2020版高考人教A版文科数学一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2-11-4

【例 4】 (1)已知函数 f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞) 上是增函数，则 m 的取值范围是________。
解析 (1)令 t＝|2x－m|，则 t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在 区间－∞，m2 上单调递减。而 y＝2t 为 R 上的增函数，所以要使函数 f(x) ＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2 ≤2，即 m≤4，所以 m 的取值范围 是(－∞，4]。
答案 (1)(－∞，4]
(2)函数 f(x)＝
的单调递减区间为________。
解析 (2)设 u＝－x2＋2x＋1，因为 y＝12u 在 R 上为减函数，所以函
数 f(x)＝
的减区间即为函数 u＝－x2＋2x＋1 的增区
间。又 u＝－x2＋2x＋1 的增区间为(－∞，1]，所以 f(x)的减区间为(－∞，
3 4
<320＝1，所以
c<b<a。
答案 c<b<a
二、走近高考
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知
A．b<a<c
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<a<b
，则( )
解析 因为 上单调递增，所以
，函数
在(0，＋∞)
，即 a<c，又因为函数 y＝4x 在 R 上单调递
增，所以 答案 A
，即 b<a，所以 b<a<c。故选 A。
答案
8 (1) 5
(其中 a>0， ＝21＋3×10－1＝85。
(2)化简 a· －1a＋(5 a)5＋6 a6的值为________。
解析 (2)由题意可得 a<0，故原式＝－

第十一节　导数的应用2019考纲考题考情1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f (x)在某个区间内可导，则(1)若f ′(x)＞0，则f (x)在这个区间内单调递增。

(2)若f ′(x)＜0，则f (x)在这个区间内单调递减。

(3)若f ′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是常数函数。

2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f (a)叫做函数的极小值。

(2)函数的极大值若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f (b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。

3．函数的最值与导数(1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

(2)求函数y＝f (x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f (x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

1．函数f (x)在区间(a，b)上递增，则f ′(x)≥0，“f ′(x)>0在(a，b)上成立”是“f (x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。

2．对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件。

如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点。

一、走进教材1．(选修1－1P93练习T1(2)改编)函数y＝x－e x的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析　y ′＝1－e x <0，所以x >0。

可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定 义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的 符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不 可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．

解析 易知a＝0不合题意。当a>0时，必有ax2＋x＋a>0在R上恒成立，
即1－4a2<0，所以a>
1 2
；当a<0时，必有ax2＋x＋a<0在R上恒成立，即1－
4a2<0，所以a<－12。所以实数a的取值范围是－∞，－12∪21，＋∞。
答案 －∞，－12∪12，＋∞
7．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝13x2－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3
解析 由f(x)＋2f(3－x)＝x2可得f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2，由以上两式解 得f(x)＝13x2－4x＋6。故选B。
{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为( )
A．51，14
B．51，14
C．14，13
D．14，13
解析 根据题意可得函数y＝{x}在x轴非负半轴的图象如图所示，函 数y＝1－kx为过定点P(0,1)的直线，所以要使方程{x}＝1－kx有且仅有4个 实数根且k为正实数，则直线y＝1－kx应在PA，PB之间以及恰好在PA处， 所以－13≤－k<－14，即k∈41，13。故选D。
解得
a＝2， b＝7，
所以f(x)＝2x＋7。
答案 2x＋7
11．已知函数f(x)满足f(5x)＝x，则f(2)＝________。
解析 log52。
答案
因为f(5x)＝x，令5x＝t，则x＝log5t，所以f(t)＝log5t，f(2)＝ log52
12．函数f(x)＝ax2＋1x＋a的定义域为R，则实数a的取值范围是_____。