x)2x12x 3x 2的无穷型间断点为________________.x4. 设f (x) 可导, y f (e ) , 则y ____________.5.2x 1lim _________________.2x x x2 56. 113 2x sin x4 2x x 1dx =______________.7. ddx2xte dt _______________________.8. 3 0y y y 是_______阶微分方程.二、求下列极限( 每小题5 分, 共15 分)1. limx 0xesin1xx; 2. lim 2x 3x39; 3.x1lim1 .x 2x三、求下列导数或微分( 每小题5 分, 共15 分)1. xy , 求y (0) . 2.x 2cos xy e , 求dy .3. 设x yxy e , 求dy dx .四、求下列积分( 每小题5 分, 共15 分)1. 1 2sin x dxx . 2. x ln(1x )dx .3. 1 2xe dx五、(8 分) 求曲线x ty 1 cost在t 处的切线与法线方程.2六、(8 分) 求由曲线2 1,y x 直线y 0, x 0 和x 1所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.七、(8 分) 求微分方程 y 6y 13y 0 的通解. 八、(7 分) 求微分方程y xy e x满足初始条件 y 10的特解.《高数》试卷 3 参考答案一．1． x3 2. a 43. x 24.'( )x xe f e5. 126.07.xe 8. 二阶x 22x 二.1. 原式= lim 1x 0x2. l imx x 311 3 63. 原式=1 112 x 22lim[(1) ] ex2x三.1.2 1 y ', y '(0)2(x 2) 22. cosxdysin xe dx3. 两边对 x 求写：'(1 ')x yyxy eyy 'x y e y xy y x yx e x xy四.1. 原式=lim x2cos x C2. 原式=22x x 12lim(1 x)d ( ) lim(1 x) x d[lim(1 x)] 2 x 2= 2 1 2 1 1 x x x lim(1 x) dx lim(1 x) ( x 1 )dx 2 2 1 x 2 2 1x = 2 2x1 x lim(1 x) [ x lim(1 x)] C2 2 23.原式= 1 1 2 1 2 1 1 2x x 1 1 21 2 1 1 2e d (2 x) e (e 1)222dydy五.sin 1 ,1t t ty 且dxdx22 切线：1,1 0yx即y x 2 2 法线：1( ),1 0 yx即y x 22六.121213 S(x1)dx ( xx)2 21 221 42V(x 1) dx ( x2x1)dx5x2 28 21( x x)5315七. 特征方程: 2r6r 13 0r 32i3xy e (C cos 2x C sin 2x)12八. 1 1 dx xdx xxy e( e e dx C)1 x x[( x 1)e C ] 由y x 1 0,C 0x 1 x y ex《高数》试卷 4（上）一、选择题（每小题 3 分） 1、函数y ln(1 x) x 2 的定义域是（）.A2,1B2,1C2,1D2,12、极限 xlim e 的值是（ ）.xA 、B 、 0C 、D 、 不存在sin( x 1)3、2limx11 x（）. A 、1B 、 0C 、1 2 D 、1 23x4、曲线 y x2 在点 (1, 0) 处的切线方程是（）A 、 y 2(x 1)B 、 y 4( x 1)C 、 y4x 1D 、 y 3(x 1)5、下列各微分式正确的是（ ）. 2A 、 xdx d(x )B 、 cos 2xdxd (sin 2x)C 、 dxd(5 x)D 、d (x dx2 ) ( ) 2 )( )2x 6、设f (x )dx 2 c osC ，则 f (x) （）.2A 、 sin x 2B 、sin x 2x C 、 sin CD 、22 sin x22 ln x 7、dxx （）.2 1 2A 、 2ln x C x21 2B 、(2 ln x)C 21 ln x C 、ln 2 ln x CD 、C2x8、曲线2y x ， x 1 ， y 0所围成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积 V（）.A 、1 0xB 、 4dx 4dx1 0ydyC 、 1 0(1 y) d y D 、 1(1 x dx 4 )4 )9、 1 01xe xe dx （）.A 、ln1 e2 e 1 e 1B 、C 、D 、lnlnln22 32e210、微分方程y y y2x 2e 的一个特解为（）.A 、 y 3 72x e B 、 y 3 7 x e C 、 y272xexD 、 y 2 72xe二、填空题（每小题 4 分） 1、设函数 xy xe ，则 y； 2、如果3 s in mx limx 0x22 3, 则 m .3、 1 x； 3cos xdx 3 cos xdx14、微分方程 y 4y4y 0 的通解是. 5、函数f (x) x 2 x 在区间 0,4 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1、求极限limx 0 1 x 1 xx1 2；2、求y cot x lnsin x2的导数；3、求函数3x 1y 的微分；4、求不定积分3x 1dx1 x 1；5、求定积分e1 ln x dx ；6、解方程edydx yx1 x 2；四、应用题（每小题10 分）1、求抛物线2y x 与 2y 2 x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数2 3y 3x x 的图象.参考答案一、1、C；2、D；3、C；4、B；5、C；6、B；7、B；8、A；9、A ；10、D；二、1、x(x 2)e ；2、49；3、0 ；4、y 2x(C1 C x)e ；5、8，0226x三、1、1；2、cot 3 x ；3、dx3 2(x 1)1；4、2 x 1 2 l n(1 x 1) C ；5、2(2 )e2 2 12 ；；6、y xC四、1、83 ；2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数1y 2 x 的定义域是（）.lg( x 1)A、2, 1 0,B、1,0 (0, )C、( 1,0 )(0, )D、( 1,)2、下列各式中，极限存在的是（）.A、lim c o s xx 0 B、lim arctan x C、lim sin x D、x xlimx2 x3、xx lim ( )（）. x 1 xA 、e B、2e C、1D、1e4、曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0的切线方程是（）.A、y xB、y (ln x 1)( x 1)C、y x 1D、y (x1)5、已知y x s in 3x ，则dy （）.A、( cos3x 3 s in 3x )dxB、(sin 3x 3x c os3x) d xC、(cos 3x sin 3 x)dxD、(sin 3x x c os3x)dx6、下列等式成立的是（）.11A、x dx x C1x lnx B、 a dx a x C1 C 、 cos x dxsin x CD 、 tan xdxC21 xsinxsin cos7、计算 e x xdx的结果中正确的是（）.sin B 、e sin x cos x CxA 、e C C 、ex Csin xsin D 、e sin x (sin x 1) C8、曲线 2yx ， x 1 ， y 0所围成的图形绕 x轴旋转所得旋转体体积V（）.A 、 1 0 xB 、 4dx 4dx 1 0ydy C 、 1 0 (1 y) d y D 、1 0 (1 x dx 4 )4 )a2（ ）.29、设a ﹥0 ，则ax dxA 、 2aB 、 22aC 、 1 4 2aD 、 1 4 a2 10、方程（ ）是一阶线性微分方程 .y 2xA 、 x y ln 0B 、 ye y 0 xC 、(1x )sin0 D 、 xy dx( y6 )0 2yyy2x dy二、填空题（每小题 4 分） 1、设 f ( x) x e ax 1, , b x x 0 0，则有 lim f (x)x 0 ， lim f (x)x 0；2、设 xyxe ，则y；23、函数f (x) ln(1 x ) 在区间 1,2 的最大值是，最小值是；4、 1x；3 cos xdx 3 cos xdx15、微分方程y 3y 2y 0 的通解是.三、计算题（每小题 5 分） 13 1、求极限 lim() 2x1xxx 21；22、求y1 x arccosx 的导数；3、求函数xy的微分；21 x1 4、求不定积分dxx 2 ln x；5、求定积分e1 ln x dx ；e26、求方程x y xy y1满足初始条件y( ) 4 的特解.2四、应用题（每小题10 分）1、求由曲线 2y 2 x 和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.3xx 22、利用导数作出函数y x694 的图象 .参考答案（ B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ；6、C ；7、D ；8、A ；9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ；2、( x2) e x ； 3、 ln 5 ，0 ； 4、0 ； 5、C e xC e 2 x1.2三、1、1 3 x ；2、arccosx 121 x1；3、dx(1 x x2 ) 122 )12；1 4、 22 ln x C ；5、 2(2 ) e；6、 y 2 x2 e 1x；四、1、 9 2 ； 2、图略。
